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【高考调研】2015高中数学(人教A版)选修2-3:模块综合测试题


模块综合测试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中 只有一项符合题目要求) 1.某校教学大楼共有 5 层,每层均有 2 个楼梯,则由一楼至五楼 的不同走法共有( A.24 种 C.10 种 答案 A ) B.52 种 D.7 种

解析 因为每层均有 2 个楼梯,所以每层有两种不同的走法,由 分步计数原理可知:从

一楼至五楼共有 24 种不同走法. 2.从 3 名男生和 3 名女生中,选出 3 名分别担任语文、数学、英 语的课代表,要求至少有 1 名女生,则选派方案共有( A.19 种 C.114 种 答案 解析 C
3 A3 6-A3=120-6=114.

)

B.54 种 D.120 种

3.若(3 x- 数项为( )

1 n ) 的展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常 x

A.-540 C.162 答案 D

B.-162 D.5 670

解析 由题意,不妨令 x=1,则(3-1)n=64,解得 n=8. 展开式中第 r+1 项为 Tr+1=Cr (3 x)8-r· (- 8· 1 r ) =(-1)r· Cr 38-r· x4 8· x

-r

4 4 ,当 r=4 时,T5=(-1)4· C8 · 3 =5 670.

4.已知随机变量 ξ 只能取三个值 x1,x2,x3,其概率依次成等差 数列,则该等差数列公差的范围为( 1 A.[0,3] C.[-3,3] 答案 B ) 1 1 B.[-3,3] D.[0,1]

解析 不妨设 x1,x2,x3 发生的概率分别为 a,a+d,a+2d,则 a+(a+d)+(a+2d)=1. 1 1 可得 a+d=3,即 d=3-a. 1 2 1 ∵a∈[0,1],∴3-a∈[-3,3]. 2 1 ∴-3≤d≤3.①

?3≥0, ? ?a+d≥0, 又∵? ∴? 1 ? ?a+2d≥0,
1 ∴d≥-3.② 1 1 由①②可得:-3≤d≤3.

?1

? ?d+3≥0.

1 1 1 5.已知随机变量 ξ 的分布列为 ξ=-1,0,1,对应 P=2,6,3,且 设 η=2ξ+1,则 η 的期望为( 1 A.-6 29 C.36 ) 2 B.3 D.1

答案 解析

B 1 1 1 1 E(ξ) =- 1× 2 + 0× 6 + 1× 3 =- 6 ,∴ E(η) = E(2ξ + 1) =

1 2 2E(ξ)+1=-6×2+1=3. a 6.(2010· 陕西)(x+x )5(x∈R)展开式中 x3 的系数为 10,则实数 a 等于( ) 1 B.2 D.2 D

A.-1 C.1 答案

a r 5-2r 解析 展开式中第 r+1 项为 Tr+1=Cr x5-r· (x)r=ar· C5 · x ,当 5 5·
1 -2r=3 时,r=1,所以 x3 的系数为 aC5 =10,解得 a=2.

7.某校 1 000 名学生的某次数学考试成绩 X 服从正态分布,其密 度函数曲线如图所示,则成绩 X 位于区间(52,68]的人数大约是( )

A.997 C.682

B.954 D.341

答案

C

解析 由题图知 X~N(μ,σ2),其中 μ=60,σ=8, ∴P(μ-σ<X≤μ+σ)=P(52<X≤68)=0.682 6. ∴人数为 0.682 6×1 000≈682. 8 . 某商场 开展促销 抽奖活 动,摇奖 摇出的 一组中奖 号码 是 8,2,5,3,7,1,参加抽奖的每位顾客从 0,1,2,?,9 这 10 个号码中任意 抽出 6 个组成一组,如果顾客抽出 6 个号码中至少有 5 个与中奖号码 相同(不计顺序)就可以得奖,那么得奖的概率为( 1 A.7 4 C.34 答案 D 1 B.32 5 D.42 )

解析 设 A 表示“至少有 5 个与摇出的号码相同”,A1 表示“恰 有 5 个与摇出的号码相同”, A2 表示“恰有 6 个与摇出的号码相同”,
1 C5 C4 1 5 6· 得 A=A1+A2,且 A1,A2 互斥,P(A)=P(A1)+P(A2)= C6 +C6 =42. 10 10

9. 某市组织一次高三调研考试, 考试后统计的数学成绩服从正态 ?x-80?2 1 分布,其密度函数为 f(x)= · e- 200 (x∈R),则下列命题中 2π· 10 不正确的是( )

A.该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B.分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 C.分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 D.该市这次考试的数学成绩标准差为 10 答案 C

解析 由题意可得:μ=80,σ=10,因此数学平均值 μ=80,分

数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同,且标准差为 10. 10.(2011· 山东烟台一模、江西吉安质检)下表提供了某厂节能降 耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能 耗 y(吨)的几组对应数据: x y 3 2.5 4 t 5 4 6 4.5

根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为^ y=0.7x+ 0.35,那么表中 t 的值为( A.3 C.3.5 答案 A ) B.3.15 D.4.5

11.考查正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连 成直线,乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直 线相互平行但不重合的概率等于( 1 A.75 3 C.75 答案 解析 D ) 2 B.75 4 D.75

如图,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点
2 2 中任意选两个点连成直线,共有 C6 · C6=15×15=225 种不同取法,其

中所得的两条直线相互平行但不重合有 AC∥DB,AD∥CB,AE∥BF, 12 4 AF∥BE,CE∥FD,CF∥ED 共 12 对,所以所求概率为 p=225=75, 选 D. 12.考查黄烟经过培养液处理是否跟发生青花病有关系,调查了 457 株黄烟,得到下表中数据: 培养液处理 青花病 无青花病 合计 根据表中数据 K2=( A.40.682 C.45.331 答案 D 25 80 105 ) B.31.64 D.41.61 未处理 210 142 352 合计 235 222 457

解析 代入 K2 公式得:K2=41.61. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填

在题中横线上) 13.小明和小勇在五种课外读物中各自选购两种,则他们两人所 选购的课外读物中至少有一种不相同的选法种数为________. 答案 90 解析 小明和小勇都有 C2 5种选购方法,根据乘法原理,选购方法
2 总数是 C2 选购的两本读物都相同的方法数是 C2 故 5C5=100 种. 5=10 种.

所求的选法种数为 100-10=90. 14.某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下: ξ P 7 x 8 0.1 9 0.3 10 y

已知 ξ 的期望 E(ξ)=8.9,则 y 的值为________. 答案 0.4 解析 由表格可知: x + 0.1 + 0.3 + y = 1,7x + 8×0.1 + 9×0.3 +

10×y=8.9,联合解得 y=0.4. 15.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击 4 次, 且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,有下列结论: ①他第 3 次击中目标的概率是 0.9; ②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.93×0.1; ③他至少击中目标 1 次的概率是 1-0.14. 其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号). 答案 ①③

解析 ①因为各次射击是否击中目标相互之间没有影响,所以第 3 次击中目标的概率是 0.9,正确;
3 ②恰好击中目标 3 次的概率应为 C3 4×0.9 ×0.1;

③4 次射击都未击中的概率为 0.14; 所以至少击中目标 1 次的概率为 1-0.14.

16.(2013· 福安)某厂生产的零件尺寸服从正态分布 N(25,0.032), 为使该厂生产的产品有 95%以上的合格率,则该厂生产的零件尺寸允 许值范围为________. 答案 (24.94,25.06)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知 f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m, n∈N*)展开式中 x 的系 数为 19,求 f(x)的展开式中 x2 的系数的最小值. 解析 xn, 由题意知 m+n=19,m,n∈N*, ∴x2 项的系数为
2 Cm +C2 n= 2 2 m m 1 2 2 n f (x ) = 1 + C 1 m x + Cm x + ? + Cm x + 1 + C n x + C n x + ? + Cn

m?m-1? n?n-1? 19 2 19×17 + = ( m - 2 2 2)+ 4 .

∵m,n∈N*,∴根据二次函数的知识知, 当 m=9 或 10 时,上式有最小值, 也就是当 m=9,n=10 或 m=10,n=9 时,x2 项的系数取得最小 值,最小值为 81. 18.(12 分)五位师傅和五名徒弟站一排, (1)五名徒弟必须排在一起共有多少种排法? (2)五名徒弟不能相邻共有多少种排法? (3)师傅和徒弟相间共有多少种排法? 解析 (1)先将五名徒弟看作一人与五位师傅排列有 A6 五 6种排法,

5 6 5 名徒弟再内部全排列有 A5 种,据乘法原理共有 A6 A5=86 400 种排法. 5 (2)先将五位师傅全排列有 A5 种排法, 再将五名徒弟排在五位师傅 5 5 5 产生的六个空位上有 A6 种排法,据乘法原则,共计 A5 A6=86 400 种

排法. (3)先将五位师傅排列有 A5 再将五名徒弟排在五位师傅产 5种排法,
5 5 生的六个空位中前五位或后五位上有 2A5 种排法, 据乘法原理共有 2A5 5 A5 =28 800 种排法.

19.(12 分)某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有 A、 B 两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若 A 3 5 项技术指标达标的概率为4,有且仅有一项技术指标达标的概率为12. 按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品. (1)求一个零件经过检测为合格品的概率; (2)任意依次抽出 5 个零件进行检测,求其中至多 3 个零件是合格 品的概率; (3)任意依次抽取该种零件 4 个,设 ξ 表示其中合格品的个数,求 E(ξ)与 D(ξ). 解析 (1)设 A、B 两项技术指标达标的概率分别为 P1、P2.

3 ? ?P1=4, 由题意得:? 5 ? P 1?1-P2?+?1-P1?P2= ? 12, 2 解得 P2=3. 3 2 1 ∴一个零件经过检测为合格品的概率 P=P1P2=4×3=2. (2)任意抽出 5 个零件进行检查,其中至多 3 个零件是合格品的概 率为 1 5 13 4 1 5 1-C5 (2) -C5 5( ) = 2 16.

1 1 1 1 (3)依题意知 ξ~B(4,2),E(ξ)=4×2=2,D(ξ)=4×2×2=1. 20.(12 分)某市去年高考考生成绩服从正态分布 N(500,502),现 有 25 000 名考生,试确定考生成绩在 550~600 分的人数. 解析 ∵考生成绩 X~N(500,502), ∴μ=500,σ=50. 1 ∴P=(550<x≤600)=2[P(500-2×50<x≤500+2×50)-P(500- 1 50<x≤500+50)]=2(0.954 4-0.682 6)=0.135 9. 故考生成绩在 550~600 分的人数约为 25 000×0.135 9=3 397 人. 21.(12 分)某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元) 之间有如下对应数据: x y (1)求出散点图; (2)求回归直线方程; (3)试预测广告费支出为 10 百万元时,销售额多大?
2 (参考数据: x =5, y =50, ?x2 i =145, ?yi =13 500, ?xiyi=1 i=1 i= 1 i=1 5 5 5

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

380) 解析 (1)根据表中所列数据可得散点图如下图:

(2)由题目所提供数据可得: x =5, y =50, ?x2 i =145,
i=1

5

?y2 i =13 500, ?xiyi=1 380.
i=1 i=1 5

5

5

?xiyi-5 x y
i=1

于是可得 b=

?x2 i -5 x
i=1

5

2

1 380-5×5×50 = =6.5, 145-5×52

a= y -b x =50-6.5×5=17.5. 因此,所求回归直线方程是y=6.5x+17.5. (3)据上面求得的回归直线方程,当广告费支出为 10 百万元时.
∧ ∧

y=6.5×10+17.5=82.5(百万元),

即这种产品的销售收入大约为 82.5 百万元. 22.(12 分)在一次物理与化学两门功课的联考中,备有 6 道物理 题,4 道化学题,共 10 道题可供选择.要求学生从中任意选取 5 道作 答,答对 4 道或 5 道即为良好成绩.设随机变量 ξ 为所选 5 道题中化 学题的题数. (1)求 ξ 的分布列及数学期望与方差; (2)若学生甲随机选定了 5 道题,且答对任意一道题的概率均为 0.6,求甲没有取得良好成绩的概率.(精确到小数点后两位) 解析 (1)依题意,得 ξ=0,1,2,3,4,

0 C5 C4 1 6· 则 P(ξ=0)= C5 =42, 10 1 C4 C4 5 6· P(ξ=1)= C5 =21, 10

2 C3 C4 10 6· P(ξ=2)= C5 =21, 10 3 C2 C4 5 6· P(ξ=3)= C5 =21, 10 4 C1 C4 1 6· P(ξ=4)= C5 =42. 10

1 5 10 5 1 ∴E(ξ)=0×42+1×21+2×21+3×21+4×42=2. 1 5 10 5 ∴D(ξ)=(0-2)2×42+(1-2)2×21+(2-2)2×21+(3-2)2×21+ 1 2 5 5 2 2 (4-2)2×42=21+21+21+21=3. (2)“甲没有取得良好成绩”的对立事件是“甲取得良好成绩”, 即甲答对 4 道或 5 道.甲答对 4 道题的概率为
4 P1=C4 5×0.6 ×(1-0.6)=0.259 20;

甲答对 5 道题的概率为
5 0 P2=C5 5×0.6 ×(1-0.6) =0.077 76,

故甲没有取得良好成绩的概率是 P=1-(P1+P2)=1-(0.259 20+0.077 76)≈0.66.


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