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高中数学高考导数题型分析及解题方法


备考 2014 导数题型与方法解析 导数题型分析及解题方法
一、考试内容 导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、 差、 基本导数公式, 利用导数研究函数的单调性和极值, 函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一:利用导数研究函数的极值、最值。

? ?1,1? 上的最大值是 2 1. f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间
3 2

题型二:利用导数几何意义求切线方程
4 1.若曲线 f ( x) ? x ? x 在 P 点处的切线平行于直线 3x ? y ? 0 ,则 P 点的坐标为
4

(1,0)

2.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为 4 x ? y ? 3 ? 0 题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值 1.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, 过曲线y ? f ( x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 y=3x+1
3 2

(Ⅰ)若函数 f ( x)在x ? ?2 处有极值,求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数 y ? f ( x) 在[-3,1]上的最大值; (Ⅲ)若函数 y ? f ( x) 在区间[-2,1]上单调递增,求实数 b 的取值范围
3 2 2 ? 解: (1)由 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, 求导数得f ( x) ? 3x ? 2ax ? b.

过 y ? f ( x)上点P(1, f (1)) 的切线方程为:

y ? f (1) ? f ?(1)( x ? 1), 即y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)( x ? 1).
而过 y ? f ( x)上P[1, f (1)]的切线方程为y ? 3x ? 1.
?3 ? 2a ? b ? 3 ? ?a ? c ? ?3 ?2 a ? b ? 0 即? ?a ? c ? ?3

① ② ③



? ∵ y ? f ( x)在x ? ?2时有极值, 故f (?2) ? 0,? ?4a ? b ? ?12
由①②③得 a=2,b=-4,c=5

3 2 ∴ f ( x) ? x ? 2 x ? 4 x ? 5.

2 (2) f ?( x) ? 3x ? 4 x ? 4 ? (3x ? 2)( x ? 2).

2 ? 3 ? x ? ?2时, f ?( x) ? 0; 当 ? 2 ? x ? 时, f ?( x) ? 0; 3 当
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备考 2014 导数题型与方法解析
2 当 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0. ? f ( x) 极大 ? f (?2) ? 13 3

又 f (1) ? 4,? f ( x) 在[-3,1]上最大值是 13。
2

? (3)y=f(x)在[-2,1]上单调递增,又 f ( x) ? 3x ? 2ax ? b, 由①知 2a+b=0。
2 ? ? 依题意 f ( x) 在[-2,1]上恒有 f ( x) ≥0,即 3x ? bx ? b ? 0.

x?
①当

b ? 1时, f ?( x) min ? f ?(1) ? 3 ? b ? b ? 0,? b ? 6 6 ; b ? ?2时, f ?( x) min ? f ?(?2) ? 12 ? 2b ? b ? 0,? b ? ? 6 ;

x?
②当

6 12b ? b 2 ? 2 ? ? 1时, f ?( x) min ? ? 0, 则0 ? b ? 6. b 12 ③当
综上所述,参数 b 的取值范围是 [0,??) 题型四:利用导数研究函数的图象
/ 1.如右图:是 f(x)的导函数, f ( x ) 的图象如右图所示,则 f(x)的图象只可能是( D )

(A)

(B)

(C) )

(D)

1 y ? x3 ? 4 x ? 1的图像为 3 2.函数 ( A

6 4 2 -4 -2

y

o 2 4 -2 -4

x

6 4 2 -4 -2

y

6 4 2 x -4

y

6 4 2 x

y

o 2 4 -2 -4

o y 2 4 -2 -2 -4

o 2 4 -2 -4

x

3 2 3.方程 2 x ? 6 x ? 7 ? 0在(0,2)内根的个数为

( B D、3

)

A、0

B、1

C、2

题型五:利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围

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2 1.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=- 3 与 x=1 时都取得极值(1)求 a、b 的值与函
数 f(x)的单调区间 (2)若对 x?〔-1,2〕 ,不等式 f(x)?c2 恒成立,求 c 的取值范围。 解: (1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f?(x)=3x2+2ax+b

由 f?(



2 12 4 1 - a+b=0 - 3 )= 9 3 ,f?(1)=3+2a+b=0 得 a= 2 ,b=-2
1 (1,+?)

f?(x)=3x2-x-2=(3x+2) (x-1) ,函数 f(x)的单调区间如下表: x

2 2 (-?,- 3 ) - 3
0 极大值

2 (- 3 ,1)
- ?

f? (x) + f(x) ?

0 极小值

+ ?

2 2 所以函数 f(x)的递增区间是(-?,- 3 )与(1,+?) ,递减区间是(- 3 ,1) 1 2 22 (2)f(x)=x3- 2 x2-2x+c,x?〔-1,2〕 ,当 x=- 3 时,f(x)= 27 +c
为极大值,而 f(2)=2+c,则 f(2)=2+c 为最大值。 要使 f(x)?c2(x?〔-1,2〕 )恒成立,只需 c2?f(2)=2+c,解得 c?-1 或 c?2 题型六:利用导数研究方程的根

? 1.已知平面向量 a =( 3 ,-1).

3 1 ? b =( 2 , 2 ).

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y y x a b a b x (1)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 = +(t2-3) , =-k +t , ⊥ ,
试求函数关系式 k=f(t) ; (2) 据(1)的结论,讨论关于 t 的方程 f(t)-k=0 的解的情况. 解:(1)∵ x ⊥ y ,∴ x ? y =0

?

? ?

? ? ?

即[ a +(t2-3) b ]·(-k a +t b )=0.

?

?

?

?

整理后得-k a +[t-k(t2-3)] a ? b + (t2-3)· b =0

?2

? ?

?2

1 ?2 ?2 ? ? ∵ a ? b =0, a =4, b =1,∴上式化为-4k+t(t2-3)=0,即 k= 4 t(t2-3) 1 1 (2)讨论方程 4 t(t2-3)-k=0 的解的情况,可以看作曲线 f(t)= 4 t(t2-3)与直线 y=k 的交点个
数.

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3 3 于是 f′(t)= 4 (t2-1)= 4 (t+1)(t-1).
令 f′(t)=0,解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时,f′(t)、f(t)的变化情况如下表: t f′(t) F(t) (-∞,-1) + ↗ -1 0 极大值 (-1,1) ↘ 1 0 极小值 (1,+ ∞) + ↗

1 当 t=-1 时,f(t)有极大值,f(t)极大值= 2 . 1 当 t=1 时,f(t)有极小值,f(t)极小值=- 2 1 函数 f(t)= 4 t(t2-3)的图象如图 13-2-1 所示,
可观察出:

1 1 (1)当 k> 2 或 k<- 2 时,方程 f(t)-k=0 有且只有一解; 1 1 (2)当 k= 2 或 k=- 2 时,方程 f(t)-k=0 有两解; 1 1 (3) 当- 2 <k< 2 时,方程 f(t)-k=0 有三解.
题型七:导数与不等式的综合 1.设 a ? 0,函数f ( x) ? x ? ax 在 [1,??) 上是单调函数.
3

(1)求实数 a 的取值范围; (2)设

x0

f ( x0 ) ? x0 f ( f ( x0 )) ? x0 ≥1, f ( x) ≥1,且 ,求证: .
2 2

? ? ? 解: (1) y ? f ( x) ? 3x ? a, 若 f ( x) 在 ?1,?? ? 上是单调递减函数, 则须 y ? 0,即a ? 3x , 这
样的实数 a 不存在.故 f ( x) 在 ?1,?? ? 上不可能是单调递减函数.
2 若 f ( x) 在 ?1,?? ? 上是单调递增函数,则 a ≤ 3x ,

由于 x ? ?1,?? ?, 故3x ? 3 .从而 0<a≤3.
2

( 2 ) 方 法 1 、 可 知 f ( x) 在 ?1,?? ? 上 只 能 为 单 调 增 函 数 .

若 1≤

x0 ? f ( x0 )

,则

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f ( x0 ) ? f ( f ( x0 )) ? x0矛盾,
只有 若 1≤

f ( x0 ) ? x0 , 则f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ), 即x0 ? f ( x0 )

矛盾,故

f ( x0 ) ? x0

成立.

方 法

2 : 设

f ( x0 ) ? u, 则f (u ) ? x0



3 ? x0 ? ax0 ? u, u 3 ? au ? x0 ,

两 式 相 减 得

3 2 ( x0 ? u 3 ) ? a( x0 ? u ) ? u ? x0 ? ( x0 ? u )( x0 ? x0 u ? u 2 ? 1 ? a) ? 0,? x0 2 2 ? x0 ? x0 u ? u 2 ? 3, 又0 ? a ? 3 ? x0 ? x0 u ? u 2 ? 1 ? a ? 0

≥1,u≥1,



题型八:导数在实际中的应用 1.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千米/

y?
小时)的函数解析式可以表示为:

1 3 x3 ? x ? 8(0 ? x ? 120). 128000 80

已知甲、乙两地相距 100 千米。 (I)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

100 ? 2.5 解: (I)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 40 小时, 1 3 ( ? 403 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 80 要耗没 128000 (升) 。 100 (II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 x 小时,设耗油量为 h( x ) 升, 1 3 100 1 2 800 15 h( x ) ? ( x3 ? x ? 8). ? x ? ? (0 ? x ? 120), 128000 80 x 1280 x 4 依题意得
h '( x) ? x 800 x3 ? 803 ? ? (0 ? x ? 120). 640 x 2 640 x 2

令 h '( x) ? 0, 得 x ? 80. 当 x ? (0,80) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 当 x ? (80,120) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。

?当 x ? 80 时, h( x) 取到极小值 h(80) ? 11.25.

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因为 h( x ) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小值。 答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升。当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升。

题型九:导数与向量的结合

? 3 1 ? 1 3 a?( , ? ), b ? ( , ). 2 2 2 2 若存在不同时为零的两个实数 s、t 及实数 k,使 1.设平面向量
x ? a ? (t 2 ? k )b, y ? ? s a ? t b,且 x ? y,
(1)求函数关系式 S ? f (t ) ;

, ? ?? 上是单调函数,求 k 的取值范围。 (2)若函数 S ? f (t ) 在 ?1
a?(
解: (1)

? ? 3 1 1 3 ? ? ,? ), b ? ( , ). a ? b ? 1, a ?b ? 0 2 2 2 2

? ? ? ? ? ? 又 x ? y, x ? y ? 0,得 ? ? ? ? 2 ?a ? ? ? sa ? tb) ( t ? k )( b ? 0, ? ? ?2 ?2 ? ? 即 ? sa ?( t t 2 ? k) b -(t ? st 2 ? sk) a ? b ? 0。 ?? s ? (t 2 ? k)t ? 0,故s ? ( f t) ? t 3 ? kt。
(2)

f? (t) ? 3t 2 ? k且f(t)在?1, ? ??上是单调函数,

? ? ?0 则在 ?1,?? ? 上有 f (t ) ? 0或f (t)
? 由 f (t ) ? 0 ? 3t ? k ? 0 ? k ? 3t ? k ? (3t ) min ? k ? 3 ;
2 2 2

? 由 f (t ) ? 0 ? 3t ? k ? 0 ? k ? 3t 。
2 2

因为在 t∈ ?1,?? ? 上 3t 是增函数,所以不存在 k,使 k ? 3t 在 ?1,?? ? 上恒成立。故 k 的取值范
2 2

围是 k ? 3 。

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