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2015年南通内部高考模拟试卷7含答案


2015 年高考模拟试卷(7)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1.复数

i?2 = 1 ? 2i

. . .

2. 设全集 U ={1,2,3,4,5}, CU N ={2,4},则 N =

3.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取两个数,

则其中一个数是另一个数的两倍的概率是

4. 某单位有职工 52 人,现将所有职工按 l,2,3,…,52 随机编号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量 为 4 的样本,已知 6 号,32 号,45 号职工在样本中,则样本中还有一个职工的编号是________. 5.执行如图所示的程序框图,若输出 s 的值为 11,则输入自然数 n 的 值是 .

6.一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等, 那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为________. 7 . 已知各项均为正数的等比数列 {an } 中, a4 与 a14 的等比中项为

2 2 ,则 2a7 ? a11 的最小值为
8. 给出下列几个命题:

.

①若函数 f ( x) 是定义域为 R 的奇函数,对于任意的 x ? R 都有 f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 ,则函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称; ②已知 x1 , x2 是函数 f ( x) 定义域内的两个值,当 x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 是减函数; ③设函数 y ? 1 ? x ? x ? 3 的最大值和最小值分别为 M 和 m ,则 M ?

2m ;

④若 f ( x) 是定义域为 R 的奇函数,且 f ( x ? 2) 也为奇函数,则 f ( x) 是以 4 为周期的周期函数. 其中正确的命题序号是 . (写出所有正确命题的序号)
2

9.设F1、F2是双曲线 -y =1的两个焦点,P在双曲线上,当△F1PF2的面积为2时, PF1 ? PF2 的 3 值为 .

x2

10.已知函数 f ( x) ? ? x2 ? ax ? b(a, b ? R) 的值域为 (??, 0] ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? c ? 1 的 解集为 (m ? 4, m ? 1) ,则实数 c 的值为
2 2

. .

11.已知正实数 a , c 满足 a ? c ? ac ? 3 ,则 2a ? c 的最大值为

2 2 12.已知圆 C: ( x ? 2) ? y ? 4 ,点 P 在直线 l: y ? x ? 2 上,若圆 C 上存在两点 A、B 使得

PA ? 3PB ,则点 P 的横坐标的取值范围是



13.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , B ? 30 , c ? 6 ,令 b ? f (a ) . 若函数 g (a) ? f (a) ? k ( k 是常数)只有一个零点.则实数 k 的取值范围是 .

1

14.设两个向量 a ? (? ? 2, ? 2 ? cos2 ? ) 和 b ? ( m, 若 a ? 2b ,则

m ? sin ? ) ,其中 ? , m, ? ? R . 2

? 的取值范围是 m



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 sin B ? 且 a、b、c 成等比数列.

5 , 13

1 1 ? 的值; tan A tan C (2)若 ac cos B ? 12 ,求 a ? c 的值.
(1)求

1 CD , AB ? BC ,平面 2 1 ABCD ? 平面 BCE , ?BCE 为等边三角形, M , F 分别是 BE, BC 的中点, DN ? DC . 4 (1)证明 EF ? AD ; D (2)证明 MN ∥平面 ADE ;
16. (本小题满分 14 分)如图,直角梯形 ABCD 中, AB ∥ CD, AB ? (3)若 AB ? 1, BC ? 2 ,求几何体 ABCDE 的体积.
N A

B M

F C E

2

17. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 a 2 b2

2 ,其焦点在圆 x 2 ? y 2 ? 1上. 2
(1)求椭圆的方程; (2)设 A, B, M 是椭圆上的三点(异于椭圆的顶点) ,且存在锐角 ? ,使

OM ? cos? OA ? sin ? OB . ① 求证:直线 OA 与 OB 的斜率的乘积为定值;
② 求 OA ? OB 的值.
2 2

18. (本小题满分 16 分) 某小区想利用一矩形空地 ABCD 建造市民健身广场,设计时决定保留 空地边上的一个水塘 (如图中阴影部分) , 水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中 AD ? 60m , AE ? 10m, EF ? 20m .为保证安全同时考虑 ? EGF ? 90 ,且 中, ,经测量得到 ? EFG AB ? 40m 美观,健身广场周围准备加设一个保护栏.设计时经过点 G 作一条直线交 AB、DF 于 M、N , 从而得到五边形 MBCDN 的市民健身广场. (1)假设 DN ? x(m) ,试将五边形 MBCDN 的面积 y 表示为 x 的函数,并注明函数的定义域; (2)问:应如何设计,可使市民健身广场的面积最大?并求出健身广场的最大面积. A M B C E G F N D

3

19. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x 2 ? ax ( a ? R ) . (1)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程;
1 (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax ? m 在 [ , e] 上有两个零点,求实数 m 的取值范围; e

(3)若函数 f ( x) 的图象与 x 轴有两个不同的交点 A( x1, 0),B( x2 , 0) ,且 0 ? x1 ? x2 , 求证: f ?(
x1 ? x2 . ) ? 0 (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数) 2

20. (本小题满分 16 分)设数列 {an } 的各项均为正数,若对任意的 n ? N * ,存在 k ? N * ,
2 使得 an ? k ? an an? 2k 成立,则称数列 {an } 为“ J k 型”数列.

(1)若数列 {an } 是“ J 2 型”数列,且 a2 ? 8 , a8 ? 1 ,求 a2 n ; (2)若数列 {an } 既是“ J 3 型”数列,又是“ J 4 型”数列,证明数列 {an } 是等比数列.

4

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区域内 .................. 作答 . .. A. (选修4-1:几何证明选讲)如图, O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P , E E 为 O 上一点, AE ? AC ,求证: ?PDE ? ?POC .

A

O

B D

P

C
B. (选修4-2:矩阵与变换)已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 3 ,及对应的一个特征向量

?1? e1 ? ? ? ,并且 M 对应的变换将点 (?1, 2) .变换成 (9,15) ,求矩阵 M . ?1?

C. (选修4-4: 坐标系与参数方程) 在极坐标系中, 圆 C 的圆心坐标为 C (2,

?
3

), 半径为 2. 以

极点为原点,极轴为 x 的正半轴,取相同的长度单位建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为

? 3 x ? 1? t ? ? 2 ( t 为参数) ? ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)设 l 与圆 C 的交点为 A, B , l 与 x 轴的交点为 P ,求 PA ? PB

x2 x2 x2 D. (选修4-5: 不等式选讲) 已知 x1 ,x 2 ,x3 为正实数, 若 x1 ? x2 ? x3 ? 1 , 求证: 2 ? 3 ? 1 ? 1 x1 x2 x3
5

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22 . (本小题满分 10 分)如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PA ^ 底面 ABCD , AD ^ AB ,

AB // DC , AD = DC = AP = 2 , AB = 1 ,点 E 为棱 PC 的中点. (1)证明 BE ^ DC ; (2)若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF ^ AC ,求二面角 F - AB - P 的余弦值.

n 23. (本小题满分 10 分)已知 an ? (1 ? 2) (n ? N*)

(1)若 an ? a ? b 2(a, b ? Z ) ,求证 a 是奇数; (2)求证对于任意 n ? N * ,都存在正整数 k ,使得

an ? k ?1 ? k .

6

2015 年高考模拟试卷(7)参考答案
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题 1 1. i ; 2. {1,3,5}; 3. ; 4. 19; 5. 4; 6. 3∶2. 【解析】设圆柱的底面半径是 r, 3 则该圆柱的母线长是 2r,圆柱的侧面积是 2π r·2r=4π r ,设球的半径是 R,则球的表面积是 4 3 2 2 2 2 3 4π R , 根据已知 4π R =4π r , 所以 R=r. 所以圆柱的体积是 π r ·2r=2π r , 球的体积是 π r , 3 2π r 所以圆柱的体积和球的体积的比是 =3∶2; 4 3 πr 3
2
3 2

7.8;

8.③④;9.3;10. ?

21 ; 4

3(2a ? c) 3a ? 5ac ? 3[1 ? 2 2 ] ? 3[1 ? ]. 2 2 c c a ? c ? ac a ? c ? ac 1 ? ( )2 ? a a c 3 ? 5 k 3 ? 5 k 2 ] ,令 f (k ) ? 3[1 ? ](k ? 0) 令 ? k ( k ? 0) ,则 (2a ? c) ? 3[1 ? a 1? k 2 ? k 1? k 2 ? k
11. 2 7 . 【解析】 (2a ? c) ?
2 2

3?5

c a

得 f ?(k ) ?

3(k ? 2)(4 ? 5k ) 4 , 进 而 可 求 得 f ( k )m a x ? f ( )? 2 8 , 所 以 ( 2a ? c ) ; max ? 2 7 2 2 5 (k ? k ? 1)

12 . ?? 2,2? ; 13 . k ? 6 或 k ? 3 .【 解 析 】 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 , 得 ? 2ac 2

b? f ( a )?

2

a?6

3 a ? 3 6 a (?

0 )

函数 g (a) ? f (a) ? k 只有一个零点,即方程 (a ? 3 3)2 ? 9 ? k 2 在 (0, ??) 上只有一解,
2 即函数 y ? (a ? 3 3)2 ? 9(a ? 0) 与 y ? k 的图像只有一个交点,所以 k ? 36 或 k ? 9 ,
2 2

从而 k ? 6 或 k ? 3 ;14. ?6 ? 由 ? ? m ? cos
2 2

?? ? 2 ? 2m ? 1 .【解析】由 a ? 2b ,得 ? 2 2 m ?? ? cos ? ? m ? 2sin ?

?

? ? 2sin ? ? 2 ? (sin ? ?1)2 ,得

?2 ? ? 2 ? m ? 2 ,又 ? ? 2m ? 2 ,

? 4m 2 ? 9m ? 2 ? 0 ? 则 ?2 ? 4(m ?1) ? m ? 2 ,∴ ? 2 ? ? 4m ? 9m ? 6 ? 0
2

解得

? 1 ? 2m ? 2 2 ? m ? 2 ,而 ? ? 2 ? ,故 ?6 ? ? 1 . m 4 m m m

二、解答题

7

15. (1)根据题意得, b ? ac .
2

由正弦定理得 sin B ? sin A sin C ,
2

?

1 1 cos A cos C sin( A ? C ) ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C
sin B 1 13 ? ? , sin A sin C sin B 5
ac cos B ? 12 ? cos B ? 0

?

(2)

12 5 ,? cos B ? . 13 13 12 ? b 2 ? ac ? ? 13 . cos B
sin B ?
由余弦定理得 b2 ? (a ? c)2 ? 2ac ? 2ac cos B

?a ? c ? 3 7
?BCE 为等边三角形, F 是 BC 的中点 ? EF ? BC , 又因为平面 ABCD ? 平面 BCE ,交线为 BC , EF ? 平面 BCE 根据面面垂直的性质定理得 EF ? 平面 ABCD ; 又 AD ? 平面 ABCD ? EF ? AD .
16.(1) (2)取 AE 中点 G,连接 MG, DG

AG ? GE, BM ? ME

? GM

AB ,且 GM ?

1 AB , 2

1 1 AB CD, AB ? CD , DN ? DC 2 4 1 ? DN AB ,且 DN ? AB , 2 ? 四边形 DGMN 是平行四边形

? DG


MN ,

DG ? 平面 ADE , MN ? 平面 ADE
平面 ADE .

? MN

(3)依题,直角梯形 ABCD 中, AB CD, AB ? BC, AB ? 1, CD ? 2, BC ? 2 ,

1 1 ( AB ? CD) ? BC ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 , 2 2 由(1)可知 EF ? 平面 ABCD , EF 是四棱锥 E ? ABCD 的高,
则直角梯形 ABCD 的面积为 S梯形ABCD ?
8

在等边 ?BCE 中,由边长 BC ? 2 ,得 EF ? 2 ? sin 600 ? 3 , 故几何体 ABCDE 的体积为

V

E ? ABCD

1 1 ? ? S梯形ABCD ? EF ? ? 3 ? 3 ? 3 . 3 3

17. (1)根据题意得 c ? 1 ,于是 a ?

2, b ? 1,

所以椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

? x12 ? y12 ? 1 ? ? 2 (2)①设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则 ? , 2 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? ? 2
又设 M ( x, y ) ,由 OM ? cos? OA ? sin ? OB 得 ?

? x ? x1 cos? ? x2 sin ? , ? y ? y1 cos? ? y2 sin ?



M 在椭圆上,?

( x1 cos ? ? x2 sin ? ) 2 ? ( y1 cos ? ? y2 sin ? ) 2 ? 1 2

整理得 (

x12 x2 xx ? y12 ) cos 2 ? ? ( 2 ? y2 2 )sin 2 ? ? 2( 1 2 ? y1 y2 ) cos ? sin ? ? 1 , 2 2 2
x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 2

cos ? sin ? ? 0 ,?

? kOAkOB ?

y1 y2 1 ? ? 为定值. x1 x2 2
x1 x2 2 x12 x2 2 ) ? ? (1 ? y12 )(1 ? y2 2 ) ? 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? y12 y2 2 2 2 2 x12 x2 ? y12 ) ? ( 2 ? y2 2 ) ? 2 ,? x12 ? x22 ? 2 , 2 2

② ( y1 y2 ) ? (?
2

? y12 ? y22 ? 1 ,又 (

?OA2 ? OB2 ? x12 ? y12 ? x22 ? y22 ? 3 .
18. (1)作 GH⊥EF,垂足为 H,因为 DN ? x ,所以
NH NA NH ? 40 ? x, NA ? 60 ? x ,因为 ? , HG AM 40 ? x 60 ? x 600 ? 10 x 所以 ,所以 AM ? ? 10 AM 40 ? x
A E H F N D

G M T

过 M 作 MT // BC 交 CD 于 T,则

B

C

9

S

MBCDW

1 ? SMBCT ? SMTDN ? (40 ? AM ) ? 60 ? ( x ? 60) ? AM , 2

所以 y ? (40 ?

5?60 ? x ? 600 ? 10 x 1 ( x ? 60)(600 ? 10 x) ? 2400? ) ? 60 ? ? 40 ? x 2 40 ? x 40 ? x

2

由于 N 与 F 重合时, AM ? AF ? 30 适合条件,故 x ? ? 0,30? , (2) y ? 2400?

5?60 ? x ? 400 ? ? ? 2400? 5??40 ? x ? ? ? 40? , 40 ? x 40 ? x ? ?
2

所以当且仅当 40 ? x ?

400 ,即 x ? 20 ? ?0,30? 时, y 取得最大值 2000, 40 ? x

答:当 DN ? 20m 时,得到的市民健身广场面积最大,最大面积为 2000m 2 .
2 ,, ? 2 x ? 2 ,切点坐标为 (11) x 切线的斜率 k ? f ?(1) ? 2 ,则切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? 1 .

19. (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? 2ln x ? x 2 ? 2 x , f ?( x) ?

(2) g ( x) ? 2ln x ? x 2 ? m ,则 g ?( x) ? 2 ? 2 x ? ?2( x ? 1)( x ? 1) ,
x x

1 1 ∵ x ? [ ,e] ,故 g ?( x) ? 0 时, x ? 1 .当 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 . e e 故 g ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 g (1) ? m ? 1 . 1 1 1 1 1 又 g ( ) ? m ? 2 ? 2 , g (e) ? m ? 2 ? e 2 , g (e) ? g ( ) ? 4 ? e 2 ? 2 ? 0 ,则 g (e) ? g ( ) , e e e e e

所以, g ? x ? 在 ? , e ? 上的最小值是 g ? e ? e

?1 ?

? ?

? g ?1? ? m ? 1 ? 0 1 ? ?1 ? ,解得 1 ? m ? 2 ? 2 g ? x ? 在 ? , e ? 上有两个零点的条件是 ? ? 1 ? 1 e ?e ? ? g ? e ? ? m ? 2 ? e2 ? 0 ? ? ?
所以实数 m 的取值范围是 ?1, 2 ?

? ?

1? ? . e2 ?

(3)因为 f ? x ? 的图象与 x 轴交于两个不同的点 A ? x1 ,0? , B ? x2 ,0?
2 所以方程 2ln x ? x ? ax ? 0 的两个根为 x1 , x2 ,则 ?

?2 ln x1 ? x12 ? ax1 ? 0 ? ,两式相减得 2 2 ln x ? x ? ax ? 0 ? ? 2 2 2

a ? ? x1 ? x2 ? ?

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 2 ,又 f ? x ? ? 2 ln x ? x ? ax, f ? ? x ? ? ? 2 x ? a ,则 x x1 ? x2

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 4 4 ?x ?x ? f ?? 1 2 ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? a ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2

10

下证

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 ? x2 ? x1 ? x x 4 ,即证明 ? ? 0 (*) ? ln 1 ? 0, t ? 1 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x2 x2
2 ?1 ? t ? ? ln t ? 0 在 0 ? t ? 1 上恒成立 t ?1
2

0 ? x1 ? x2 ,?0 ? t ? 1, 即证明 u ? t ? ?

?2 ? t ? 1? ? 2 ?1 ? t ? 1 1 ? t ? 1? 又 0 ? t ? 1 ,所以 u? t ? 0 4 因为 u? ? t ? ? ? ? ? ? ?? 2 2 (t ? 1) t t (t ? 1) t (t ? 1)2
所以, u ? t ? 在 ? 0,1? 上是增函数,则 u ?t ? ? u ?1? ? 0 ,从而知

2 ? x2 ? x1 ? x ? ln 1 ? 0 x1 ? x2 x2



2 ? ln x1 ? ln x2 ? 4 ?x ?x ? ? ? 0 ,即 f ? ? 1 2 ? ? 0 成立 x1 ? x2 x1 ? x2 ? 2 ? a8 1 1 )3 ? , a2 2

20. (1)由题意得, a2 , a4 , a6 , a8 ,… 成等比数列,且公比 q ? (

1 ? a2 n ? a2 q n ?1 ? ( ) n ? 4 . 2
(2)由 {an } 是“ J 4 型”数列得 a1 , a5 , a9 , a13 , a17 , a21,?成等比数列,设公比为 t . 由 {an } 是“ J 3 型”数列得 a1 , a4 , a7 , a10 , a13 , ?成等比数列,设公比为 ?1 ;

a2 , a5 , a8 , a11, a14 , ?成等比数列,设公比为 ? 2 ; a3 , a6 , a9 , a12 , a15 , ?成等比数列,设公比为 ?3 ;


a13 a a 4 4 ? ?14 ? t 3 , 17 ? ? 2 ? t 3 , 21 ? ?3 ? t3 , a1 a5 a9
4 3

??1 ? ? 2 ? ?3 ,不妨令 ? ? ?1 ? ?2 ? ?3 ,则 t ? ? .

?a3k ?2 ? a1? k ?1 ? a1 ( 3 a )(3k ?2)?1
a3k ?1 ? a5? k ?2 ? a1t? k ?2 ? a1?
k? 2 3

? a1 ( 3 a )(3k ?1)?1
1 3

? a3k ? a9? k ?3 ? a1t 2? k ?3 ? a1?
综上, an ? a1 ( 3 ? )
n?1

k?

? a1 ( 3 a )3k ?1 ,

,从而 {an } 是等比数列. 第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)

21. A.

AE ? AC , AB 为直径

??OAC ? ?OAE
11

??POC ? ?OAC ? ?OCA ? ?OAC ? ?OAC ? ?EAC


?EAC ? ?PDE

??PDE ? ?POC .
B.设 M ? ?

?a b ? ?a b ? ?1? ?1? ?a ? b ? 3 ,由 ? =3 ? ? ,得 ? . ? ? ? ? ?c d ? ?c d ? ?1? ?1? ?c ? d ? 3

由?

?a b ? ? ?1? ? 9 ? ??a ? 2b ? 9 = ? ? ,得 ? , ? ? ? ?c d ? ? 2 ? ?15? ??c ? 2d ? 15

?a ? ?1 ?b ? 4 ? 可以解得 ? , ?c ? ?3 ? ?d ? 6
故M ? ?

? ?1 4 ? ?. ? ?3 6?

C . ( 1 ) 法 一 : 在 直 角 坐 标 系 中 , 圆 心 的 坐 标 为 C (1, 3) , 所 以 圆 C 的 方 程 为

( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 即 x2 ? y2 ? 2x ? 2 3 y ? 0 ,
化为极坐标方程得 ? 2 ? 2? cos? ? 2 3? sin ? ? 0 ,即 ? ? 4 sin(? ? 法二:令圆C上任一点 P( ? ,? ) , 在 PCO 中(其中O为极点) , PO ? ? , CO ? 2, PC ? 2, ?POC ? ? ? 由余弦定理得 4 ? ? ? 4 ? 4 ? cos(? ?
2

?
6

).

?
3



?
3

) ).

从而圆C的极坐标方程为 ? ? 4 cos(? ?

?
3

? 3 x ? 1? t ? 2 代入 x2 ? y2 ? 2x ? 2 3 y ? 0 得 t 2 ? 4 ,所以点 A、B 对应的参数分 (2)法一:把 ? ? ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
别为 t1 ? 2, t2 ? ?2 , 令 3?

1 t ? 0 得点 P 对应的参数为 t0 ? ?2 3 . 2

所以 PA ? PB ? t1 ? t0 ? t2 ? t0 ? 2 ? 2 3 ? ?2 ? 2 3 ? 2 ? 2 3 ? ?2 ? 2 3 ? 4 3 .

12

? 3 x ? 1? t ? ? 2 化为普通方程得 y ? 3 ? ? 3 ( x ? 1) , 法二:把 ? 3 ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
令 y ? 0 得点P坐标为 P(4, 0) , 又因为直线 l 恰好经过圆C的圆心C, 故 PA ? PB ? 2 PC ? 2 (4 ? 1) ? ( 3 ? 0) ? 4 3 .
2 2

D.

x2 x22 x2 ? x1 ? 3 ? x2 ? 1 ? x3 ? 2 x2 2 ? 2 x32 ? 2 x12 ? 2( x1 ? x2 ? x3 ) ? 2 , x1 x2 x3
?

x2 2 x32 x12 ? ? ? 1. x1 x2 x3

22. 依题意,以点 A 为原点建立空间直角坐标系, 可得 B(1,0,0) , C (2,2,0), D(0,2,0) , P(0,0,2).由 E 为棱 PC 的中点,得 E (1,1,1) . (1)向量 BE = (0,1,1), DC = (2,0,0),故 BE ?DC

0 . 所以, BE ^ DC .

(2)向量 BC = (1,2,0) , CP = (- 2,- 2,2) , AC = (2,2,0) , AB = (1,0,0) . 由点 F 在棱 PC 上,设 CF = l CP , 0 #l

1.

故 BF = BC + CF = BC + l CP = (1- 2l ,2 - 2l ,2l ) . 由 BF ^ AC ,得 BF ? AC

0,
3 . 4

因此, 2(1- 2l ) + 2(2 - 2l ) = 0 ,解得 l = 即 BF = (-

1 1 3 , , ). 2 2 2

ì ? ? n1 ? AB 设 n1 = (x, y, z )为平面 FAB 的法向量,则 í ? ? ? n1 ?BF

0,

ì x = 0, ? ? 即? í 1 1 3 - x + y + z = 0. 0, ? ? ? 2 2 2 ?

不妨令 z = 1 ,可得 n1 = (0,- 3,1) 为平面 FAB 的一个法向量. 取平面 ABP 的法向量 n2 = (0,1,0) ,则

cos n1 , n2 =

n1 ×n2 n1 × n1

=

- 3 10 ? 1

=-

3 10 . 10

13

易知,二面角 F - AB - P 是锐角,所以其余弦值为

3 10 . 10

0 1 2 3 n 23. (1)由二项式定理得 an ? Cn ? Cn 2 ? Cn ( 2)2 ? Cn ( 2)3 ? … +Cn ( 2)n , 0 2 4 2 4 所以 a ? Cn ? Cn ( 2)2 ? Cn ( 2)4 ? … ? 1 ? 2Cn ? 22 Cn ? …,为奇数.

(2)由(1) ,设 an ? (1 ? 2)n ? a ? b 2(a, b ? Z )

(1 ? 2)n ? a ? b 2(a, b ? Z )
所以 a2 ? 2b2 ? (a ? b 2)(a ? b 2) ? (1 ? 2)n (1 ? 2)n ? (1 ? 2)n ? (?1)n .
2 2 2 当 n 为偶数时, a ? 2b ? 1 ,存在 k ? a ,使得 an ? a ? b 2 ? 2 2 2 当 n 为奇数时, a ? 2b ? 1 ,存在 k ? 2b ,使得 an ? a ? b 2 ?

a 2 ? 2b 2 ? k ? k ? 1 ; a 2 ? 2b 2 ? k ? 1 ? k ;

综上,对于任意 n ? N * ,都存在正整数 k ,使得

an ? k ?1 ? k .

14


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