tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

数列求和的基本方法和技巧


数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、 等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
自然数方幂和公式: 3、 S n ?
n n

1 k ? n(n ? 1) ? 2 k ?1

4、 S n ?

?k
k ?1

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

5、 S n ?

?k
k ?1

n

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2
二、错位相减法求和

错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置, 近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。 需要我 们的学生认真掌握好这种方法。 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 这种方法主要用于求 数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘 以组成这个数列的等比数列的公比 这种方法就是错位相减法。 [例 1] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 (

q ;然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和,

x ? 1)…………………①

注意、1 要考虑 当公比 x 为值 1 时为特殊情况; 2 错位相减时要注意末项 此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。 对应高考考题:设正项等比数列 ?an ? 的首项 a1 ?

1 ,前 n 项和为 S n ,且 210 S30 ? (210 ? 1)S20 ? S10 ? 0 。 2

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项; (Ⅱ)求 ?nSn ?的前 n 项和 Tn 。

三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原数列相 加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) . [例 2] 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2 (提示 Cn ? Cn
0 1 2 n n m n ?m



1

延展思考:

1:求

2.已知函数 f ( x) ? 中点的横坐标为

1 ( x ? R) ,点 P x1 ,y1 ) 、P2 ( x2 , y2 ) 是函数 f ( x) 图象上的任意两点,且线段 PP 1 2的 1( 4 ?2
x

1 . 2 1 2 k m ?1 m ), a2 ? f ( ),? , ak ? f ( ),?, am?1 ? f ( ), am ? f ( ), m ? N ? , m m m m m

求证:(1)点 P 的纵坐标为定植 (2)在数列 {an } 中, a1 ? f ( 求数列 {an } 的前 项和 Sm

四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的 数列,然后分别求和,再将其合并即可. 若数列 ?an ? 的通项公式为 cn ? an ? bn ,其中 ?an ?, ?bn ?中一个是等差数列,另一个是等比数列,求和时 一般用分组结合法。 [例 3]:求数列 1 ,2 ,3 ,4

1 2

1 4

1 8

1 ? 的前 n 项和; 16

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组 合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
2

(1) an ? f (n ? 1) ? f (n)

(2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1) (2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1? 2 , 1 2? 3 ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和.

[例 4]

求数列

小结: 此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后, 其中中间的大部分项都互相抵消了。 只剩下有限的几项。 注意: 余下的项具有如下的特点 1 余下的项前后的位置前后是对称的。 2 余下的项前后的正负性是相反的。

[练习] 在数列{an}中, an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放 在一起先求和,然后再求 Sn. [例 5] 在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值.

3

数列的求和方法多种多样, 它在高考中的重要性也显而易见。 我们的学生在学习中必须要掌握好几种最基本的方 法,在解题中才能比较容易解决数列问题。

数列求和的基本方法和技巧
例 1.解:由题可知,{ (2n ? 1) x n?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x
n ?1

}的通项之积

设 xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ………………………. ② ①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?

(设制错位) (错位相减)

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x



Sn ?

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

0 1 2 n 例 2.证明: 设 S n ? Cn ………………………….. ① ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn

把①式右边倒转过来得
n n?1 1 0 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn m n ?m 又由 Cn 可得 ? Cn 0 1 n?1 n …………..…….. ② S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

(反序)

①+②得 ∴

0 1 n?1 n 2S n ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2n

(反序相加)

S n ? (n ? 1) ? 2 n
设 .......①

延展思考 1.解: 倒序得:

......② ①+②得

评析:本题用倒序相加法是利用了三角函数所特有的 条性质.





延展思考 2 解:(1)

的中点

的横坐标为
4







的纵坐标为

是定值.

(2) 由(1)知:









.............①.

倒序得: ①+②得:

.......②



评析:

显然,此题用倒序相加法的条件是函数

具备的特殊性质:

例 3.分析:数列的通项公式为 a n ? n ? 用分组结合法; [解] :因为 a n ? n ?

1 ?1? ,而数列 ?n?, ? n ? 分别是等差数列、等比数列,求和时一般 n 2 ?2 ?

1 ,所以 2n
5

1 1 1 1 s n ? (1 ? ) ? (2 ? ) ? (3 ? ) ? ? ? (n ? n ) 2 4 8 2
1 1 1 1 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ( ? ? ? ? ? n ) (分组) 2 4 8 2

(前一个括号内是一个等比数列的和,后一个括号内是一个等差数列的和,因此)

1 1 (1 ? n ) n(n ? 1) 2 n2 ? n 1 2 ? ? ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2
例 4.解:设 a n ?

1 n ? n ?1 ? 1 2? 3

? n ?1 ? n 1 n ? n ?1

(裂项)

则 Sn ?

1 1? 2

? ??? ?

(裂项求和)

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1

例 5.解:设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? aman ? a p aq 和对数的运算性质 loga M ? loga N ? loga M ? N 得

(找特殊性质项)

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 )
= (log3 a1 ? a10 ) ? (log3 a2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? a6 ) = log3 9 ? log3 9 ? ? ? ? ? log3 9 =10

(合并求和)

6


推荐相关:

数列求和的常用方法

数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定 的技巧。 下面,简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。 第一类:公式...


数列求和的常用方法

数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定 的技巧。 下面,简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。 第一类:公式...


高考数列求和的基本方法和技巧必过

数列求和的基本技巧和方法 数列求和的基本技巧和方法一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S...


高一数学数列求和的基本方法和技巧

高一数学数列求和的基本方法和技巧_数学_高中教育_教育专区。数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都...


数列求和基本方法技巧

包括高考要求的数列求和基本方法技巧,方便学习。比较全面了,呵呵。包括高考要求的数列求和基本方法技巧,方便学习。比较全面了,呵呵。隐藏>> 数列求和的基本方法和技巧...


数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧一、总论:数列求和 7 种方法: 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法(合...


数列求和的基本方法归纳

数列求和的基本方法归纳_化学_自然科学_专业资料。数列求和的基本方法归纳知识点 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法....


高中数学_数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

求和时一般在 已知和式的两边都乘以组成这个数列等比数列公比 q ;然后再将得到的新和式和原和式 相减,转化为同倍数的等比数列求和,这种方法就是错位相减法...


专题--数列求和的基本方法和技巧

专题--数列求和的基本方法和技巧_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题--数列求和的基本方法和技巧,希望有所帮助。数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要...


数列求和的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧_高二数学_数学_高中教育_教育专区。全面、实用 专题:数列求和的常用方法一、前 n 项和的定义及与 an 的关系 Sn ? a1 ? a2 ? ? ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com