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2016高考数学二轮专题复习 三角函数与平面向量 第7讲 任意角的三角函数及三角恒等变换课件 文


?第一部分

专题突破篇

专题二 三角函数与平面向量

第 7讲

任意角的三角函数及三角恒等变换

高考真题体验

[主干整合] 1.必记公式 (1)同角三角函数之间的关系:
2 2 sin α + cos α=1 ①平方关系: sin α

②商数关系:tan α=cos α .



(2)诱导公式: ①公式:Sα+2kπ;Sπ±α;S3π±α ;Sπ±α ;
2 2

②巧记口诀:奇变偶不变,符号看象限,α 当锐角看.

(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
cos αsin β ①sin(α± β)= sin αcos β± ②cos(α± β)= cos αcos β?sin αsin β

; ;

tan α± tan β ③tan(α± β)= 1?tan αtan β

.
a2+b2 sin (α+φ)

④辅助角公式:asin α+bcos α= = a2+b2cos (α+θ).

(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式: ①sin 2α= 2sin αcos α ;
2 2 cos α - sin α =2cos2α-1=1-2sin2α; ②cos 2α= 2tan α ③tan 2α= 1-tan2α .

(5)降幂公式: 1-cos 2α ①sin2α= 2 1+cos 2α ②cos2α= 2

; .

2.易错提醒 (1)同角关系应用错误:利用同角三角函数的平方关系开方 时, 忽略判断角所在的象限或判断出错, 导致三角函数符号错误. (2)诱导公式的应用错误: 利用诱导公式时, 三角函数名变换 出错或三角函数值的符号出错. (3)忽视角的范围:给值求角或给角求值时,忽视角的范围.

[真题再现] 1.(2015· 全国卷Ⅰ)sin 20° cos 10° -cos 160° sin 10° =( 3 3 1 1 A.- 2 B. 2 C.-2 D.2
答案:D

)

解析:原式=sin 20° cos 10° +cos 20° sin 10° =sin (20° +10° ) 1 =sin 30° = . 2

2.(2015· 重庆卷)若 tan

? 3π? cos?α-10? π ? ? α=2tan ,则 ? =( 5 π? sin?α-5? ? ?

)

A.1 B.2 C.3 D.4
答案:C

?π ? ? 3π?? 3π? ? ? cos?α-10? sin?2+?α-10?? ? ?? ? ? ? 解析: ? ? π? = π? sin?α-5? sin ?α-5? ? ? ? ? ? π? π π sin?α+5? sin αcos 5+cos αsin 5 ? ? = ? π?= π π ? ? sin αcos -cos αsin sin α-5 5 5 ? ?

π tan α+tan 5 = , π tan α-tan 5 ∵tan α=2tan

? 3π? cos?α-10? 3tan π ? ? ,∴ ? = 5 π? tan sin?α-5? ? ?

π 5 =3.故选 C. π 5

1 3.(2015· 江苏卷)已知 tan α=-2,tan(α+β)= ,则 tan β 的 7 值为________.

答案:3

tan?α+β?-tan α 解 析 : tan β = tan[(α + β) - α] = = 1+tan?α+β?tan α 1 7-?-2? =3. 1 1+7×?-2?

4.(2015· 四川卷)sin 15° +sin 75° 的值是________.
6 答案: 2

解析:sin 15° +sin 75° =sin 15° +cos 15° = 2sin (15° +45° ) 6 = 2sin 60° =2.

5.(2015· 广东卷) 已知 tan α=2. (1)求
? π? tan?α+4?的值; ? ?

sin 2α (2)求 2 的值. sin α+sin αcos α-cos 2α-1

解:(1)因为 tan α=2, π tan α+tan 4 ? π? 所以 tan?α+4?= π ? ? 1-tan α· tan 4 2+1 = =-3. 1-2×1 (2)因为 tan α=2, sin 2α 所以 2 sin α+sin αcos α-cos 2α-1 2sin αcos α = 2 sin α+sin αcos α-?cos2α-sin2α?-?sin2α+cos2α?

2αsin αcos α = 2 sin α+sin αcos α-2cos2α 2tan α = 2 tan α+tan α-2 2×2 = 2 =1. 2 +2-2

[感悟高考] 和差角公式、二倍角公式是高考的热点,常与三角函数式的 求值、化简交汇命题.既有选择题、填空题,又有解答题,难度 适中,主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力. 预测 2016 年高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考 点,复习时应引起足够的重视.

热点考向突破

考向一 三角函数的定义 [ 典 例 1]
? ?cos ?

(1) 已 知 角 α 的 终 边 上 一 点 的 坐 标 为 )

11π 11π? ? 6 ,sin 6 ?,则角 α 的最小正值为( 5π 2π 5π 11π A. 6 B. 3 C. 3 D. 6

(2)(2015· 江西八校联考)如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点 为 A,点 C,B 在圆 O 上,且点 C 位于第一象限,点 B 的坐标为
?12 5? ? ,- ?,∠AOC=α.若|BC|=1,则 13? ?13

α α α 3 3cos22-sin2cos2- 2 的

值为________.

[审题突破]

(1) 看 到 终 边 α

? 11π ? 上 一 点 的 坐 标 ?cos 6 , ?

11π? sin ? ,想到三角函数的定义; 6 ? ? (2)看到点 B 的坐标,想到三角函数的定义.

(1)答案:D 解析:由三角函数定义知, 11π π 1 sin 6 -sin 6 -2 3 tan θ= 11π= π = 3 =- 3 . cos cos 6 6 2 11π 11π 又 cos 6 >0,sin 6 <0. 11π 所以 α 是第四象限角,因此 α 的最小正值为 6 .

5 (2)答案:13 解析:由题意,得|OB|=|OC|=|BC|=1, 从而△OBC 为等边三角形,
?π ? ∴sin∠AOB=sin?3-α? ? ?


5 =13,

1+cos α sin α α α 3 3 ∴ 3cos 2-sin 2cos 2- 2 = 3· 2 - 2 -2
? 2π? 1 3 =-2sin α+ 2 cos α=sin ?α+ 3 ? ? ?

=sin

? ? ?π ? 2π?? 5 ?π-?α+ ??=sin? -α?= . 3 ?? ? ? ?3 ? 13

规律方法 运用定义可求解的两类问题 (1)求三角函数值(或角):当已知角的终边所经过的点或角的 终边所在的直(射)线时,一般先根据三角函数的定义求这个角的 三角函数值,再求其他.但当角经过的点不固定时,需要进行分 类讨论. (2)建模: 由于三角函数的定义与单位圆、 弧长公式等存在一 定的联系, 因此在命题思路上可以把圆的有关知识同三角函数建 立联系.

[变式训练] π 1.角速度为4的质点 P,从点(-1,0)出发,逆时针沿单位圆 x2+y2=1 运动, 经过 17 个时间单位后, 点 P 的坐标是________.
? 答案:? ?- ?

2 2? ? ,- 2 2? ?

17π 解析:经过 17 个单位时间,质点运动的弧度是 4 ,此时质 点 P 在角 π+ 17π 21π 5π = 的终边上,即在 的终边上,根据三角函 4 4 4
? 5π 5π? 2 2? ? ? ?, , sin 即 - ,- ? ?. 4 4? 2 2 ? ?

? 数的定义, 此时该点的坐标是?cos ?

2.(2015· 浙江新阵地教育研究联盟联考)已知点 P(cos α,sin α) 在直线 y =- 3x 上,则 ________.
1 答案:2 -3
? 1+cos 2α π? tan ?α-4? = ________ ; sin 2α = ? ?

解析:∵点 P(cos α,sin α)在直线 y=-3x 上, ∴sin α=-3cos α,即 tan α=-3, 则
? π? tan α-1 -3-1 tan?α-4?= = =2; 1-3 ? ? 1+tan α

1+cos 2α 2cos2α cos α 1 1 = = = =- . sin 2α 2sin αcos α sin α tan α 3

考向二 同角三角函数间的基本关系及诱导公式 [典例 2] (1)(2015· 山东淄博实验中学检测)已知 tan α=2.则 )

sin2α-sin αcos α 的值是(

2 2 A.5 B.-5 C.-2 D.2 tan α (2)已知 =-1,求下列各式的值: tan α-1 sin α-3cos α ① ; sin α+cos α ②cos
2

?π ? ? +α?-sin(π-α)cos(π+α)+2. ?2 ?

[审题突破]

(1)看到 sin2α-sin αcos α,想到齐次式;

sin α-3cos α (2)①看到 ,想到商数关系; sin α+cos α π ②看到 +α,π-α,π+α,想到诱导公式. 2

(1)答案:A 解析:sin2α-sin αcos α sin2α-sin αcos α tan2α-tan α = = , sin2α+cos2α 1+tan2α 2 把 tan α=2 代入,原式=5,故选 A.

1 (2)解:由已知,得 tan α= . 2 1 tan α-3 2-3 5 ①原式= = =- . 3 tan α+1 1 +1 2 ②原式=sin2α+sin αcos α+2 =sin2α+sin αcos α+2(cos2α+sin2α) 3sin2α+sin αcos α+2cos2α = sin2α+cos 2α 3tan2α+tan α+2 = tan2α+1 ?1? ? ?2 1 3×?2? + +2 2 13 ? ? = = . ?1? 5 ? ?2 ?2? +1 ? ?

规律方法 1.利用同角三角函数的关系式化简求值的四种常用方法 sin α (1)切弦互换法:利用 tan α=cos α进行转化. (2)和积转化法: 利用(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α 进行变形、 转化. (3)常值代换法:常用之一就是把“1”代换为“sin2α+cos2α” 或“tan 45° ”.

(4)方程(组)法:同角三角函数关系 sin2α+cos2α=1 和 tan α sin α =cos α联合使用, 可以根据角 α 的一个三角函数值求出另外两个 三角函数值.尤其是把含有 sin α,cos α 的齐次式化为 tan α 的关 系式.

2.利用同角三角函数的关系式化简求值的三个关注点 (1)函数名称和符号: 利用诱导公式化简求值时, 先利用公式 化任意角的三角函数为锐角的三角函数,其步骤是:去负—脱周 —化锐—求值.特别注意解题过程中函数名称和符号的确定. (2)开方: 在利用同角三角函数的平方关系时, 若开方特别注 意根据条件进行讨论取舍. (3)结果整式化: 解题时注意求值与化简的最后结果一般要尽 可能整式化.

[变式训练] 1.(2015· 河北五校联考)已知 θ 为锐角,且 则 tan 2θ=( 4 A.3 3 B.4 ) 24 24 C.- 7 D. 7
? π? 2 ? ? sin θ-4 = 10 , ? ?

答案:C

解析:由已知 sin

? π? 2 ?θ- ?= 4? 10 ,得 ?

1 sin θ-cos θ=5,再由 θ

4 3 为锐角且 sin2θ+cos2θ=1,得 sin θ= ,cos θ= , 5 5 4 2× 3 4 2tan θ 24 所以 tan θ= ,tan 2θ= = =- ,故选 C. 3 16 7 1-tan2θ 1- 9

2.已知 2cos2θ=(

?π ? 2sin?2+θ?-sin(π-θ)=0,则 ? ?

sin2θ+sin θcos θ-

) 3 4 C.-4 D.5

4 5 A.-3 B.4

答案:D

解析:因为

?π ? 2sin?2+θ?-sin ? ?

? ? ?

π-θ???=0,

所以 tan θ=2.
2 2 sin θ + sin θ cos θ - 2cos θ 2 2 sin θ+sin θcos θ-2cos θ= sin2θ+cos2θ

tan2θ+tan θ-2 4+2-2 4 = = =5. tan2θ+1 4+1

考向三 三角恒等变换 [典例 3] (1)(2015· 贵州贵阳检测)已知 sin )
?π ? ? +α?+sin ?3 ?

α=

? 7π? 4 3 ,则 sin?α+ 6 ?的值是( 5 ? ?

2 3 2 3 4 4 A.- 5 B. 5 C.5 D.-5 1 (2)已知函数 f(x)=(2cos x-1)· sin 2x+2cos 4x.
2

①求 f(x)的最小正周期及最大值; ②若
?π ? a∈?2,π?,且 ? ?

f(α)=

2 ,求 α 的值. 2

[审题突破]

(1)看到
2

? 7π? ? sin?α+ 6 ? ?,想到诱导公式; ? ?

1 (2)看到 f(x)=(2cos x-1)· sin 2x+ cos 4x, 求最小正周期及最 2 大值,想到将 f(x)化为 f(x)=Asin(ωx+φ)的形式.

(1)答案:D 解析:sin
?π ? ? +α?+sin ?3 ?

4 3 α= 5

π π 4 3 ?sin 3cos α+cos 3sin α+sin α= 5 3 3 4 3 ?2sin α+ 2 cos α= 5 3 1 4 ? sin α+ cos α= , 2 2 5 故
? 7π? sin?α+ 6 ?=sin ? ?

7π 7π αcos +cos αsin 6 6

? =-? ? ?

? 4 3 1 ? =-5. 2 sin α+2cos α? ?

1 (2)解:①因为 f(x)=(2cos x-1)· sin 2x+ cos 4x 2
2

1 1 =cos 2xsin 2x+ cos 4x= (sin 4x+cos 4x) 2 2 π? π? 2 ? 2 ? ? ? ? = sin 4x+4 .即 f(x)= sin 4x+4?. 2 2 ? ? ? ? π 2 所以 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2
? π? 2 ②因为 f(α)= ,所以 sin?4α+4?=1. 2 ? ? ?π ? π ?9π 17π? 因为 α∈?2,π?,所以 4α+ ∈? 4 , 4 ?, 4 ? ? ? ?

π 5π 9π 所以 4α+ = ,故 α= . 4 2 16

规律方法 1.三角恒等变换的思路 (1)和式:降次、消项、逆用公式. (2)三角分式:分子与分母约分或逆用公式. (3)二次根式:切化弦、变量代换、角度归一. 2.三角恒等变换的方法 (1)弦切互化:一般是切化弦. (2)常值代换: 特别是“1”的代换, 如 1=sin2α+cos2α=tan 45° 等.

(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式(降 幂公式)降次. 1-cos 2α (4)公式的变形应用:如 sin α=cos αtan α,sin α= , 2
2

1+cos 2α cos α= , tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β), 1± sin α 2
2

? =?sin ?

α α?2 ? 等. ± cos 2 2?

(5)角的合成及三角函数名的统一: asin α+bcos α= a +b
2 2

? sin(α+φ)?tan ?

b? φ=a?. ?

α+β α-β (6)角的拆分与角的配凑: 如 α=(α-β)+β, β= - , 2 2
?π ? π ? ± ?的半角等. 2 α ± α 可视为 4 ?2 ?

[变式训练] 2cos 10° -sin 20° 1.(2015· 福州模拟)求值: =________. cos 20°
答案: 3

2cos 10° -sin 20° 解析:由题意,得 cos 20° 2cos?30° -20° ?-sin 20° = cos 20° ? 3cos 20° +sin 20° ?-sin 20° = = 3. cos 20°

2.(2015· 安徽合肥质检)已知 cos
?π π ? ∈?3,2?. ? ?

?π ? ?π ? 1 ? +α?· ? ? - α cos 3 =- ,α 4 ?6 ? ? ?

(1)求 sin

2α 的值;

1 (2)求 tan α-tan α的值.

解:(1)cos =cos

?π ? ?π ? ? +α?· ? -α? cos ?6 ? ?3 ?

?π ? ?π ? ? +α?· ? +α? sin ?6 ? ?6 ?

? ? π? π? 1 1 1 = sin ?2α+3?=- ,即 sin ?2α+3?= . 2 4 ? ? ? ? 2 ?π π ? 4π? π ? ∵α∈?3,2?,∴2α+ ∈?π, 3 ?, 3 ? ? ? ?

∴cos sin

? π? ?2α+ ?=- 3? ?

3 , 2

?? π? π? ?? 2α=sin? 2α+3?-3? ? ? ?? ? ? π? ?2α+ ?cos 3? ? ? π? π 1 π -cos?2α+3?sin = . 3 3 2 ? ?

=sin

?π π ? ?2π ? (2)∵α∈?3,2?,∴2α∈? 3 ,π?, ? ? ? ?

1 3 又由(1)知,sin 2α= ,∴cos 2α= . 2 2
2 2 1 sin α cos α sin α-cos 2cos 2α ∴tan α- = - = =- tan α cos α sin α sin αcos α sin 2α

3 -2 =-2× =2 3. 1 2


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