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9.1.3直线的法向量和点法式方程


9.1.3直线的法向量和 点法式方程

知 识 回 顾

什么叫方向向量 ?
与一条直线平行的非零向量叫做这条 直线的方向向量 通常用v表示

y x

o

知 识 回

l2
A

B

l 顾

1

概 念 形 成

垂直 的非零向量叫做这 与一条直线 平行 法 条直线的方向向量 通常用 n 表示
思考:

1、一条直线的法向量是唯一的吗?
2、这些法向量的位置关系是怎样的? 3、同一条直线的方向向量 v 和 法向量 n 的位置关系是怎样的?

两向量a(a1 ,a 2 ), b (b1 ,b2 )垂直

问 题 探 究

的充要条件是

a1b1 +a2b2 ? 0

直线 的一个法向量n=(A,B), 则直线 的一个方向向量v如何表示?
设方向向量v ? ( x, y)

n?v
? Ax ? By ? 0
整理得 x B ?? y A

v ? (B, ? A)
或v ? (?B, A)

口 答 练 习

n
(2,3)

v
(?4,5)

口 答 练 习

画出符合要求的直线 1、经过点P0
y

P0

o
图1

x

画出符合要求的直线
2、垂直于非零向量 n

y

n
o
图2

x

画出符合要求的直线 3、既经过点P0又垂直于非零向量 y

n

P0

n
x

o
图3

公 式 推 导
P0(x0 , y0)

y

l
已知直线经过点P0(x0 ,y0 ), 一个法向量n=(A,B), 求直线的方程
x

n ? ? A, B ?

o

直 线 的 点 法 式 方 程

熟 记 公 式
P0(x0 , y0)
o

y

l
直线经过点P0(x0 ,y0 ),
n ? ? A, B ?

一个法向量n=(A,B), 则直线的点法式方程

x

A(x-x0)+B(y-y0)=0

根据直线 l 的方程,写出直线 l 经过的一个 熟 已知点P0和直线 l 的一个法向量 n 的坐标.

A(x-x0)+B(y-y0)=0

记⑴ 公⑵ 式

2(x-3)+4(y-5)=0

P 0 (3,5)

n ? (2, 4)

2(x+3)-4(y-5)=0

P0 (?3,5) n ? (2, ?4)
n ? (?2, ?4)

⑶ -2(x-3)- 4(y+5)=0 P0 (3, ?5)

A(x-x0)+B(y-y0)=0

学 以 的直线方程。 致 用

(x0 , y 0)

(A,B)

例1:求过点P(1, 2),且一个法向量为n=(3,4)

解:代入直线的点法式方程,
得 3 (x-1)+ 4(y-2) =0 整理得 3x+ 4y-11 =0 练习1. 求过点p,且一个法向量为n 的直线方程. (1) p(-1,2), =(3,-4)

(2)

n

= (-3,2), P(1,-5),

n

学 以 致 用

例2:已知点A(3,2)和点B(-1,-4)求线段
AB的垂直平分线方程。 解:中点c的坐标 y 2 ? 4 ? ? 1, ?1 ? 3-1 分析: ? ? , l ? ?
? 2

o
B

c

x

? ?? 1c ? 3, ? 4 ? 2? ? ? ?4 , ? 6? 点 法向量 AB
中点坐标公式 代入直线的点法式方程 ,
x2 y1 ? y2 ? ? x1 ? 得 , ? ? 2 2 ? ?

法向量 AB

用 点 法 式求直线方程

2 ?

x,y ? y? ?x ? -4 (x-1)-6( y+1) =0
2 1 2 1

整理得

2x+3y+1 =0

学 以 致 用

练习:已知点A( ?, ?)和点B( ?, ?) 求线段AB的垂直平分线方程。



1、理解一个概念—— 直线的法向量
——与直线垂直的非零向量 A( x - x0 ) +B( y - y0 )=0

思 2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程 小 结
3、利用直线的点法式方程可以解决
(1)已知直线上一点和直线的法向量 (2)求线段的垂直平分线方程

(3)求三角形一边的高线所在直线方程

布 置 作 业

必做:P86 练习4、5、6 A

补充(附加) 三角形ABC,A(1,-3),B(-2,4),C(0,-2)

求(1)BC边中垂线方程
(2) BC边高线方程

B

(3)BC边中线方程

D

E C

敬请指导

直 线 的 点 法 式 方 程

公 式 推 导
P0(x0 , o y0 )

y
P(x, y)
n ? ? A, B ?

(1)向量P0 P 的坐标为:

(x-x0 , y-y0 )
(2)
P0 P

,

与n=(A,B)的位置关系

是: 垂直 ,

x (3)

P0 P 与n 垂直的充要条件是:

A(x-x0)+B (y-y0)=0 ,

公 式 推 导

v ? ( B, ? A)

()法向量 1 n ? ( A, B),则

y

(B,-A) 方向向量v ?
(2)代入点向式方程得
( x ? x0 ) ( y ? y0 ) ? B ?A

n ? ? A, B ?

即A(x-x0)+B (y-y0)=0
P0(x0 , o y0 )

x

概 念 形 成
o

y

x


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