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福建省福州八中2008—2009学年高三第三次质量检查数学试题(理科)


福建省福州八中 2008—2009 学年高三第三次质量检查数学试题(理科)
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 ) 1.已知集合 A ? {( x , y ) | y ? x , x ? R }, B ? {( x , y ) | y ? x , x ? R }, 则集合 A ? B 中的元素个数为
2

( A.0 个 2.已知 ? 为第三象限角 A.一定为正数 C.可能为正数,也可能为负数 3.若 { a n }为等比数列 A.32 B.1 个
, 则 tan



C.2 个 的值 B.一定为负数 D.不存在

D.无穷多个 ( )

?
2

, a 3 ? a 15 ? 4 , 则 a 7 ? a 8 ? a 9 ? a 10 ? a 11 =

( D.—32 (
n n ?1



B.16

C. ? 32
1 an

4.数列 { a n }中 , a n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n , b n ?
2 n ?1 2n n ?1

, 则 { b n }的前 n 项和为



A.

B.

C.

2 n ( n ? 1)

D.

5.若数列 { a n }由 a 1 ? 2 , a n ? 1 ? a n ? 2 n ( n ? 1) 确定 , 则 a 100 的值为 A.9900
x

( D.9906 (



B.9902

C.9904

6.若函数 f ( x ) ? e sin x , 则此函数图象在点 A.
?
2

( 4 , f ( 4 )) 处的切线的倾斜角为



B.0

C.钝角
7 , 则 a与 b 的夹角为

D.锐角 ( D.90°
y 轴对称,则 n 的最小正值

7.已知 | a |? 2 , | b |? 3 , | a ? b |? A.30° 8.将函数 y ? sin x ? 是 A.
7? 6



B.60°

C.45°

3 cos x 的图像向右平移了

n 个单位 , 所得图像关于

( B.
?
2



C.

?
6

D.

?
3

9.在 ? ABC 中 ,已知 | AB |? 4 , | AC |? 1, S ? ABC ? A.—2 B.2

3 , 则 AB ? AC 的值为





C. ? 4

D. ? 2

10.由曲线 y ? x 与 y ?
2

x 的边界所围成区域的面积为

( D.
1 6



A.

1 3

B.

2 3

C.1

11.若 { a n }是等差数列

, S n 是其前 n 项和 , a 3 ? a 8 ? 0 , S 9 ? 0 , 则 S 1 , S 2 , S 3 , ? , S n 中最小的是

( A.S4 B.S5 C.S6

) D.S9

12. 若函数 y ? f ( x ) 在 R 上可导且满足不等式 一定成立的是 A. af ( b ) ? bf ( a ) C. af ( a ) ? bf ( b )

则下列不等式 x f ? ( x ) ? ? f ( x ) 恒成立 , 且常数 a , b 满足 a ? b , ( B. af ( a ) ? bf ( b ) D. af ( b ) ? bf ( a ) )

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共计 16 分) 13.已知平面向量 a ? ( 3 ,1), b ? ( x , ? 3 ), 且 a ? b , 则 x =
2 14.已知 f ( x ) ? x ? 2 x f ? (1), 则 f ? ( 0 ) =




?
2 ), 则 sin ? =

15.已知 sin ? ?
n

4 5

, cos( ? ? ? ) ? ?

3 5

,? , ? ? (0,



16.已知 a n ? 2 , 把数列 { a n } 的各项排成如右侧三角形状记 A ( i , j ) 表示第 i 行中第 j 个数,则结论 ①A(2,3)=16; ② A ( i ,3 ) ? 2 A ( i , 2 )( i ? 2 ) ; ③ [ A ( i , i )] ? A ( i ,1) ? A ( i , 2 i ? 1), ( i ? 1) ;
2

④ A ( i ? 1,1) ? A ( i ,1) ? 2 其中正确的是

2 i ?1

, ( i ? 1) ;

(写出所有正确结论的序号) 。

三、解答题(本大题共有 6 个小题,共 74 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 17. (本小题满分 12 分) 已知 a、b、c 分别是△ABC 三个内角 A、B、C 的对边。 (1)若 b ? ac ,求角 B 的范围。
2

(2)若 a cos A ? b cos B ,试判断△ABC 的形状,并证明你的结论。

18. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (cos ? , sin ? ) 和 n ? ( 2 ? sin ? , cos ? ), ? ? [? , 2? ]. (I)求 | m ? n | 的最大值; (II)当 | m ? n |?
8 2 5 时 , 求 cos(

?
2

?

?
8

) 的值。

19. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x ) ? a ln( x ? 1) ? 求: (1)实数 a 的值; (2)函数 f ( x ) 的单调区间和极小值。
2x x ?1 ? b 的图象与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切于点(0,c) 。

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 { a n }的前 n 项和 S n , 对一切正整数 (I)求数列 { a n } 的通项公式; (II)设 b n ? a n ? log
2

n , 点 ( n , S n ) 都在函数 f ( x ) ? 2

x?2

? 4 的图象上。

a n , 求数列 {b n }的前 n 项和 T n .

21. (本小题满分 12 分) 某集团为了获得更大的收益, 每年要投入一定的资金用于广告宣传, 经调查, 每投入广告费 t (百

万元)可增加的销售额约为 5 t ? t (百万元) 。
2

(I)若该公司将当年的广告宣传费控制在 3 百万元之内,则应投入多少广告费才能使公司由此获得的 收益最大。 (II)现该公司准备投入 3 百万元,分别用于广告宣传和技术改造,经预测,每投入技术改造费 x(百 万元)可增加的销售额约为 ?
1 3 x ? x ? 3 x (百万元) ,请设计资金分配方案,使该公司由此获
3 2

得的收益最大。 (注:收益=销售额—投入)

22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) ? 3 x ? 1, g ( x ) ? 2 x , 现在数列 { a n }满足条件
2

: 对于 n ? N , a n ? 0
*



f ( a n ? 1) ? f ( a n ) ? g ( a n ? 1 ?

3 2

), 又设数列 { b n }满足条件

:b n ? log

an

a ( a ? 0 且 a ? 1, n ? N ).
*

(1)求证:数列 { a n } 为等比数列; (2)求证:数列 {
1 bn } 是等差数列;

(3)设 k , L ? N ? , 且 k ? L ? 5 , b k ? (4)如果 k ? L ? M 0 ( k , L ? N ? , M
a n ? 1 恒成立。

1 1 ? 3L

, bL ?

1 1 ? 3k

, 求数列 { b n } 的通项公式; 1 1 ? 3L , bL ? 1 1 ? 3k

0

? 3 且 M 0 是奇数 ), 且 b k ?

,求从第几项起

参考答案

一、选择题 CBCBBC BCDABB 2 0 0 8 1 1 2 8
? 1 2

二、填空题 13.1 14.—4 15.
24 25

16.①②③④

三、解答题 17.解: (1)? b ? ac ,? cos B ?
2

a

2

?c ?b
2

2

?

2 ac ? ac 2 ac

…………4 分

2 ac

又? 0 ? B ? ?

?0 ? B ?

?
3

…………6 分

(2)由正弦定理得, 2 R sin A cos A ? 2 R sin B cos B
? sin 2 A ? sin 2 B

…………8 分

? 2 B ? 2 k ? ? 2 A 或 2 B ? ( 2 k ? 1) ? ? 2 A

故 A ? B ? k? 或 A ? B ? k? ?

?
2

…………10 分

又 ? ABC 中 , A ? B ? C ? ? , 得 : 0 ? A ? B ? ? , 且 ? ? ? A ? B ? ? . …………11 分 即 A ? B ? 0或 A ? B ?
?
2

也即△ABC 为等腰三角形或直角三角形 …………12 分 18.解: (I) m ? n ? (cos ? ? sin ? ?
2 , cos ? ? sin ? ) …………1 分

| m ? n |?

(cos ? ? sin ? ?

2 ) ? (cos ? ? sin ? )
2

2

?

4 ? 2 2 (cos ? ? sin ? ) ? ? ? ? [? , 2 ? ], ? 5? 4 ?? ?

4 ? 4 cos( ? ? ? 9? 4 ,? ? 2 2

?
4

) ? 2 1 ? cos( ? ?

?
4

) ? ? ? ? 4分

?
4

? cos( ? ?

?
4

) ? 1,

?| m ? n | max ? 2 2 . ? ? ? ? 6 分

(II)由已知 | m ? n |?
又 cos( ? ?

8 2 5

, 得 cos( ? ?

?
4

)?

7 25

…………8 分
?
8 16 25 4 5
a x ?1 ? 2 ( x ? 1)
2

?
4

) ? 2 cos (
2

?
2

? ?

?
8

) ? 1 ? cos (
2

?
2

? ?

)?

? ? ? ? 10 分 . ? ? ? ? 12 分

? ? ? [? , 2 ? ] ?

5? 8

?

?
2

?
8

?

9? 8
2x

,? cos(

?
2

?
8

)? ?

19.解: (1)? f ( x ) ? a ln( x ? 1) ?
? f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程为

x ?1

? b ,? f ? ( x ) ?

,…………2 分

y ? ? x ? 2,

? f ? ( 0 ) ? a ? 2 ? ? 1,? a ? 1 ? ? ? ? 5 分

(2)? 点 ( 0 , c ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上 ,? c ? 2 ? 0 ,? c ? 2 .
? ( 0 , 2 ) 在 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? ? f ( x ) ? ln( x ? 1) ? 由 (1) 得 : f ? ( x ) ? 1 x ?1 2x x ?1 ? 2x x ?1 ? b 的图象上 ,? f ( 0 ) ? b ? 2 ,

? 2 ( x ? ? 1) ? ? ? ? 7 分 2 ? x ?1 ( x ? 1)
2

( x ? 1)

2

( x ? ? 1), (1, ?? ), ? ? ? ? 9 分 ( ? 1,1)

令 f ? ( x ) ? 0 , 则 x ? 1, 因此函数 f ( x )的单调递增区间为

令 f ? ( x ) ? 0 , 则 ? 1 ? x ? 1, 因此函数 f ( x )的单调递减区间为 ? 当 x ? 1时 , 函数 f ( x ) 取得极小值 1 ? ln 2 ? ? ? ? 12 分

20.解: (I)由题意, S n ? 2

n?2

?4,
?2
n ?1

n ? 2时 , a n ? S n ? S n ? 1 ? 2
3

n?2

? 2

n ?1

,? ? ? ? 4分 ,
*

当 n ? 1时 , a 1 ? S 1 ? 2 ? 4 ? 4 , 也适合上式 ? 数列 { a n }的通项公式为 an ? 2
n ?1

, n ? N ? ? ? ? 6分

(II)? b n ? a n log
2

2 3

a n ? ( n ? 1) ? 2
4

n ?1

…………7 分
n n ?1

? T n ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? ? ? n ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 2T n ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? ? ? n ? 2
3 4 5 n ?1

① ②…………9 分

? ( n ? 1) ? 2

n?2

②—①得,

Tn ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
3 3 4 5

n ?1

? ( n ? 1) ? 2

n?2

…………10 分

? ?2 ?
3 3

2 (1 ? 2
3

n ?1

)

1? 2
3 n ?1 n?2 n?2

? ( n ? 1) ? 2

n?2

? ?2 ? 2 (2 ? ( n ? 1) ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 ? n?2
n?2

? 1) ? ( n ? 1) ? 2
3 n ?1

n?2

? 2 ?2 ?1
n?2

? ? ? ? 12 分
2

21.解: (I)设通过广告费获得的收益为 y 百万元,则 y ? 5 t ? t ? t (1 分)
? 4t ? t
2

? ? ( t ? 2 ) ? 4 (3 分)
2

则当 t ? 2时 , y 最大 ? 4 (4 分) ,因此投入广告费 2 百万元时其收益最大(5 分) (II)设收益为 y 百万元,则
y ? ? 1 3
2

x ? x ? 3 x ? 5 (3 ? x ) ? (3 ? x ) ? 3 ? ?
3 2 2

1 3

x ? 4 x ? 3(7 分 )
3

y ? ? ? x ? 4 , 令 y ? ? 0 , 则 x ? 2 ( 舍去负值 ), 当 0 ? x ? 2时 , y ? ? 0 , 当 2 ? x ? 3时 , y ? ? 0 , 因此 x ? 2时函数取得极大值 y ? 25 3 故 x ? 2时函数在 [ 0 , 3 ]取得最大值 1百万元用于广告费 , 其收益最大
2

, ( 9 分 ) 而 x ? 0时 , y ? 3 , x ? 3时 , y ? 6 , ,

, (11 分 )因此 , 当投入 2 百万元用于技术改造费 .( 12 分 )
3 2 )

22.解: (1)? f ( x ) ? 3 x ? 1, g ( x ) ? 2 x , f ( a n ? 1) ? f ( a n ) ? g ( a n ? 1 ?
? 3 ( a n ? 1) ? 1 ? 3 a n ? 1 ? 2 ( a n ? 1 ?
2 2

3 2

), 即 6 a n ? 2 a n ? 1 ? ? ? ? 3分

?

a n ?1 an

? 3 ? 数列 { a n }是以 3为公比的等比等列
1 bn 1 b n ?1

(2)? b n ? log
1 b n ?1 ? 数列 { 1 bn 1 bn

an

a

?

? log

a

an ,

? log

a

a n ?1

?

?

? log

a n ?1
a

? log

an

a

3

}是以

1 b1

为首项 , 公差为 log
1 bn

a

3的等差数列
1 bk 1 bL

? ? ? ? 6分

(3)为方便起见,记数列 {

}的公差为 d ,由于

?

? (k ? L )d .

又 ? bk ?

1 1 ? 3L

,bL ?

1 1 ? 3k

? (1 ? 3 L ) ? (1 ? 3 k ) ? ( k ? L ) d ,? d ? ? 3 ? 1 bn ? 1 bk ? 1 bn ? 16 ? 3 n ? bn ?
1 bn

? ( n ? k ) d ? (1 ? 3 L ) ? 3 ( n ? k ) ? 3 ( k ? L ) ? 3 n ? 1 1 16 ? 3 n

?k ? L ? 5

? ? ? ? 10 分

(4)若 k ? L ? M 0,由 ( 3 ) 可知
假设第 M 项后面的项满足 ? b n ? log

? 3( k ? L ) ? 3n ? 1 ? 3

M 0? 3 n ? 1

a n ? 1恒成立 ,
1 * bn

an

a ( a ? 0 且 a ? 1, n ? N ) ? a n ? a
a

由于 d ? log

3 ? ? 3 ? 0 ,? 0 ? a ? 1, 所以只要

1 bn

? 0,即 1 3 ? 2 3

? 1 ?b ? 0 ?3 M ? M ? ? ? ?3 M ? 1 ? 0 ? b M ?1 ? 又M ? N
*

0 0

? ?M ? M ? 3M ? 1 ? 0 ? ? ? ? 3 ( M ? 1) ? 1 ? 0 ?M ? M ? ?

0

?

0

? M ? M 0 , 即数列 { a n }从第 M

0

? 1项起以后的项满足

a n ? 1 ? ? ? ? 14 分


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