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几何体的内切球和外接球 三视图 教师版


河科大附中数学必修二学习单

编制:杨宏亮

审核:任明俊

专题:几何体的内切球和外接球三视图
【学习目标】
1.掌握几何体的内切球和外接球问题; 2.掌握几何体的三视图。

※自主研读学习单※
1.如果一个球与几何体的各个面都相切,球为几何体的内切球; 2.如果一个几

何体的所有顶点都在球面上,球为几何体的外接球; 3.棱长为 a 的正四面体的高为________;它的外接球半径 R 为________;内切球半径为________;球心为高的 _____等分点。 解: 如图所示, 设点 O 是内切球的球心, 正四面体棱长为 a . 由图形的对称性知, 点 O 也是外接球的球心. 设 内切球半径为 r ,外接球半径为 R . 正四面体的表面积 S 表 ? 4 ?

3 2 a ? 3a 2 . 4

正四面体的体积 V A? BCD ?

1 3 2 3 2 ? a ? AE ? a AB 2 ? BE 2 3 4 12

?

3 2 2 ? 3 2? 2 3 a a ?? a ? ? a ? ? 12 3 12 ? ?

3V 1 ? S 表 ? r ? V A? BCD ,? r ? A? BCD ? 3 S表
2 2 2

3?

2 3 a 6 12 ? a 2 12 3a
2 2

? 3 ? 6 2 ? 在 Rt ?BEO 中, BO ? BE ? EO ,即 R ? ? ? 3 a ? ? r ,得 R ? 4 a ,得 R ? 3r ? ?
变式:一个正四面体内切球的表面积为 3? ,求正四面体的棱长。 (答案为: 3 2 ) 4.正方体的内切球 R ?

a : 2

5.与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点, R ?

2 a 2

6.正方体的外接球:正方体的八个顶点都在球面上, R ? A1O ?

3 a。 2

变式:一棱长为 2 a 的框架型正方体,内放一能充气吹胀的气球,求当球与正方体棱适好接触但又不至于 变形时的球的体积。(答案为 V ?

4 ? 3

?

2a

?

3

?

8 2 3 ?a ) 3

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编制:杨宏亮

审核:任明俊

7.正棱柱的外接球,其球心定在上下底面中心连线的中点处,由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角 三角形便可得球半径。

※合作探究学习单※
题型一几何体的内切球和外接球
例 1.正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 ,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.求球的表面积与体积. 解:如图,球 O 是正三棱锥 P ? ABC 的内切球, O 到正三棱锥四个面的距离都是球的半径 R .

PH 是正三棱锥的高,即 PH ? 1. E 是 BC 边中点, H 在 AE 上,

?ABC 的边长为 2 6 ,∴ HE ?
可以得到

3 ? 2 6 ? 2 .∴ PE ? 3 6

S ?PAB ? S ?PAC ? S ?PBC ?

1 3 BC ? PE ? 3 2 . S ?ABC ? (2 6 ) 2 ? 6 3 2 4

由等体积法, VP? ABC ? VO?PAB ? VO?PAC ? VO?PBC ? VO? ABC ∴ ? 6 3 ?1 ?

1 3

1 1 2 3 ? 3 2 ? R ? 3 ? ? 6 3 ? R 得: R ? ? 6 ?2 , 3 3 2 3 ?3 4 3 4 ?R ? ? ( 6 ? 2) 3 . 3 3

∴ S球 ? 4?R 2 ? 4? ( 6 ? 2) 2 ? 8(5 ? 2 6 )? .∴ V球 ?

例 2.求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比. 分析:首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥,它们公共的轴截面,然后寻找 几何体与几何体之间元素的关系. 解:如图,等边 ?SAB 为圆锥的轴截面,此截面截圆柱得正方形 C1CDD1 ,截 球面得球的大圆圆 O1 . 设球的半径 OO1 ? R ,则它的外切圆柱的高为 2 R ,底面半径为 R ;

OB ? O1O ? cot30? ? 3R , SO ? OB ? tan60? ? 3R ? 3 ? 3R ,
∴ V球 ?

4 3 1 ?R , V柱 ? ?R2 ? 2R ? 2?R3 , V锥 ? ? ? ( 3R) 2 ? 3R ? 3?R 3 , 3 3

∴ V球∶ V柱∶ V锥 ? 4 ∶ 6 ∶ 9. 例 3.已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的六个顶点在球 O1 上, 又知球 O2 与此正三棱柱的 5 个面都相切, 求球 O1 与球 O2 的体积之比与表面积之比。

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分析:先画出过球心的截面图,再来探求半径之间的关系。 解:如图,由题意得两球心 O1 、 O2 是重合的,过正三棱柱的 一条侧棱 AA 1 和它们的球心作截面,设正三棱柱底面边长为 a , 则 R2 ?

3 a, 6 3 a ,由 Rt?A1 D1O 中,得 3
2 2

正三棱柱的高为 h ? 2 R2 ?
2

? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? 5 5 ? ? R2 2 ? ? ? ?? ? ? a 2 ,? R1 ? a R1 ? ? a a a ? 3 ? ? 3 ? ? 6 ? 12 12 ? ? ? ? ? ?
2

? S1 : S 2 ? R1 : R2 ? 5 : 1 , V1 : V2 ? 5 5 : 1
例 4.设棱锥 M ? ABCD 的底面是正方形,且 MA ? MD , MA ? AB ,如果 ?AMD 的面积为 1,试求能 够放入这个棱锥的最大球的半径. 解: ? AB ? AD, AB ? MA,? AB ? 平面 MAD , 由此,面 MAD ? 面 AC .记 E 是 AD 的中点, 从而 ME ? AD .? ME ? 平面 AC , ME ? EF 设球 O 是与平面 MAD 、平面 AC 、平面 MBC 都相切的球.如图 2,得截 面图 ?MEF 及内切圆 O 不妨设 O ? 平面 MEF ,于是 O 是 ?MEF 的内心. 设球 O 的半径为 r ,则 r ?

2

2

2S ?MEF ,设 AD ? EF ? a ,? S ?AMD ? 1 . EF ? EM ? MF
2

2 ?2? ? EM ? , MF ? a 2 ? ? ? , r ? a ?a?

2 2 ?2? a ? ? a2 ? ? ? a ?a?
2

?

2 2?2 2

? 2 ?1

当且仅当 a ?

2 ,即 a ? 2 时,等号成立. a

∴当 AD ? ME ?

2 时,满足条件的球最大半径为 2 ? 1 .

例 5.在矩形 ABCD 中, AB ? 4, BC ? 3 ,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B ? AC ? D ,则四面 体 ABCD 的外接球的体积为

125 125 ? ? D. 6 3 解设矩形对角线的交点为 O ,则由矩形对角线互相平分,可知 OA ? OB ? OC ? OD .∴点 O 到四面体的
A. B. C.

125 ? 12

125 ? 9

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四个顶点 A、B、C、D 的距离相等,即点 O 为四面体的外接球的球心,∴外接球的半径 R ? OA ?

5 .故 2

4 125 ? R3 ? ? .选 C. 3 6 题型二几何体的三视图 V球 ?
三视图常考查:①三视图的识别与还原问题;②以三视图为载体考查空间几何体的表面积、体积等问 题.主要考查学生的空间想象能力及运算能力,是近几年高考的热点. 例 1.已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是( ).

4 000 A. cm3 3

8 000 B. cm3 3

C.2 000 cm3

D.4 000 cm3

[审题视点] 画出直观图后求解. [此几何体的图为 SABCD,且平面 SCD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形,边长为 20 cm,S 在底面的射影 1 8 000 为 CD 的中点 E,SE=20 cm,VSABCD= S?ABCD· SE= cm3.故选 B.] 3 3

解答此类题目时: (1)可以从熟知的某一视图出发,想象出直观图,再验证其他视图是否正确; (2)视 图中标注的长度在直观图中代表什么,要分辨清楚; (3)视图之间的数量关系:正俯长对正,正侧高平齐,侧俯宽相等. 例 2.如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧(左)视图、俯视图.已知 CF=2AD,侧(左)视图是边 长为 2 的等边三角形;俯视图是直角梯形,有关数据如图所示.求该几何体的体积. 解 如图,取 CF 的中点 P,过 P 作 PQ∥CB 交 BE 于 Q,连接 PD,QD,AD∥CP,且 AD=CP.

四边形 ACPD 为平行四边形,∴AC∥PD. ∴平面 PDQ∥平面 ABC,该几何体可分割成三棱柱 PDQCAB 和四棱锥 DPQEF, +2? ×2 1 2 1 ?1 ∴V=V 三棱柱 PDQCAB+VDPQEF= × 2 sin 60° × 2+ × × 3=3 3. 2 3 2 例 3.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中, 最长的棱的长度为

A . 6 2 B . 4 2 C .6

D .4

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答案:B

【课堂小结】

几何体的内切球和外接球三视图 ※巩固提升学习单※
1.若一个正三棱柱存在外接球与内切球,则它的外接球与内切球表面积之比为() A. 3 :1 B . 4 :1 C . 5 :1 D. 6 :1 【答案】C 【 解 析 】 设 内 切 球 的 半 径 为 r, 外 接 球 的 半 径 为 R, 底 边 边 长 为

a, 则

S R2 3 3 3 15 a ? r , R ? r 2 ? ( a) 2 ? r 2 ? ( a) 2 ? a , 所 以 外接球 ? 2 ? 5 6 3 3 6 S内切球 r
2. 在正四棱锥 S-ABCD 中, 侧面与底面所成的角为 A.5 【答案】D 3.已知四面体 ABCD 中,AB=AD=6,AC=4,CD=2 13 ,AB⊥平面 ACD,则四面体 ABCD 外接 球的表面积为() A.36π B.88π 【答案】B 【解析】 C.92π D.128π B.

3 2

C.10

? , 则它的外接球半径 R 与内切球半径 r 之比为 ( ) 3 5 D. 2

试题分析:在 ?ACD 中,由 AD=6,AC=4,CD=2 13 ,可得 AD ? AC ? CD ,则 AC ? AD ,又
2 2 2

AB ? 平面ACD ,故 2R ? 42 ? 62 ? 62 ? 88 ? 2 22 ,则 V ? 4? ( 22)2 ? 88? .
4.一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,则 该几何体的外接球的表面积 为_________. ...

正视图

侧视图

俯视图
结束

【解析】由三视图可得,该几何体为一条侧棱垂直于底面的四棱锥,如下图中 C1 ? ABCD ,其中底面

ABCD 为边长为 1 的正方形, 该四棱锥的外接球球心即该四棱锥所在的正方体的中心, C1C ? 1 由图可知,

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由此可得球半径 R ?

3 ,所以其表面积为 S ? 4? R2 ? 3? 2

5.在正三棱锥 S-ABC 中,M、N 分别是 SC、BC 的中点,且 MN ? AM ,若侧棱 SA= 2 3 ,则正三棱 锥 S-ABC 外接球的表面积为______________.

【解析】 如图,因为 M , N 分别是 SC, BC 中点,所以 MN / / SB 。而 S ? ABC 是正三棱锥,所以 SB ? AC ,所以

MN ? AC 。 因 为 M N?

AM , 所 以 MN ? 面 SAC , 从 而 可 得 SB ? 面 SAC , 故

?BSA ? ?BSC ? ?ASB ? 90? 。 将此正三棱锥补成正方体, 则它们有相同的外接球。 因为侧棱 SA ? 2 3 ,
所以补成的正方体的边长为 2 3 ,则它们的外接球半径 R ?

3 ? 2 3 ? 3 ,所以外接球表面积为 2

S ? 4? R2 ? 36?
6 .已知四面体 P ? ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上,且 PO ? 平面 ABC , 2 AC ? 3 AB ,若四面体

P ? ABC 的体积为
【答案】 4 3?

3 ,则该球的体积为___________; 2

【解析】 试题分析:设球的半径为 R ,因为球心 O 在 AB 上,所以 O 为 AB 的中点,且 ?ABC 为直角三角形,因为

2 AC ? 3 AB ,所以 AC ?
所以 VP ? ABC ?

3 AB ? 3R , BC ? R , 2

1 1 1 3 4 ? S?ABC ? OP ? ? ? R ? 3R ? R ? ,? R 3 ? 3 3 ,所以该球的体积为 ? R 3 ? 4 3? . 3 3 2 2 3

考点:本小题主要考查四面体的内接球的体积计算. 点评:解决此小题的关键是分析出 ?ABC 是直角三角形,考查学生的空间想象能力和运算求解能力.
2 2 7.在平行四边 ABCD 中,?ABD ? 90? , 2 AB ? BD ? 4 ,若将其沿 BD 折成直二面角 A-BD-C,则三棱锥

A—BCD 的外接球的体积为_______. 【答案】 【解析】

4? 3

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试题分析:因为球心到各定点的距离相等,所以易知该外接球的球心在 AC 的中点,又在平行四边 ABCD
2 中 , ?ABD ? 90? , 所 以 2 A B ?

B 2D ?4 ?

2 A D ?

2

,? 而 折 成 直 二 面 角 后 , A4 B

2 A C ?

A 2D ?

2 C ? D

2

1,所以体积为 A ? D 4 2, ? A B? ,所以该外接球的球半径为 2 ?A C

4? . 3

考点:本小题主要考查空间几何体的外接球的体积. 点评:对于这种折叠问题,要搞清楚折叠前后的量有哪些发生了变化,哪些没有发生变化. 8.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为.

【答案】8 ? 【解析】 试题分析:由三视图可知空间几何体为三棱锥,底面为直角三角形,侧棱垂直于底面,设底面为

? ABC, ? B? 90? ,侧棱 SA ? AB, SA ? AC 所以其外接球球心在 SC 中点处,球的半径 r ? 2 ,所以表
面积 S ? 4? r ? 8?
2

考点:三视图及球的表面积计算 点评:先由三视图还原直观图在求其外接球的表面积 9.圆台的轴截面面积是 Q,母线与下底面成 60° 角,则圆台的内切球的表面积是() 。 (A)

Q 3 (B) Q 2 2

(C)

? Q 2

(D)

3? Q 2

【答案】D

O 的截面面积为. 10.已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的内切球,则平面 ACD 1 截球
【答案】

?
6
( ).

11.如图,多面体 ABCDEFG 的底面 ABCD 为正方形,FC=GD=2EA,其俯视图如下,则其正视图和侧 视图正确的是

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解析 注意 BE,BG 在平面 CDGF 上的投影为实线,且由已知长度关系确定投影位置,排除 A,C 选项, 观察 B,D 选项,侧视图是指光线,从几何体的左面向右面正投影,则 BG,BF 的投影为虚线,故选 D. 答案 D 12.如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=3,沿 BD 将矩形 ABCD 折叠,连接 AC ,所得三棱锥 ABCD 正视图和俯视图如图,则三棱锥 ABCD 侧视图的面积为 ( ).

6 A. 13

18 B. 13

2 C. 13

3 D. 13

解析 由正视图及俯视图可得,在三棱锥 ABCD 中,平面 ABD⊥平面 BCD,该几何体的侧视图是腰长为 2× 3 6 1 ? 6 ?2 18 的等腰直角三角形,其面积为 × = .答案 B 2 2= 2 ? 13? 13 13 2 +3 13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 560 A. 3 580 B. C.200 3 ( ).
[来源:学科网

D.240

解析 由三视图还原的几何体为两底面为等腰梯形的直棱柱,梯形的面积为 1 (2+8)× 4=20,所以棱柱的体积为 20× 10=200. 2 答案 C 14.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 A.4 14 B. 3 16 C. 3 D.6 ( ).

解析 由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为 1 的正方形,下底面是边长为 2 的正方形,高为 1 14 2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积 V= (12+ 1× 22+22)× 2= ,故选 B. 3 3


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