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函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件


函数 y=Asin(?x+?)的图象

如何作出函数 y=Asin(?x+?) 的图象?

五 点 法 作 图

y

-2
1
? 2

?

o -1

? 2

?

3? 2

2?

x

-2

y ? sin x

例1.用五点法作出下列函数图象:

(1) y=2sinx

解:

x

0

? 2

?

3? 2? 2

1 (2) y= sinx 2
2 1
1

y

1 sin x 0 2
3? 2 ? 2

sinx 0 2sinx 0

1 2
1 2

0 -1 0 -2 0
? 1 2

0 0 0
y=2sinx

?2?

??

o1 -1 2 -2

2

x
2?
1 y= sinx 2

?

y=Asinx (A>0) A决定了函数的值域及最大最小值,称A为 振幅。

函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象

振幅变换

y ? sin x ? y ? A sin x

y ? f ( x) ? y ? Af ( x)
正弦曲线上所有的点横坐标不变,纵坐标伸

长(A>1)或缩短(A<1)为原来的A倍。

(3) y=sin2x
解: x
2x

0
0

? 4 ? 2

? 2

?

3? 4 ? 3? 2? 2

1 (4) y=sin x 2
x
1 x 2 1 sin x 2

0 0

? 2? 3? 4?
? 2

?

3? 2? 2

sin2x 0 y 1 o -1
? 4 ? 2

1

0 -1

0

0

1

0 -1

0

3? 4

?

3? 2

2?

5? 2

3?

7? 2

4?
1 y=sin x 2

x

y=sin2x

y=sin?x

(?>0) ? 决定了函数的周期。 1 --- 频率, 2? --- 周期, f? T? T ?

函数 y ? A sin(? x ? ? )的图象

周期变换

y ? sin x ? y ? sin ? x

y ? f ( x) ? y ? f (? x)
正弦曲线上所有的点纵坐标不变,横坐标伸长
(0< ? <1) 或缩短( ? >1)为原来的 1/? 倍。

? y=sin(x- 3 )
y

x x?
3

? 3
0
?
3

?

5? 6

4? 3

2
1

?
0

11? 7? 3 6 3? 2?
2

sin( x-

)

0

-1

0

1

2?
?

? o
3

? 3

?

x

y=sinx

? y=sin(x+ 3 )

-1 y=sin(x+?)中, ? 决定了x=0时的函数,称 ? 为初相, x+? 为相位。

函数 y ? A sin(? x ? ? )的图象

相位变换

y ? sin x ? y ? sin( x ? ? ) y ? f ( x) ? y ? f ( x ? ? )
? ? 0 ,正弦曲线上所有的点向左平移? 个单位 ? ?0 ?
,正弦曲线上所有的点向右平移︱ ︱个单位

用“五点法”画出函数

y ? 3 sin( 2 x ?
x ? R 的简图。

?
3

),

? 问题:画出y=3sin(2x+ 3 ), x

?R, 的图像。
?
3

x
2x +
?
3

?
?

?
6 0

? 12 ?
2

?

7? 12 3? 2

5? 6

2?

3sin(2x+ 3 )

0

3 3 y

0

-3

0

? ? 6 12

?

? 3

7? 12

5? 6

x

-3

函数 y ? 3 sin(2 x ?

?
3

) 的图像

可由正弦曲线 y ? sin x 经过怎样的

变化得出?

学生分析后得出可能的两种情况
? 学生在分析过程中最常见的两种错 误情况 ? 函数y=sinx到函数y=Asin(?x +?) 图像的变换

小结:
对于函数 y=Asin(?x+?) (A>0, ?>0):

1 2? f ? --- 频率, T? A ---振幅, T ? --- 周期,

?x+? --- 相位,
(2) ? .

? --- 初相.

(1) A为振幅,决定离开平衡位置的最大距离。

决定函数图像的周期。

(3). ?

决定图像的水平位置。

2.图象的变换:

( ----- 形状变换) ( ----- 位置变换)

(1) (2)

周期变换 振幅变换

(3) 相位变换

课堂练习

1.

(1)要得到

y ? sin x

的图象,只需将函数 y

? sin 2x

图象上所有的点________________________.
(2)将函数 y ? 2 sin( 2 x ?

?
5

)

图象上所有的点向右

?
(3)已知函数

平移 10 个单位,解析式____________.

1 3 1 2 y ? cos x ? sin x cos x ? 2 2 4
y=sinx 的图象经过怎样的平移和

该函数的图象可由 伸缩变换得到?

y ? A sin(? x ? ? )
2.
(1)将函数 y ? sin x 的图象上的所有的点的 横坐标变为原来的3倍,纵坐标不变,再将所得的 ? 函数图象向左平移 6个单位,得到函数的解析式 是_____________.
(2)把函数 y=f(x) 的图象沿轴向右平移 8个单位, 再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来 1 的 ( 纵坐标不变),恰好得到 y=cosx 的图象, 2 则 y=f(x) 的解析式是_____________.

?

【小结】
由函数y=Asin(?x+?)的解析式作图: (1)五点作图法;

(2)利用函数图象的变换.

1 横坐标变为原来的 2 y ? sin x
纵坐标不变 向左平移

错例1

y ? sin 2 x

?
3

y ? sin( 2 x ?

?
3

)

纵坐标变为原来的 3 倍 y ? 3 sin( 2 x ? ? ) 3 横坐标不变

错例2

? 向左平移 6 y ? sin x
1 横坐标变为原来的 2
纵坐标不变

y ? sin( x ?

?
6

)

y ? sin( 2 x ?

?
3

)

纵坐标变为原来的 3 倍 y ? 3 sin( 2 x ? ? ) 横坐标不变 3

情况1

? 向左平移 3 1. y ? sin x
1 横坐标变为原来的 2
纵坐标不变 纵坐标变为原来的 3 倍 横坐标不变

y ? sin( x ?

?
3

)

y ? sin( 2 x ?

?
3

)

y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

)

情况2
1 横坐标变为原来的 2 y ? sin x
纵坐标不变

y ? sin 2 x

? 向左平移 6

y ? sin( 2 x ?

?
3

)

? 纵坐标变为原来的 3 倍 y ? 3 sin( 2 x ? ) 3 横坐标不变

y=sinx

? y=sin(x+ 3 )

y=sin(2x+ )

? 3

y=sin2x

? y=sin(2x+ 3

)

? y=3sin(2x+3

)

变换过程一
y ? sin x
平移变换 周期变换 振幅变换

y ? sin(x ? ? ) y ? sin(?x ? ? ) y ? A sin(?x ? ? )

变换过程二
y ? sin x
周期变换

y ? sin ?x

? 平移 ? 平移变换

y ? sin(?x ? ? )

振幅变换

y ? A sin(?x ? ? )


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