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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(39)


加试模拟训练题(39) (附详细答案) 1、 D 为△ABC 的边 BC 上的点.作△ABD 和△ACD 的内切圆, 并作它们的外公切线(异于 BC 的外公切线),交 AD 于点 K.证明:线段 AK 的长度与点 D 在 BC 上的位置无关. 2、 设 R 是全体实数的集合.试求出所有的函数 f:R→R,使得对于 R 中的一切 x 和 y,都有 f(x2+f(y))=y+(f(x))2. 【题说】第三十三届(1992 年)国际数学奥林匹克题 2.本题由印度提供. 3、 能否将 1990×1990 方格表的每个小方格涂成黑色或白色, 使得关于表的中心对称的方 格涂有不同的颜色,并且表的任意一行及任意一列中黑格和 白格都各占一半? 4、 已知 p 为大于 3 的素数.且 1 1 1 1 a ? 2 ? 2 ??? ? , a, b ? N , .(a, b)=1, 2 2 1 2 3 ( p ? 1) b 证明 p a 。 加试模拟训练题(39) 1、 D 为△ABC 的边 BC 上的点.作△ABD 和△ACD 的内切圆, 并作它们的外公切线(异于 BC 的外公切线), 交 AD 于点 K. 证明: 线段 AK 的长度与点 D 在 BC 上的位置无关. 【题说】 第五十七届(1994 年)莫斯科数学奥林匹克十年级题 24. 【解】 如图.设 AD 与两圆的切点分别为 P、Q,两圆的另一条 公切线为 MN,切点分别为 M、N,BC 与两圆的切点分别为 E、F. 1 1 利用切线的性质不难算得 AP= (AB+ AD-BD), AQ= (AD + AC- 2 2 DC) KP+KQ=KM+KN=MN=EF 所以 4AK=2(AP+AQ)-2(KP+KQ) =AB+AC-BC+2(AD-EF) (1) 另一方面,容易算得 2EF=(DE+DP)+(DF+DQ) =(AD+BD-AB)+(AD+DC-AC) =2AD-(AB+AC-BC) (2 ) 将(2)代入(1)得 2AK=AB+AC-BC,与 D 在 BC 上的位置无关. 2、 设 R 是全体实数的集合.试求出所有的函数 f:R→R,使得对于 R 中的一切 x 和 y,都有 f(x2+f(y))=y+(f(x))2. 【题说】第三十三届(1992 年)国际数学奥林匹克题 2.本题由印度提供. 【解】 令 t=f2(0), f(2)(x)=f[f(x)]. 在函数方程 f(x +f(y))=y+(f(x)) 中令 x=0,得 f(2)(y)=y+t ( 2 2 (1) (2) 由(1)、(2)有 x2+f 2)(y)+t=f(2)[x2+f(2)(y)]=f[f2(x)+f(y)]=[f(2)(x)]2+y 即 x2+y+2t=y+(x+t)2,或 2t=t2+2tx 由于此式对任意 x∈R 都成立,故 t=0,即 f(0)=0.于是(2)成为 f(2)(y)=y(y∈R) 又对任意 x≥0,由(1)、(3)有 (3) 令 y=0,得 所以 f(x+y)=f(x)+f(y)≥f(y)(x≥0) 这就是说,f(x)是 R 上的非减函数,即若 x≥y,则 f(x)≥f(y). 最后证明,对一切 x∈R,有 f(x)=x.事实上,若存在 z∈R,使 f(z)≠z.假如 z <f(z),则 f(z)≤f(2)(z)=z,矛盾;假如 f(z)<z,则 z=f(2)(z)≤f(z),也矛盾. 显然,函数 f(x)=x 满足题设条件. 3、 能否将 1990×1990 方格表的每个小

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