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2015届高三数学第一轮复习《正弦定理和余弦定理》讲义


正弦定理和余弦定理
自主梳理 1.正弦定理:____=______=___=2R,其中 R 是三角形外接圆的半径. 由正弦定理可以变形为:(1)a∶b∶c=_________ (2)a=________,b=_______,c=__ ___; (3)sin A=______,sin B=_____,sin C=_______等形式,以解决不同的三角形问题. 2.余弦定理

:a2=__________,b2=______, c2=_______. 余弦定理可以变形为:cos A=___________,cos B=_________, cos C=_________. 1 1 1 abc 1 3.S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)· r(r 是三角形内切圆的半径), 2 2 2 4R 2 并可由此计算 R、r. 4.在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其它边或角;(2) 已知两边及一边的对角,求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、二解、无解,应 注意区分. 余弦定理可解决两类问题: (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题;(2)已知三 边问题. 解三角形时,三角形解的个数的判断 在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 A 为钝角或直 角 ;

图形 关系 式 解的 个数

a=bsin A

bsin A<a<b

a≥b

a> b

一解

两解

一解

一解

5.判断三角形的形状特征 必须从研究三角形的边角关系入手,充分利用正、余弦定理进行转化,即化边为角或化 角为边,边角统一. ①等腰三角形:a=b 或 A=B.

1

②直角三角形: ③钝角三角形:

b2+c2=a2 a2>b2+c2

或 或

A=90° A>90°

. . A<90° .

④锐角三角形:若 a 为最大边,且满足

a2<b2+c2

或 A 为最大角,且

6.由正弦定理容易得到:在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较 大,正弦值较大的角也较大,即 A>B?a>b?sinA>sinB.

基础自测
a+b+c 1.在△ABC 中,若 A=60° ,a= 3,则 =________. sin A+sin B+sin C 2π 2.(2010· 北京)在△ABC 中,若 b=1,c= 3,C= ,则 a=________. 3 3.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cos B=________. π 4.△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知 c=3,C= ,a=2b,则 b 3 的值为________. 5.已知圆的半径为 4,a、b、c 为该圆的内接三角形的三边,若 abc=16 2,则三角形的面 积为 A.2 2 B.8 2 C. 2 D. 2 2 ( )

6.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 a、b、c 成等差数列,B=30° ,△ 3 ABC 的面积为 ,则 b= 2 .

7. 在△ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边, 若 a=2bcosC, 则此三角形一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 a b c 8.在△ABC 中,设命题 p: = = ,命题 q:△ABC 是等边三角形,则命题 p 是 sinB sinC sinA 命题 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型一 利用正弦定理求解三角形及有关三角形中的三角函数的范围(最值) 例 1 ⑴在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° .求角 A、C 和边 c. (2)在△ABC 中,a=8,B=60° ,C=75° ,求边 b 和 c. (2)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=2bsinA. ①求角 B 的大小; ②求 cosA+sinC 的取值范围.

探究提高 解即可.

(1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求

2

(2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该 角,这是解题的难点,应引起注意. 变式训练 1 (1) 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1, b= 3,A+C=2B,则角 A 的大小为________. 1 (2)在△ABC 中,若 tan A= ,C=150° ,BC=1,则 AB=________; 3 (3)在△ABC 中,若 a=50,b=25 6,A=45° ,则 B=______ (4)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且满足 csinA=acosC. ①求角 C 的大小; π ②求 3sinA-cos(B+ )的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小. 4

(5)如图,已知△ABC 是边长为 1 的正三角形,M、N 分别是边 AB、AC 上的点,线段 π 2π MN 经过△ABC 的重心 G.设∠MGA=α( ≤α≤ ). 3 3 ①试将△AGM、△AGN 的面积(分别记为 S1 与 S2)表示为 α 的函数; 1 1 ②求 y= 2+ 2的最大值与最小值. S1 S2

题型二 利用余弦定理求解三角形 例2 cos B b 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 =- . cos C 2a+c

(1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积.

探究提高 题的关键.

(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本

(2)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运 用. 变式训练 2 1.已知 a、b、c 分别是△ABC 中角 A、B、C 的对边,且 a2+c2-b2=ac. (1)求角 B 的大小; (2)若 c=3a,求 tan A 的值.

3

2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos

A 2 5 = , 2 5

bc =3.

(1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值.

3.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c, AB ? BC =8,∠BAC=θ, a=4. (1)求 b· c 的最大值及 θ 的取值范围; π (2)求函数 f(θ)=2 3sin2( +θ)+2cos2θ- 3的值. 4

点评 有关三角形中的三角函数求值问题, 既要注意内角的范围, 又要灵活利用基本 不等式. 题型三 正、余弦定理的综合应用 例3 (2011· 浙江)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 sin A+sin C

1 =psin B (p∈R),且 ac= b2. 4 5 (1)当 p= ,b=1 时,求 a,c 的值;(2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围. 4

探究提高

在已知关系式中,若既含有边又含有角.通常的思路是:将角都化成边或将

边都化成角,再结合正、余弦定理即可求角. 变式训练3 1.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状. 4

2. ? ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A= ⑴

2a

b a

⑵若 c2=b2+

3 a2 求 B.

题型四 判断三角形的形状 一、判断三角形的形状 例 1 在△ABC 中,a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,已知 2asinA=(2b+c)sinB +(2c+b)sinC. (1)求角 A 的大小; (2)若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状.

点评 有关三角形形状的判定, 途径一: 探究内角的大小或取值范围确定形式; 途径二: 计算边的大小或转化为仅关于边的关系式确定形式. 例 4 在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B), 试判断△ABC 的形状.

变式训练 4 1.已知在△ABC 中, cos

2

A b?c ? ,则△ABC 的形状是 2 2c

1. 设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3b2+3c2-3a2=4 2bc. (1)求 sin A 的值; π? ? π? 2sin? ?A+4?sin?B+C+4? (2)求 的值. 1-cos 2A

5

方法与技巧 1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求出其 他的边和角时,有可能出现一解、两解或无解的情况,应结合图形并根据“三角形中大边对 大角”来判断解的情况,作出正确取舍. A B C π 2.应熟练掌握和运用内角和定理:A+B+C=π, + + = 中互补和互余的情况,结 2 2 2 2 合诱导公式可以减少角的种数. 3.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径:(1)化边为角;(2)化角为边, 练题一 一、选择题 1.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c.若 acosA=bsinB,则 sinAcosA+cos2B =( ) 1 1 A.- B. C.-1 D.1 2 2 2.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a=2bcos C,则此三角形一定( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 a+b+c 3.在△ABC 中,若∠A=60°,b=1,S△ABC= 3,则 的值为( sin A+sin B+sin C 26 3 A. 3 2 39 B. 3 C. 39 3 13 3 D. 3 )

4.若△ABC 的内角 A、B、C 满足 6sinA=4sinB=3sinC,则 cosB=( ) 15 3 3 15 11 A. B. C. D. 4 4 16 16 5.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a,b,c 满足(a+b)2-c2=4 且 C=60° ,则 ab 的值为 ( ) 4 2 A. B.8-4 3 C.1 D. 3 3 二、填空题 π 1 6.在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,sin A= ,则 a=________. 4 3 7.若△ABC 的面积为 3,BC=2,C=60°,则边 AB 的长度等于________. 9 8.在△ABC 中,若 AB= 5,AC=5,且 cos C= ,则 BC=________. 10 9.已知△ABC 的一个内角为 120° ,且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面 积为 . 三、解答题 10. 已知△ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, A 是锐角, 且 3b=2a· sin B. (1)求 A;

6

(2)若 a=7,△ABC 的面积为 10 3,求 b2+c2 的值.

11.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c.已知 a2-c2=2b,且 sin B= 4cos Asin C,求 b.

3 12.在△ABC 中,A,B 为锐角,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,且 cos2A= , 5 10 sinB= . (1)求 A+B 的值; 10 (2)若 a-b= 2-1,求 a,b,c 的值.

cosA-2cosC 2c-a 13.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = . cosB b sinC (1)求 的值; sinA 1 (2)若 cosB= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4

练习 2 一、选择题 1.在△ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinB· sinC,则 A 的取值范围是( π π π π A.(0, ] B.[ ,π) C.(0, ] D.[ ,π) 6 6 3 3 2.如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点, 且 AB=AD,2AB= 3BD,BC=2BD,则 sin C 的值 为 A. 3 3 B. 3 6 C. 6 3 D. ( 6 6 ) ) )

3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若∠C=120°,c= 2a,则( A.a>b 二、填空题 B.a<b C.a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定

4.在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a,b,c 成等比数列,且 a2

7

-c2=ac-bc,则∠A=________,△ABC 的形状为________. b a tan C tan C 5.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 + =6cos C,则 + 的 a b tan A tan B 值是_______. 1 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若其面积 S= (b2+c2-a2),则 A 4 =_______ AC 7.在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则 的值等于____,AC 的取值范围为 . cosA 三、解答题 8.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状.

9.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,4sin2

B+C 7 -cos 2A= . 2 2

(1)求∠A 的度数;(2)若 a= 3,b+c=3,求 b、c 的值.

10.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,其中 b= π =tanA· tanC· tan . 3 (1)求角 B 的大小; (2)求 a+c 的取值范围.

3 π ,tanA+tanC+tan 2 3

A+B C 11.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,a=2 3,tan +tan =4, 2 2 2A sinB· sinC=cos ,求 A、B 及 b、c. 2

8

sinA+sinB 12.若 tanC= ,c= 3,试求 ab 的最大值. cosA+cosB

2π 13.在△ABC 中,AC=1,∠ABC= ,∠BAC=x,记 f(x)= AB ? BC . 3 (1)求函数 f(x)的解析式及定义域; π 5 (2)设 g(x)=6m· f(x)+1,x∈(0, ),是否存在正实数 m,使函数 g(x)的值域为(1, ]?若 3 4 存在,请求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

14 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c, 已知向量 p=(c-2a, b),q=(cosB, cosC),p⊥q. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=2 3,求△ABC 面积的最大值.

9


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