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2012年第29届物理竞赛复赛试卷及答案


第 29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷
本卷共 8 题,满分 160 分。

一、 (17 分)设有一湖水足够深的咸水湖,湖面宽阔而平静,初始时将一体积很小的匀质 正立方体物块在湖面上由静止开始释放,释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。已知 湖水密度为 ? ;物块边长为 b ,密度为 ? ' ,且 ? ' ? ? 。在只考虑物块受

重力和液体浮力作用 的情况下,求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。
解: 由于湖面足够宽阔而物块体积很小,所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保 持不变,因此,可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系,以下简称 x 系. 设物块下 底面的 坐标为 x,在物块未完 全浸没入湖水时, 其 所 受到的浮力为
f b ? b2 x ? g

( x?b)

(1)

式中

g 为 重 力 加 速 度 .物 块 的 重 力 为
fg ? b3 ??g
(2 ) 设物块的加速

度 为 a, 根 据 牛 顿 第 二 定 律 有

b3??a ? fg ? fb
代 入 (3) 式 得

(3)

将 (1 ) 和 (2 ) 式

a??

? g ? ?? ? x ? b? ? ?b ? ? ? ?

(4 )

将 x 系 坐 标 原 点 向 下 移 动 ? ?b / ? 而 建 立 新 坐 标 系 , 简 称
X ? x?

X 系. 新旧坐标的关系为
(5 ) 把 (5) 式 代 入

?? b ?

(4) 式 得
a??

?g X ? ?b

(6)

(6) 式 表 示 物 块 的 运 动 是 简 谐 振 动 . 若 X ? 0 , 则 a ? 0 , 对 应 于 物 块 的 平 衡 位 置 . 由 (5) 式 可 知,当物块处于平 衡 位置时,物块 下底 面 在 x系中的坐标为 ?? (7) 物块运 x0 ? b ? 动方程在

X 系中可写为
X (t ) ? Acos ??t ? ? ?

(8)

利用

参考圆可将其振动速度表示为
V (t ) ? ? A?sin ??t ? ? ?

(9)

式中 ?

为振动的圆频率

??

? g ?' b
1

(10)

在 (8 ) 和

(9) 式 中

A和 ?分别是振幅和初相位,由初始条件决定. 在物块刚被释放时,即 t ? 0 时刻有
X (0) ? ?

x = 0 , 由 (5) 式 得
?? b ?
V (0) ? 0

(11) (12)

由 (8) 至 (12 ) 式 可 求 得
A?

?? b ?

(13 )

? ??
(14)

将 (10) 、 (13 ) 和 (14 ) 式 分 别 代 人 (8 ) 和 (9 ) 式 得
X (t ) ?

?? b cos ??t ? ? ? ?

(15)

V (t ) ? ?

?? gb sin ??t ? ? ? ?

(16 )

由 (15) 式 可 知 ,物 块 再 次 返 回 到 初 始 位 置 时 恰 好 完 成 一 个 振 动 周 期 ;但 物 块 的 运 动 始 终 由 (15) 表 示 是 有 条 件 的 , 那 就 是 在 运 动 过 程 中 物 块 始 终 没 有 完 全 浸 没 在 湖 水 中 . 若 物 块 从 某 时 刻 起 全 部 浸 没 在 湖 水 中 ,则 湖 水 作 用 于 物 块 的 浮 力 变 成 恒 力 ,物 块 此 后 的 运 动 将 不 再 是 简 谐 振 动 ,物 块 再 次 返 回 到 初 始 位 置 所 需 的 时 间 也 就 不 再 全 由 振 动 的 周 期 决 定 . 为 此 ,必 须 研 究 物 块 可 能 完 全 浸 没 在 湖 水 中 的 情 况 . 显 然 ,在 x 系 中 看 ,物 块 下 底 面 坐 标 为 b 时 ,物 块 刚 好 被 完 全 浸 没 ; 由 (5) 式 知 在

X 系中这一临界坐标值为
( 17 )即 物 块 刚 好 完

? ?? ? X ? X b ? ?1 ? ? b ? ??
平衡位置的最大距离等于振动的振蝠 I . A ? X b . 由 (13 ) 和 (17 ) 两 式 得

全 浸 没 在 湖 水 中 时 ,其 下 底 面 在 平 衡 位 置 以 下 X b 处 . 注 意 到 在 振 动 过 程 中 ,物 块 下 底 面 离

A,下面分两种情况讨论:

(18 ) ? ? 2? ? 在这种情况下, 物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中. 因而, 物块从初始位置起, 经 一 个 振 动 周 期 , 再 次 返 回 至 初 始 位 置 . 由 (10) 式 得 振 动 周 期

T?
置出发往返一次所需的时间

2? ? ?b ? 2? ? ?g

(19) 物 块 从初始位

tI ? T ? 2?
II . A ? X b . 由 (13) 和 (17) 两 式 得 ? ? 2? ?

? ?b ?g

(20)

(21 )

在 这 种 情 况 下 ,物 块 在 运 动 过 程 中 会 从 某 时 刻 起 全 部 浸 没 在 湖 水 表 面 之 下 . 设 从 初 始 位 置 起 , 经 过 时 间 t1 物 块 刚 好 全 部 浸 入 湖 水 中 , 这 时 X ? t1 ? ? X b . 由 (15) 和 (17 ) 式 得
?? ?? cos ?? t1 ? ? ? ? 1 ? ? ?

(2 2)

取合理值,有
2

t1 ?
式可求得这时物块的速度为

?? ?? ? ?b ? ?? ? arccos ? ? 1?? ?g ? ? ? ? ??

(23)

由 上 式 和 (16 )

V ( 1t ) ??

?? ?

?? ? g b1 ? -? ? ? 1 ? ? ?

2

(24 )

此 后 , 物 块 在 液 体 内 作 匀 减 速 运 动 , 以 a? 表 示 加 速 度 的 大 小 , 由 牛 顿 定 律 有 ? ? ?? (2 5 ) a? ? g ?? 设 物 块 从 刚 好 完 全 浸 入 湖 水 到 速 度 为 零 时 所 用 的 时 间 为 t2 , 有
V ? t1 ? ? a?t2 ? 0

(26 )

由 (24)-(26 ) 得
t2 ? ?? ? ?? b? ? 1 ? ? ? 1? ? ( ? ? ? ?) g ? ? ? ?
2

(2 7)

物 块 从初始位置出发往返一次所需的时间为
?? ?? ?? ? b? ? ? 2? ? b? ? tII ? 2(t1 ? t2 ) ? 2 1 ? ? ? 1? ?? ? arccos ? ? ? 1?? ? g? ? ?? ?? ( ? ? ? ?) g ? ? ?? ?
2

(28)

评分标准: 本题 17 分.(6)式 2 分, (10) (15) (16) (17) (18)式各 1 分, (20)式 3 分, (21)式 1 分, (23) 式 3 分, (27)式 2 分, (28)式 1 分.

二、 (23 分)设想在地球赤道平面内有一垂直于地面 延伸到太空的轻质电梯, 电梯顶端可超过地球的同步卫星 高度 R (从地心算起)延伸到太空深处。这种所谓的太 空电梯可用于低成本地发射绕地人造卫星, 其发射方法是 将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度, 然后启动推进 装置将卫星从太空电梯发射出去。 1、设在某次发射时,卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升,该卫星在上升到 0.80 R 处意 外地和太空电梯脱离(脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零)而进入太空。 (1)论证卫星脱落后不会撞击地面。 (2)如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇,即可在它们相遇时回收该卫星。讨论该卫星从 脱落时刻起,在 0~12 小时及 12~24 小时两个时间段内被太空该电梯回收的可能性。 2、如果太空电梯地点位于东经 110 度处,在太空电梯上离地心距离为 R X 处有一卫星从电梯 脱落(脱落时卫星相对于太空电梯上脱落处的速度可视为零) ,脱落后该卫星轨道刚好能和赤 道某处相切,而使卫星在该点着地,试求卫星着地点的经度。提示:此问要用数值方法求解 高次方程。 已 知 : 地 球 质 量

M ? 6.0 ?1024 kg , 半 径 Re ? 6.4 ?106 m 的 球 体 ; 引 力 恒 量
3

G ? 6.7 ?10?11 N ? m2 ? kg ?2 ;地球自转周期 Te ? 24 小时;假设卫星与太空电梯脱落后只受地球
引力作用。
解: 1. i. 通 过 计 算 卫 星 在 脱 离 点 的 动 能 和 万 有 引力势能可知, 卫星的机械能为负值. 由开普 勒 第 一 定 律 可 推 知 ,此 卫 星 的 运 动 轨 道 为 椭 圆 (或圆) , 地 心 为 椭 圆 的 一 个 焦 点 (或 圆 的 圆 心 ) ,如 图 所 示 . 由 于 卫 星 在 脱 离 点 的 速 度 垂 直 于 地 心 和 脱 离 点 的 连 线 ,因 此 脱 离 点 必 为 卫 星 椭 圆 轨 道 的 远 地 点( 或 近 地 点 ) ;设 近 地 点( 或 远地点)离地心的距离为 r,卫星在此点的速 度 为 v .由 开 普 勒 第 二 定 律 可 知

0.80R

a
R

b

r v = ? 0.80R ? ?
2

(1)
m

式 中 ? (? 2 ? / Te 为 ) 地 球 自 转 的 角 速 度 .令

表示卫星的质量,根据机械能守恒定律有 ( 2) 由 ( 1) 和

1 2 GMm 1 GMm 2 mv ? ? m ? 0.80R ? ? 2 ? 2 r 2 0.80R
( 2) 式 解 得

r ? 0.28 R
地 点 ,而 脱 离 处 为 远 地 点 . 【 ( 3) 式 结 果 亦 可 由 关 系 式 :

(3) 可 见 该 点 为 近

?
直接求得】 同步卫星的轨道半径

GMm 1 GMm 2 ? m ? 0.80R ? ? 2 ? r ? 0.80R 2 0.80R

R 满足
GM ? R? 2 2 R
(4)

由 (3) 和 (4) 式 并 代 入 数 据 得
r ? 1.2 ? 104 km

( 5)

可见近地点到地心的距离大于地球半径,因此卫星不会撞击地球. ii. 由 开 普 勒 第 二 定 律 可 知 卫 星 的 面 积 速 度 为 常 量 , 从 远 地 点 可 求 出 该 常 量 为

?s ?

1 2 ? 0.80R ? ? 2 0.28R ? 0.80R 2
2 2

(6)

设 a和 b 分

别为卫星椭圆轨道的半长轴和半短轴,由椭圆的几何关系有

a?

(7)

? 0.80 ? 0.28 ? 2 b ? a ?? ? R 2 ? ?
卫星运动的周期

(8 )

T


T ?

? ab ?s
4

(9 )

代人相关数值可求出

T ? 9.5h

(10)

卫星刚脱离太空电梯时恰好处于远地点, 根据开普勒第二定律可知此时刻卫星具有最 小 角 速 度 ,其 后 的 一 周 期 内 其 角 速 度 都 应 不 比 该 值 小 ,所 以 卫 星 始 终 不 比 太 空 电 梯 转 动 得

T ( 约 14 小 慢 ;换 言 之 ,太 空 电 梯 不 可 能 追 上 卫 星 .设 想 自 卫 星 与 太 空 电 梯 脱 离 后 经 过 1 . 5
时) ,卫星到达近地点,而此时太空电梯已转过此点,这说明在此前卫星尚未追上太空电 梯 . 由 此 推 断 在 卫 星 脱 落 后 的 0 -12 小 时 内 二 者 不 可 能 相 遇 ;而 在 卫 星 脱 落 后 12 -24 小 时 内 卫 星 将 完 成 两 个 多 周 期 的 运 动 ,同 时 太 空 电 梯 完 成 一 个 运 动 周 期 ,所 以 在 12 -24 小 时 内 二 者必相遇,从而可以实现卫星回收. 2. 根 据 题 意 , 卫星轨道与地球赤道相切点和卫星在太空电梯上的脱离点分别为其轨道 的 近 地 点 和 远 地 点 .在 脱 离 处 的 总 能 量 为
1 GMm GMm m( Rx? ) 2 ? ?? 2 Rx Rx ? Re

( 11 )

此式可化为

? Rx ? ? Rx ? 2GM ? ? ?1 ? ? ? 2 3 ? Re ? ? Re ? ? Re
这 是 关 于 Rx 的 四 次 方 程 , 用 数 值 方 法 求 解 可 得
Rx ? 4.7 Re ? 3.0 ?104 km

3

(1 2)

( 13 ) 【 Rx 亦 可 用 开 普 勒 第 二 定 律 和 能 量 守 恒 定 律 求 得 . 令 v e 表 示 卫 星 与 赤 道 相 切 点 即 近 地 点 的速率,则有
2 Re ve ? Rx ?


1 GMm 1 GMm 2 mve ? ? m( Rx ? ) 2 ? 2 Re 2 Rx

由 上 两 式 联 立 可 得到方程

? Rx ? ? Rx ? 2GM Rx 2GM ? 2 3 ?0 ? ? ?? ? ? 2 3 ? Re ? ? Re ? ? Re Re ? Re
其中除 Rx 外其余各量均已知, 因此这是关于 Rx 的五次方程. 同样可以用数值方法解得 Rx .】 卫星从脱离太空电梯到与地球赤道相切经过了半个周期的时间, 为了求出卫星运行的周期 T ? , 设椭圆 的半长轴为 a ? ,半短轴为 b ? ,有 R ? Re a? ? x (14) 2
? R ? Re ? b? ? a? ? ? x ? ? 2 ?
2 2

5

3

(15)

因为面积速度可表示为
2 ? s? ? Rx ?

1 2

(16)

所以卫星的运动周期为
T? ?

? a?b? ? s?

(17)

代入相关数值可得

T ? ? 6.8 h
5

(18)

卫星与地球赤道第一次相切时已在太空中运行了半个周期,在这段时间内,如果地球不转动,卫星沿地球 自转方向运行 180 度,落到西经 (180? ? 110?) 处与赤道相切. 但由于地球自转,在这期间地球同时转过了

?T ? / 2 角度,地球自转角速度 ? ? 360? / 24h ? 15? / h ,因此卫星与地球赤道相切点位于赤道的经度为西经 ?T ? (19) ? ? 180? ? 110? ? ? 121?
2
即卫星着地点在赤道上约西经 121 度处. 评分标准: 本题 23 分. 第 1 问 16 分,第 i 小问 8 分,(1)、(2)式各 2 分, (4)式 2 分, (5)式和结论共 2 分.第 ii 小问 8 分, (9) 、 (10)式各 2 分,说出在 0-12 小时时间段内卫星不可能与太空电梯相遇并给出正确理由共 2 分,说 出在 12-24 小时时间段内卫星必与太空电梯相遇并给出正确理由共 2 分. 第 2 问 7 分,(11)式 1 分, (13)式 2 分, (18)式 1 分, (19)式 3 分. (数值结果允许有 5% 的相对 误差)

三、 (25 分)如图所示,两根刚性轻杆 AB 和 BC 在 B 段牢固粘 接在一起, AB 延长线与 BC 的夹角 ? 为锐角,杆 BC 长为 l ,杆 AB 长为 l cos ? 。在杆的 A 、 B 和 C 三点各固连一质量均为 m 的小球, 构成一刚性系统。 整个系统放在光滑水平桌面上,桌面上有一固定的 光滑竖直挡板,杆 AB 延长线与挡板垂直。现使该系统以大小为 v0 、 方向沿 AB 的速度向挡板平动。在某时刻,小球 C 与挡板碰撞,碰撞结束时球 C 在垂直于挡 板方向的分速度为零,且球 C 与挡板不粘连。若使球 C 碰撞后,球 B 先于球 A 与挡板相碰, 求夹角 ? 应满足的条件。
解: 解法一 如图 1 所示, 建直角坐标 Oxy ,x 轴与挡板垂直,y 轴与挡板重合. 碰 撞前体系质心的速度为 v 0 ,方向沿 x 轴正方向,以 P 表示系统的质心,

y

J 表示墙作用于小球 C 的冲量的 以 vPx 和 vPy 表示碰撞后质心的速度分量,
大小. 根据质心运动定理有
? J ? 3mvPx ? 3mv0

(1) (2)

A

B P

0 ? 3mvPy ? 0
由(1)和(2)式得 3mv0 ? J vPx ? 3m

?

?

O x

(3) (4)

lCP
C

vPy ? 0

可在质心参考系中考察系统对质心的角动量 . 在球 C 与挡板碰撞过程 中,质心的坐标为
6

图1

xP ? ?l c o ? s

(5)

1 yP ? ? l s i n ? (6) 3 球 C 碰挡板前,三小球相对于质心静止,对质心的角动量为零;球 C 碰挡板后,质心相对质心参考系仍 是静止的,三小球相对质心参考系的运动是绕质心的转动,若转动角速度为 ? ,则三小球对质心 P 的角 动量 2 2 2 (7) 式中 l AP 、lBP 和 L ? m?lAP ? m?lBP ? m?lCP
lCP 分别是

A 、 B 和 C 三球到质心 P 的距离,由图 1 可知
1 2 2 2 lAP ? l 2cos ? ? l sin ?2 9 1 2 lBP ? l 2 sin 2 ? 9 4 2 lCP ? l 2 cos2 ? ? l 2 sin 2 ? 9
(8) (9) (10)

由(7) 、 (8) 、 (9)和(10)各式得

2 L ? ml 2? (1 ? 2cos2 ? ) (11) 在碰撞过程 3 中, 质心有加速度, 质心参考系是非惯性参考系, 在质心参考系中考察动力学问题时, 必须引入惯性力. 但 作用于质点系的惯性力的合力通过质心,对质心的力矩等于零,不影响质点系对质心的角动量,故在质心 参考系中,相对质心角动量的变化仍取决于作用于球 C 的冲量 J 的冲量矩,即有 2 J l sin ? ? L (12) 【也可以始终在 3 惯性参考系中考察问题,即把桌面上与体系质心重合的那一点作为角动量的参考点,则对该参考点(12)式 也成立】 由(11)和(12)式得 J sin ? (13) 球 C 相对于质心 ?? ml (1 ? 2 cos 2 ? ) 参考系的速度分量分别为(参考图 1) (14) vCPx ? ??lCP sin ? ? ?? (l sin ? ? | yP |)

vCPy ? ??lCP cos ? ? ??l cos?
球 C 相对固定参考系速度的 x 分量为
vCx ? vCPx ? vPx

(15) (16) 由(3) 、 (6) 、

(13) 和 (16)各式得
vCx ? ? J ? v0 m(1 ? 2 cos 2 ? )

(17) 根据题意有
vCx ? 0

y

(18)由(17)和(18)式得
J ? mv0 (1 ? 2cos2 ? )

A O P B x

由(13)和(19)式得 v sin ? ?? 0 (20) l 球 A 若先于球 B 与挡板发生碰撞,则在球 C 与挡板碰撞后,整个系统至少 应绕质心转过 ??? 角,即杆 AB 至少转到沿 y 方向,如图 2 所示. 系统绕质 心转过 ??? 所需时间

(19)

1 ? t? 2

C (21) 图2
7

?

在此时间内质心沿 x 方向向右移动的距离

?x ? vPx t

(22) (23)


yP ? ?x ? xP

则球 B 先于球

、 (6) 、 (14) 、 (16) 、 (18) 、 (21) 、 (22)和(23)式得 A 与挡板碰撞. 由(5)

? ? arctan


3 1? ?

(24)

? ? 36?

(25)

评分标准: 本题 25 分.(1) 、 (2) 、 (11) 、 (12) 、 (19) 、 (20)式各 3 分, (21)式 1 分, (22) 、 (23)式各 2 分.(24) 或(25)式 2 分. 解法二 如图 1 所示, 建直角坐标系 Oxy ,x 轴与挡板垂直,y 轴与挡板重合, 以 vAx 、vAy 、vBx 、vBy 、vCx 和
vCx ? 0

y

vCy 分别表示球 C 与挡板刚碰撞后 A 、 B
(1) A

v Ay

vBy
B

和 C 三球速度的分量,根据题意有 以 J 表示挡板作用于球 C 的冲量的大小,其方向沿 x 轴的负方向,根据 质点组的动量定理有 (2) ?J ? m vA x ? m vBx 3 ? m v 0

v Ax

?

vBx

O x

P

vCy
C C 图1

0 ? mvAy ? mvBy ? mvCy

(3)

以坐标原点 O 为参考点,根据质点组的角动量定理有

Jl sin ? ? mvAy ?l cos? ? l cos? ? ? mvByl cos? ? mv0l sin ?
vAx ? vBx

(4)

因为连结小球的杆都是刚性的,故小球沿连结杆的速度分量相等,故有 (5) (6) (7)

vCy sin ? ? vBy sin ? ? vBx cos? vAx cos? ? vAy sin ? ? ?vCy sin ?
(7)式中 ? 为杆 AB 与连线 AC 的夹角. 由几何关系有
cos ? ? sin ? ? 2 cos ? 1 ? 3cos 2 ? sin ? 1 ? 3cos 2 ?

(8) (9)

解以上各式得
J ? mv0 (1 ? 2cos2 ? ) vAx ? v0 sin ?
2

(10) (11) (12) (13) (14)

vAy ? v0 sin ? cos?
vBx ? v0 sin 2 ?

vBy ? 0
8

vCy ? ?v0 sin ? cos ?

(15)

按题意,自球 C 与挡板碰撞结束到球 A (也可能球 B )碰撞挡板墙前,整个系统不受外力作用,系统的质 心作匀速直线运动. 若以质心为参考系,则相对质心参考系,质心是静止不动的, A 、 B 和 C 三球构成 的刚性系统相对质心的运动是绕质心的转动. 为了求出转动角速度,可考察球 B 相对质心的速度.由(11) 到(15)各式,在球 C 与挡板碰撞刚结束时系统质心 P 的速度 mv ? mvBx ? mvCx 2 vPx ? Ax ? v0 sin 2 ? 3m 3
vPy ? mvAy ? mvBy ? mvCy 3m ?0

(16) (17)

这时系统质心的坐标为
xP ? ?l c o ? s

(18) (19)

1 yP ? ? l sin ? 3
不难看出,此时质心 P 正好在球 B 的正下方,至球 B 的距离为 y P ,而球 B 相对质心的速度

1 2 vB P x? v B ? v sin x v P? x 0? 3

(20)

vBPy ? 0
(21)

可见此时球 B 的速度正好垂直 BP ,故整个系统对质心转动的角速度 v v sin ? ? ? BPx ? 0
yP l

(22)

若使球 A 先于球 B 与挡板发生碰撞,则在球 C 与挡板碰撞后,整个系统至少应绕质心转过 π / 2 角, 即杆 AB 至少转到沿 y 方向,如图 2 所示. 系统绕质心转过 π / 2 所需时间

1 π t? 2

?

(23)

在此时间内质心沿 x 方向向右移动的距离
?x ? vPx t

y

(24) 若
yP ? ?x ? xP

(25)

A O P B x

则球 B 先于球

A 与挡板碰撞. 由以上有关各式得
? ? arctan
3 1? ?
(26)



? ? 36?

(27) C

评分标准: 本题 25 分. (2) 、 (3) 、 (4) 、 (5) 、 (6) 、 (7)式各 2 分, (10) 、 (22) 式各 3 分, (23)式 1 分, (24) 、 (25)式各 2 分, (26)或(27)式 2 分.

图2

9

四、 (21 分)如图所示,虚线小方框是由 2n 个电容器联 成的有限网络;虚线大方框是并联的两个相同的无限网络, 此无限网络的结构是:从左到中间,每个电容器的右极板与 两个电容器的左极板相连,直至无穷;从中间到右,每两个 电容器的右极板与一个电容器的左极板相连, 直至联接到一 个电容器为止。 网络中的所有电容器都是完全相同的平行板 真空电容器, 其极板面积为 S , 极板间距为 d ( d

?? S ) 。

整个电容网络体系与一内电阻可忽略不计的电池连接,电池电动势恒定、大小为 ? 。忽略电容 器的边缘效应,静电力常量 k 已知。 1、若将虚线小方框中标有 a 的电容器的右极板缓慢地向右拉动,使其两极板的距离变为,求 在拉动极板过程中电池所做的功和外力所做的功。 2、在电容器两极板的距离变为 2d 后,再将一块与电容器 a 的极板形状相同、面积也为 S 、带 电荷量为 Q ( Q ? 0 )的金属薄板沿平行于 a 的极板方向全部插入到电容器 a 中,使金属薄板 距电容器 a 左极板的距离为 x 。求此时电容器 a 的左极板所带的电荷量。
解: 参考解答: 1 . 虚 线 小 方 框 内 2 n 个 平 行 板 电 容 器 每 两 个 并 联 后 再 串 联 , 其 电 路 的 等 效 电 容 Ct1 满 足下式
1 n ? Ct1 2C

( 1)



Ct1 ?
式中

2C n

( 2)

S 4? kd 虚 线 大 方 框 中 无 限 网 络 的 等 效 电 容 Ct 2 满 足 下 式 C?
1 1 1 ? 1 ? ? 2? ? ? ? ? ? ?? Ct 2 ? 2C 4C 8C ?

( 3)

( 4)



C 2 整个电容网络的等效电容为 Ct 2 ?
Ct ? Ct C 1 Ct 1? C
t 2 t

( 5)

?

2C n 2 ? 4

( 6)

等效电容器带的电量(即与电池正极连接的电容器极板上电量之和) S? qt ? C t ? ? (n ? 4)2? kd

( 7)

?满 当 电 容 器 a 两 极 板 的 距 离 变 为 2 d 后 ,2 n 个 平 行 板 电 容 器 联 成 的 网 络 的 等 效 电 容 Ct1 足下式

1 n ?1 2 ? ? ? Ct1 2C 3C

( 8)

由此得

10

? ? Ct1
整个电容网络的等效电容为
Ct? ?

6C 3n ? 1
( 10)

( 9)

? Ct 2 Ct1 6C ? ? ? Ct 2 3n ? 13 Ct1

整个电容网络的等效电容器带的电荷量为
qt? ? Ct?? ? 3S ? (3n ? 13)2? kd S? (3n ? 13)(n ? 4)2? kd

( 11 )

在 电 容 器 a 两 极 板 的 距 离 由 d 变 为 2d 后 , 等 效 电 容 器 所 带 电 荷 量 的 改 变 为
?qt ? qt? ? qt ? ?

( 12 )

电容器储能变化为
?U ? 1 S? 2 Ct?? 2 ? Ct ? 2 ? ? ? ? 2 2(3n ? 13)(n ? 4)2? kd S? 2 (3n ? 13)(n ? 4)2? kd S? 2 2(3n ? 13)(n ? 4)2? kd

( 13 )

在此过程中,电池所做的功为
A ? ?qt ? ? ?

( 14 )

外力所做的功为
A? ? ?U ? A ?

( 15 )

2.设 金 属 薄 板 插 入 到 电 容 器 a 后 , a 的 左 极 板 所 带 电 荷 量 为 q? , 金 属 薄 板 左 侧 带 电 荷 量 为 ? q ? , 右 侧 带 电 荷 量 为 ( q ? ? Q ) , a 的 右 极 板 带 电 荷 量 为 ?( q ? ? Q ) , 与 a 并 联 的 电 容 器 左 右 两 极 板 带 电 荷 量 分 别 为 q?? 和 ? q ?? .由 于 电 容 器 a 和 与 其 并 联 的 电 容 器 两 极 板 电 压 相 同 , 所以有 q?? q? ( q ? ? Q) ? ? ( 16 ) S S C 4? kx 4? k (2d ? x) 由 ( 2) 式 和 上 式 得 2d ? x q? ? q?? ? 3q? ? Q ( 17 ) d 上式表示电容器 a 左极板和与其并联的电容器左极板所带电荷量的总和, 也是虚线大方框 中 无 限 网 络 的 等 效 电 容 Ct 2 所 带 电 荷 量 ( 即 与 电 池 正 极 连 接 的 电 容 器 的 极 板 上 电 荷 量 之 和). 整个电容网络两端的电压等于电池的电动势,即
q? ? q?? q? ? q?? q?? ? (n ? 1) ? ?? ct 2 2C C

( 18 )

将 ( 2) 、 ( 5 ) 和 ( 1 7 ) 式 代 入 ( 18 ) 式 得 电 容 器 a 左 极 板 带 电 荷 量
q? ? S? (n ? 5)(2d ? x) ? Q (3n ? 13)2? kd (3n ? 13)d

( 19 )

评分标准: 本题 21 分. 第 1 问 13 分, (2)式 1 分, (5)式 2 分, (6) 、 (7) 、 (10) 、 (11) 、 (12)式各 1 分, (13) 式 2 分,(14)式 1 分, (15)式 2 分. 第 2 问 8 分, (16) 、 (17) 、 (18) 、 (19)式各 2 分.
11

五、 (25 分)如图所示,两个半径不等的用细金属导线做成的同 心圆环固定在水平的桌面上。 大圆环半径为 R1 , 小圆环表面绝缘半径 为 R2 ( R2 ?? R1 ) ,两圆环导线每单位长度电阻均为 r0 ,它们处于匀 强磁场中,磁感应强度大小为 B ,方向竖直向下,一每单位长度电阻 为 r1 的长直金属细杆放在大圆环平面上,并从距圆环中心左侧为
R1 / 100(> R2 )的 ab 位置,以速度 v 匀速向右沿水平面滑动到相对于大圆环中心与 ab 对称的

位置 cd,滑动过程中金属杆始终与大圆环保持密接。假设金属杆和大圆环的电流在小圆环处 产生的磁场均可视为匀强磁场。试求在上述滑动过程中通过小圆环导线横截面的电荷量。 提示:当半径为 R ,长度为 l 的一段圆弧导线通有电流 I 时,圆弧电流在圆心处产生的磁感应 强度大小为 B ? k m
Il ,方向垂直于圆弧所在平面且与圆弧电流的方向满足右手螺旋法则; R2

无限长直导线通有电流 I 时,电流在距直导线距离为 r 处产生的磁感应强度 B 的大小为
2I ,其中 k m 为已知常量。 r 解: 参考解答: 如图 1 所示,当长直金属杆在 ab 位置以速度 v 错误!未指定书 签。水平向右滑动到时,因切割磁力线,在金属杆中产生由 b 指向 a 的感应电动势的大小为 ? ? BL v (1) B ? km
式中 L 为金属杆在错误!未指定书签。位置时与大圆环两接触点间的 长度,由几何关系有

ca

l1
I1

l2 I
I2

? R ? L ? 2 R12 ? ? 1 ? ? 2 R1 ? 100 ?

2

(2) b d

在金属杆由错误!未指定书签。位置滑动到 cd 位置过程中,金属杆 与大圆环接触的两点之间的长度 L 可视为不变,近似为 2 R1 .将(2) 式代入(1)式得,在金属杆由错误!未指定书签。滑动到 cd 过程中 感应电动势大小始终为
? ? 2 BR1v

图 1

(3)

以 I 、 I1 和 I 2 分别表示金属杆、杆左和右圆弧中的电流,方向如图 1 所示,以 U ab 表示 a、b 两端的电压, 由欧姆定律有
U ab ? I1l1r0 U ab ? I 2l2 r0

( 4) ( 5)

式中,l1 和 l2 分别为金属杆左、右圆弧的弧长.根据提示,l1 和 l2 中的电流在圆心处产生的磁感应强度的大小 分别为
B1 ? k m I1l1 R12
12

(6)

B2 ? k m

I 2 l2 R12

(7)

B1 方向竖直向上, B2 方向竖直向下.

由(4) 、 (5) 、 (6)和(7)式可知整个大圆环电流在圆心处错误!未找到引用源。产生的错误!未找 到引用源。为 (8) B0 ? B2 ? B1 ? 0 无论长直金属杆滑动到大圆环上何处,上述结论都成立,于是在圆心处只有金属杆错误!未找到引用源。 的电流 I 所产生磁场. 在金属杆由 ab 滑动到 cd 的过程中,金属杆都处在圆心附近,故金属杆可近似视为无限长直导线,由 提示,金属杆在 ab 位置时,杆中电流产生的磁感应强度大小为 2I B3 ? k m (9) R1 100 方向竖直向下.对应图 1 的等效电路如图 2,杆中的电流 ? (10) a I? R左 R右 R? I1 I I2 R左 ? R右 ε R左 R右 其中 R 为金属杆与大圆环两接触点间这段金属杆的电阻, R左 和 R右 分别为金 Rab 属杆左右两侧圆弧的电阻,由于长直金属杆非常靠近圆心,故 (11) Ra b ? 2 R 1r,1 左 R =右 R? ? R 1 r 0 利用(3) 、 (9) 、 (10)和(11)式可得
B3 ? 800km v B R1 (4r1 ? ? r0 )
b

图 2

(12) 由于小圆环半径错误!未找到引用源。 ,小圆环圆面上各点的磁场可近似视为均匀的,且都等于长直 金属杆在圆心处产生的磁场. 当金属杆位于 ab 处时,穿过小圆环圆面的磁感应通量为
2 ?ab ? ? R2 B3

(13)

当长直金属杆滑到 cd 位置时,杆中电流产生的磁感应强度的大小仍由(13)式表示,但方向相反,故穿过小 圆环圆面的磁感应通量为
2 ?cd ? ? R2 (? B3 )

(14)

在长直金属杆以速度错误!未找到引用源。从 ab 移动到 cd 的时间间隔 ?t 内,穿过小圆环圆面的磁感 应通量的改变为 2 (15) ?? ? ?c d ? ? a ? b ?2? R B 2 3 由法拉第电磁感应定律可得,在小圆环中产生的感应电动势为大小为 2 B3 ?? 2? R2 ?i ? ? ?
?t ?t

(16)

在长直金属杆从 ab 移动 cd 过程中,在小圆环导线中产生的感应电流为 RB ?i Ii ? ? 2 3 2? R2 r0 r0 ?t 于是,利用(12)和(17)式,在时间间隔 ?t 内通过小环导线横截面的电荷量为
Q ? I i ?t ? R2 B3 800km v BR2 ? r0 R1r0 (4r1 ? ? r0 )

(17)

(18)

评分标准: 本题 25 分. (3)式 3 分, (4) 、 (5)式各 1 分, (8) 、 (10)式各 3 分, (12)式 3 分, (15)式 4 分, (16) 、 (17)式各 2 分, (18)式 3 分.
13

六、 (15 分)如图所示,刚性绝热容器 A 和 B 水平放置,一 根带有绝热阀门和多孔塞的绝热刚性细短管把容器 A、 B 相互连 通。初始时阀门是关闭的,A 内装有某种理想气体,温度为 T1 ; B 内为真空。 现将阀门打开, 气体缓慢通过多孔塞后进入容器 B 中。当容器 A 中气体的压强降到与初始时 A 中气体压强之比为 ? 时,重新关闭阀门。设最后留在容器 A 内的那部分气体与进入容器 B 中的气体之间始终无 热量交换,求容器 B 中气体质量与气体总质量之比。已知:1 摩尔理想气体的内能为 u ? CT , 其中 C 是已知常量,T 为绝对温度;一定质量的理想气体经历缓慢的绝热过程时,其压强 p 与体积 V 满足过程方程 pV 略不计。
解: 设重新关闭阀门后容器 A 中气体的摩尔数为 摩尔数为
C?R C

? 常量 ,其中 R 为普适气体常量。重力影响和连接管体积均忽

n1 , B 中 气 体 的 摩 尔 数 为 n2 , 则 气 体 总
( 1)

n ? n1 ? n2
气体温度为

把 两 容 器 中 的 气 体 作 为 整 体 考 虑 , 设 重 新 关 闭 阀 门 后 容 器 A 中 气 体 温 度 为 T1? , B 中

T2 ,重 新 关 闭 阀 门 之 后 与 打 开 阀 门 之 前 气 体 内 能 的 变 化 可 表 示 为
?U ? n1C ?T1? ? T1 ? ? n2C ?T2 ? T1 ?
( 2)

由于容器是刚性绝热的,按热力学第一定律有

?U ? 0
令 V1 表 示 容 器 A 的 体 积 , 初 始 时 A 中 气 体 的 压 强 为 由理想气体状态方程可知
n? n1 ? p1V1 RT1 (? p1 )V1 RT1?

( 3)

p1 ,关闭阀门后 A 中气体压强为 ? p1 ,
( 4) ( 5)

由以上各式可解得

T2 ?

?1 ? ? ? T1T1?
T1? ? ? T1

由 于 进 入 容 器 B 中 的 气 体 与 仍 留 在 容 器 A 中 的 气 体 之 间 没 有 热 量 交 换 ,因 而 在 阀 门 打开到重新关闭的过程中留在容器 A 中的那部分气体经历了一个绝热过程,设这部分气 体 初 始 时 体 积 为 V10 ( 压 强 为

p1 时), 则 有
pV
C?R C 1 10

? (? p1 )V

C?R C 1

(6 )

14

利用状态方程可得

p1V10 (? p1 )V1 ? T1 T1?
由 ( 1) 至 ( 7) 式 得 , 阀 门 重 新 关 闭 后 容 器 B 中 气 体 质 量 与 气 体 总 质 量 之 比

( 7)

n2 2 ? ? ?? ? R n C?R 2 ?? ??

R C?R

C C?R

( 8)

评分标准: 本题 15 分. (1)式 1 分, (2)式 3 分, (3)式 2 分, (4) 、 (5)式各 1 分, (6)式 3 分, (7)式 1 分, (8)式 3 分.

七、 (16 分)图中 L1 为一薄凸透镜, Q 为高等于 2.00cm 与光轴垂直放置的线状物,已知
Q 经 L1 成一实像,像距为 40.0cm。现于 L1 的右方依次放置薄凹透镜 L2 、 L3 和薄凸透镜 L4 以

及屏 P ,它们之间的距离如图所示,所有的透镜都共轴,屏与光轴垂直, L2 、 L3 焦距的大小 均为 15.0cm。已知物 Q 经上述四个透镜最后在屏上成倒立的实像,像高为 0.500cm。

1、 L1 焦距的大小为

cm, L4 焦距的大小为

cm。

2、现保持 Q 、 L1 、 L4 和 P 位置不变,而沿光轴平移 L2 、 L3 ,最后在屏上成倒立的实像, 像高为 1.82cm,此时 L2 和 L1 的距离为 最后保留结果至小数点后一位。
答案与评分标准: 1. 19.2 (4 分 , 填 19.0 至 19.4 的 , 都 给 4 分 ) 10.2 ( 4 分 , 填 10.0 至 10.4 的 , 都 给 4 分 )
15

cm, L3 和 L4 的距离为

cm。

2. 20.3 4. 2

(4 分 , 填 20.1 至 20.5 的 , 都 给 4 分 ) (4 分 , 填 4.0 至 4.4 的 , 都 给 4 分 )

八、 (18 分)如图所示,竖直固定平行放置的两条相同长直导线 1 和 2 相距为 a ( a <<长直导线的长度) ,两导线中通有方向和大小都相同的稳恒电流,电流方 向向上。导线中正离子都是静止的,每单位长度导线中正离子的电荷量为 ? ; 形成电流的导电电子以速度 v0 沿导线向下匀速运动,每单位长度导线中导电电 子的电荷量为 ? ? 。已知:单位长度电荷量为 ? 的无限长均匀带电直导线在距 其距离为 r 处产生的电场的强度大小为 E ? k e
2? ,其中 ke 是常量;当无限长直 r

导线通有稳恒电流 I 时,电流在距导线距离为 r 处产生磁场的磁感应强度大小为
B ? km 2I , 其中 k m 是常量。 试利用狭义相对论中的长度收缩公式求常量 ke 和 k m r

的比值。百度传课:物理竞赛&自主招生与奥赛全程对接物理视频教程。 提示:忽略重力;正离子和电子的电荷量与惯性参照系的选取无关;真空中的光速为 c 。
解: 在 相 对 于 正 离 子 静 止 的 参 考 系 S 中 , 导 线 中 的 正 离 子 不 动 , 导 电 电 子 以 速 度 v0 向 下 匀 速 运 动 ;在 相 对 于 导 电 电 子 静 止 的 参 考 系 S ? 中 ,导 线 中 导 电 电 子 不 动 ,正 离 子 以 速 度 v 0 向 上 匀 速 运 动 .下 面 分 四 步 进 行 分 析 . 第 一 步 , 在 参 考 系 S? 中 , 考 虑 导 线 2 对 导 线 1 中 正 离 子 施 加 电 场 力 的 大 小 和 方 向 . 若 S 系 中 一 些 正 离 子 所 占 据 的 长 度 为 l , 则 在 S ? 系 中 这 些 正 离 子 所 占 据 的 长 度 变 为 l?? , 由 相 对论中的长度收缩公式有

? ? l 1? l?

2 v0 c2

( 1)

? ,由 于 离 子 的 电 荷 量 设 在 参 考 系 S 和 S ? 中 ,每 单 位 长 度 导 线 中 正 离 子 电 荷 量 分 别 为 ? 和 ??

与惯性参考系的选取无关,故
?l? ? ? ?l ??

( 2)

由 ( 1) 和 ( 2) 式 得
?? ??

?
v2 1? 0 c2

( 3)

设 在 S 系 中 一 些 导 电 电 子 所 占 据 的 长 度 为 l ,在 S ? 系 中 这 些 导 电 电 子 所 占 据 的 长 度 为
?,则由相对论中的长度收缩公式有 l?
16

? 1? l ? l?

2 v0 c2

( 4)

同理,由于电子电荷量的值与惯性参考系的选取无关,便有
?? ? ? ?? v2 1? 0 c2

( 5)

? 分 别 为 在 参 考 系 S 和 S? 中 单 位 长 度 导 线 中 导 电 电 子 的 电 荷 量 . 式 中 , ? ? 和 ??

在 参 照 系 S? 中 , 导 线 2 单 位 长 度 带 的 电 荷 量 为

? ? ?? ?? ? ? ? ??

?
v2 1? 0 c2

? ( ?? ) 1 ?

2 v0 ? c2

2 v0 2 c2 v0 1? 2 c

?

( 6)

它在导线 1 处产生的电场强度的大小为

E? ?

2ke ? ? ? a

2 2ke ? v0

v2 c a 1? 0 c2
2

( 7)

电 场 强 度 方 向 水 平 向 左 .导 线 1 中 电 荷 量 为 q 的 正 离 子 受 到 的 电 场 力 的 大 小 为

f e?? ? qE ? ?

2 2 k e q ? v0

v2 c a 1? 0 c2
2

( 8)

电场力方向水平向左. 第 二 步 , 在 参 考 系 S? 中 , 考 虑 导 线 2 对 导 线 1 中 正 离 子 施 加 磁 场 力 的 大 小 和 方 向 . 在 参 考 系 S? 中 , 以 速 度 v 0 向 上 运 动 的 正 离 子 形 成 的 电 流 为
? v0 ? I ? ? ??

? v0
v2 1? 0 c2

( 9)

导线 2 中的电流

I?在导线 1 处产生磁场的磁感应强度大小为
B? ? 2km ? v0 2km I ? ? a v2 a 1? 0 c2

( 10 )

磁 感 应 强 度 方 向 垂 直 纸 面 向 外 .导 线 1 中 电 荷 量 为 q 的 正 离 子 所 受 到 的 磁 场 力 的 大 小 为

? ? ? q v0 B ? ? fm

2 2 k m q ? v0

v2 a 1? 0 c2

( 11 )

方向水平向右,与正离子所受到的电场力的方向相反. 第 三 步 ,在 参 考 系 S 中 ,考 虑 导 线 2 对 导 线 1 中 正 离 子 施 加 电 场 力 和 磁 场 力 的 大 小 和 方 向 .由 题 设 条 件 , 导 线 2 所 带 的 正 电 荷 与 负 电 荷 的 和 为 零 , 即

? ? (?? ) ? 0
17

( 12 )

因而,导线 2 对导线 1 中正离子施加电场力为零
fe? ? 0

( 13 )

注意到在 S 系中,导线 1 中正离子不动
v1+ ? 0

( 14 )

导线 2 对导线 1 中正离子施加磁场力为零
f m ? ? qv1+ B ? 0

( 15 )

式 中 , B 是 在 S 系 中 导 线 2 的 电 流 在 导 线 1 处 产 生 的 磁 感 应 强 度 的 大 小 . 于 是 ,在 S 系 中 , 导线 2 对导线 1 中正离子施加电场力和磁场力的合力为零. 第四步,已说明在 S 系中导线 2 对导线 1 中正离子施加电场力和磁场力的合力为零, 如 果 导 线 1 中 正 离 子 还 受 到 其 他 力 的 作 用 , 所 有 其 它 力 的 合 力 必 为 零 ( 因 为 正 离 子 静 止 ). 在 S? 系 中 , 导 线 2 对 导 线 1 中 正 离 子 施 加 的 电 场 力 和 磁 场 力 的 合 力 的 大 小 为
? ? ? f e?? f ? ? fm

(16 )

因 为 相 对 S? 系 , 上 述 可 能 存 在 的 其 它 力 的 合 力 仍 应 为 零 , 而 正 离 子 仍 处 在 勻 速 运 动 状 态 , 所 以 (16) 式 应 等 于 零 , 故
? ? ? f e?? fm

( 17 )

由 ( 8) 、 ( 11 ) 和 ( 17 ) 式 得
ke ? c2 km

( 18 )

评分标准: 本题 18 分. (1)至(18)式各 1 分.

18


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