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数列求和之公式法


数列求和之公式法
公式法适用于已知数列是等差或等比时使用。 等差数列前 n 公式: Sn =

n(a1 + an ) n(n - 1)d d 2 d = na1 + = n + (a1 - )n ; 2 2 2 2

ìna1 , q = 1 ? 等比数列前 n 公式: Sn = í a1 (1 - q n ) a1 - an

q a1 a1 n ? 1- q = 1- q = 1- q - 1- q q ,q ? 1 ?
(以下前 n 个自然数的和、平方和、立方和公式可依据学生情况要求学生了解和掌握
n n n 1 1 1 S n ? ? k ? n(n ? 1) , S n ? ? k 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) , S n ? ? k 3 ? [ n(n ? 1)]2 ) 2 6 2 k ?1 k ?1 k ?1

思路: 已知数列是等差等比数列和其中两项求和, 由已知条件推断数列是何种数列然后 求和,含有负数项的等差数列求和及其对应绝对值数列的求和。难度递进。与上节求数列通 项相结合,起到复习巩固的作用。 [例 1]已知数列 {an }中,已知 a1 = 2, a4

= 16

(Ⅰ)若该数列为等差数列,求数列 {an }的前 n 项和; (Ⅱ)若该数列为等比数列,求数列 {an }的前 n 项和。

[例 2]已知 log 3 x =
2 3

-1 , log 2 3
n

(1)求 x + x + x + ×××+ x + ××× 的前 n 项和; (2)求 x+3x+5x+...+(2n+1)x 的前 n 项和。

[例 3]在等差数列 an 中, a17 + a18 + a19

{ }

= a9 = -36 ,其前 n 项的和为 S n .

(1)求 S n 的最小值,并求出 S n 取最小值时 n 的值; (2)求 .

【变式训练】 1、已知数列 {an }中,已知 a3 ? 5 , a7 ? 125 (Ⅰ)若该数列为等差数列,求数列 {an }的前 n 项和; (Ⅱ)若该数列为等比数列,求数列 {an }的前 n 项和。

2、已知 log 3 x = (1)求 x ? x
?3 ?2

-1 , log 2 3
? x?1 ? 1 ? x ? x2 ? ...的前 n 项和;

(2)求-5x-4-3x-2x-x-0+x+2x+...的前 n 项和。

3、在等差数列 an 中, a12 ? a13 ? a14 ? a27 ? 21 ,其前 n 项的和为 S n . (1)求 S n 的最小值,并求出 S n 取最小值时 n 的值; (2)求 .

{ }

【过关练习】 1、已知数列 {an }中,已知 a2 ? 4 , a4 ? 8 (Ⅰ)若该数列为等差数列,求数列 {an }的前 n 项和; (Ⅱ)若该数列为等比数列,求数列 {an }的前 n 项和。

2、等比数列 {an }中,已知 a1 = 2, a4

= 16

(Ⅰ)求数列 {an }的通项公式及前 n 项和; (Ⅱ) 若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn }的第 3 项和第 5 项, 试求数列 {bn }的通项公式及前 n 项和 S n 。

3. 数列 an 中, a1 =

{ }

1 1 ,前 n 项和 Sn 满足 Sn+1 - Sn = ( )n+1 (n ? N * ) , 3 3

(I)求数列 an 的通项公式 an 以及前 n 项和 Sn ; (II)若 S1, t (S1 + S2 ),3(S2 + S3 ) 成等差数列,求实数 t 的值.

{ }

4. 已知数列 ?an ? 是等差数列,设其前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 9 , S5 ? 25 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (Ⅱ)设 bn ? 3 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a


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