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2013年江苏省高中数学优秀课评比教案——线面垂直教案


课题:直线与平面垂直
授课教师:江苏省泰兴中学 李玉莲

教材:苏教版普通高中课程标准实验教科书 必修 2 【教学目标】 1.让学生通过对图片、实例的观察,抽象概括出直线与平面垂直的定义,并能正 确理解直线与平面垂直的定义。 2.让学生通过直观感知,操作确认,归纳直线与平面垂直的判定定理,并学会用 反证法证明直线与平面垂直的性质定理。 3.让学生亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习的兴趣。 【教学重点】 直线与平面垂直的定义,判定定理。 【教学难点】 直线与平面垂直的性质定理的证明。 【教学方法与教学手段】 教学方法:启发式与试验探究式相结合。 教学手段:几何画板、PPT、实物。 【教学过程】 一、实例引入,理解概念 1.通过复习空间直线与平面的位置关系,让学生举例感知生活中直线与平面相交 的位置关系,其中最特殊、最常见的一种就是线面的垂直关系,从而引出课题. 2.让学生从与生活有关的直线与平面垂直现象的实例中抽象归纳出直线与平面 垂直的定义, 并给出学生非常熟悉的圆锥, 引导他们观察圆锥的轴与地面位置关 系,验证直线与平面垂直的定义,引出直线与平面垂直的定义.即:如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 ? 互相垂直.记作: 平面 ? 叫做直线 l 的垂面. 直线与平面垂直时, l ⊥ ? . 直线 l 叫做平面 ? 的垂线, 它们唯一的公共点 P 叫做垂足。 二.剖析概念,运用定义: 例 1. 求证:如果两条平行直线中的一条垂直与一个平面,那么另一条也垂直于 这个平面.

学生动笔练习,投影,学生分析:欲证 b ? ? ,需证直线 b 与面 ? 内任意一条直 线垂直;通过直线 a 转化。 通过例 1,让学生知道直线与平面垂直的定义既可以用来证明直线与平面垂直, 又可以用来证明直线与直线垂直。 三:通过试验,探究直线与平面垂直的判定定理 准备一个三角形纸片,三个顶点分别记作 A ,B ,C .如图,过△ ABC 的顶点 A 折 叠纸片,得到折痕 AD ,将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上. (使 BD 、DC 边 与桌面接触)
A

A

B

D 图1

C

B 图2

D

C

问题 1:折痕 AD 与桌面一定垂直吗? 问题 2:如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面 ? 垂直? 问题 3:为什么这样折折痕与桌面是垂直的? 问题 4:如果改变纸片打开的角度,折痕能与桌面保持垂直吗? 问题 5:我们就可以固定平面 ABD,另一个平面绕 AD 旋转,由此,你能总结出什 么样的结论? 让学生在操作过程中,通过不断的追问,最终确认并理解判定定理的条件. 最后,引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳直线和平面垂直 的判定定理. 文字语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂 直. 符号语言: l ? a , l ? b , a ? ? , b ? ? , a ? b ? A ? l ? ? .

图形语言:

l

?
四.运用定理,加深理解:

a

b

例 2:在正方体 ABCD ? A' B'C ' D' 中,证明:棱 BB' 和底面 ABCD 垂直.
D' A' B' C'

D A B

C

五.运用反证法证明直线与平面垂直的性质定理: 直线和平面垂直的性质定理:垂直与同一平面的两直线平行。 符号语言:已知: a ? ? , b ? ? ,求证: a // b . 图形语言:

a

b

?

利用学生错误的解答, 让学生在操作中找到问题出错的原因。分别从 a 与 b 相交 和 a 与 b 异面两方面找到矛盾。 告诉学生从结论的反面入手,导出矛盾的方法即 为反证法。

六、课堂练习 1.已知平面 ? 与 ? 外一直线 l ,下列命题中: (1)若 l 垂直 ? 内两直线,则 l ⊥ ? (2)若 l 垂直 ? 内所有直线,则 l ⊥ ? (3)若 l 垂直 ? 内两相交直线,则 l ⊥ ? (4)若 l 垂直 ? 内无数条直线,则 l ⊥ ? (5)若 l 垂直 ? 内任一条直线,则 l ⊥ ? 其中正确的个数为 七、归纳小结,提高认识 1.学习小结:从知识和方法两个方面进行. 知识方面:线面垂直的定义、线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理. 方法方面:转化思想及反证法. 八.布置作业: (1)阅读课本相关内容进行复习; (2)做课本 P38 2,3,5;


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