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广东省揭阳三中学2014-2015学年高二上学期第三次月考数学试卷(理科) Word版含解析


广东省揭阳三中学 2014-2015 学年高二上学期第三次月考数学试 卷(理科)
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)已知△ ABC 中 c=4,a=4 ,C=30°,则 A 等于() A.60° B.60°或 120° C.30° 2. (5 分)在等差数列{an}中,a3=5,a10=19,则 a51 的值为() A.99 B.49 C.

101 3. (5 分)“a>0”是“|a|>0”的() A.充分不必要条件 C. 充要条件 4. (5 分)椭圆 2x +3y =6 的长轴长是() A. B.
2 2

D.30°或 150°

D.102

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

C. 2

D.2

5. (5 分)焦点在 x 轴上的双曲线,实轴长 6,焦距长 10,则双曲线的标准方程是() A. B.

C.

D.

6. (5 分)下列有关命题的说法正确的是() A.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 B. 命题“若 x=y,则 sinx=siny”为真命题 2 2 C. 命题“?x0∈R,使得 x0 +x0+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x +x+1<0” 2 D.“x =1”是“x=﹣1”的充分不必要条件

7. (5 分)以椭圆

=1 的焦点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程()

A.

=1

B.

=1

C.

=1 或

=1

D.以上都不对

8. (5 分)椭圆 A.5 或 3

的焦距等于 2,则 m 的值为() B. 5 C. 8 D.16

9. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最大值为()

A.5

B. 3

C. 7

D.﹣8

10. (5 分)从椭圆

上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A

是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点) , 则该椭圆的离心率是() A. B. C. D.

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)双曲线 的焦距为.

12. (5 分)离心率为 ,长轴长为 6 的椭圆的标准方程是.
2

13. (5 分)命题:“?x0∈R,x0≤1 或 x0 >4”的否定是.

14. (5 分)直线 y=x﹣1 与椭圆

+

=1 相交于 A,B 两点,则|AB|=.

三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 15. (12 分)已知函数 (1)求 f(x)的最大值和最小正周期; .

(2)若 f(

)=

,α 是第二象限的角,求 sin2α.

16. (12 分)如图,设点 A,B 的坐标分别为(﹣3,0) , (3,0) .直线 AM,BM 相交于点 M, 且它们的斜率之积是 ,求点的轨迹方程.

17. (14 分) (1)求实轴长为 6,渐近线方程为 y=± x 的双曲线的标准方程.

(2)已知椭圆方程为

+

=1,点 P 在椭圆上,且|PF1|= ,求 cos∠F1PF2 的值.

18. (14 分)如图在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,垂足为 点 A,PA=AB=2,点 M,N 分别是 PD,PB 的中点. (Ⅰ)求证:PB∥平面 ACM; (Ⅱ)求证:MN⊥平面 PAC; (Ⅲ)求四面体 A﹣MBC 的体积.

19. (14 分)在数列{an}中,已知 a1= ,

,bn+2=3

an(n∈N ) .

*

(1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}满足 cn=an?bn,求{cn}的前 n 项和 Sn.

20. (14 分)已知椭圆 C:

(a>b>0)的两个焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|=2,点 P

在椭圆上,且△ PF1F2 的周长为 6.过椭圆 C 的右焦点的动直线 l 与椭圆 c 相交于 A、B 两点.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若线段 AB 中点的横坐标为 ,求直线 l 的方程;

(3)若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 D.设弦 AB 的中点为 P,试求 围.

的取值范

广东省揭阳三中学 2014-2015 学年高二上学期第三次月考 数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)已知△ ABC 中 c=4,a=4 ,C=30°,则 A 等于() A.60° B.60°或 120° C.30° 考点: 专题: 分析: 解答: 正弦定理. 解三角形. 直接利用正弦定理求解即可. 解:△ ABC 中 c=4,a=4 ,C=30°, ,可得 sinA= = ,

D.30°或 150°

由正弦定理

∵a=4 4=c,∴A>C,解得 A=60°或 120°. 故选:B. 点评: 本题考查正弦定理的应用,三角形的解法,考查计算能力. 2. (5 分)在等差数列{an}中,a3=5,a10=19,则 a51 的值为() A.99 B.49 C.101 考点: 专题: 分析: 解答: 则 d= 等差数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 由题意易得等差数列的公差,代入通项公式计算可得. 解:设等差数列{an}的公差为 d, =2,

D.102

∴a51=a10+41d=19+82=101 故选:C 点评: 本题考查等差数列的通项公式,属基础题.

3. (5 分)“a>0”是“|a|>0”的() A.充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件. 分析: 本题主要是命题关系的理解,结合|a|>0 就是{a|a≠0},利用充要条件的概念与集合的 关系即可判断. 解答: 解:∵a>0?|a|>0,|a|>0?a>0 或 a<0 即|a|>0 不能推出 a>0, ∴a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件 故选 A 点评: 本题根据充要条件的概念考查充要条件的判断,是基础题. 4. (5 分)椭圆 2x +3y =6 的长轴长是() A. B.
2 2

C. 2

D.2

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先把椭圆方程整理成标准方程, 进而根据椭圆的性质可知 a 的值, 进而求得椭圆的长 轴长. 解答: 解:整理椭圆方程 2x +3y =6 得
2 2

,∴a=

∴长轴长为 2a=



故选:D. 点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质和椭圆的标准方程.在解决椭圆问题时,一般需要 把椭圆方程整理才标准方程,进而确定 a,b 和 c,进而利用三者的关系解决问题. 5. (5 分)焦点在 x 轴上的双曲线,实轴长 6,焦距长 10,则双曲线的标准方程是() A. B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 焦点在 x 轴上的双曲线,可设方程为
2 2

(a>0,b>0) ,半焦距为 c.由于
2

实轴长 6,焦距长 10,可得 2a=6,2c=10,再利用 b =c ﹣a 即可得出. 解答: 解:∵焦点在 x 轴上的双曲线, ∴可设方程为 (a>0,b>0) ,半焦距为 c.

∵实轴长 6,焦距长 10,∴2a=6,2c=10, 解得 a=3,c=5, ∴b =c ﹣a =16. 故双曲线的方程为: .
2 2 2

故选:D. 点评: 本题考查了双曲线的标准方程及其性质,属于基础题. 6. (5 分)下列有关命题的说法正确的是() A.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 B. 命题“若 x=y,则 sinx=siny”为真命题 C. 命题“?x0∈R,使得 x0 +x0+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x +x+1<0” 2 D.“x =1”是“x=﹣1”的充分不必要条件 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: A.根据或命题的意义即可判断出; B.根据三角函数的定义可以判断出; C.根据命题的否定的意义即可判断出; D.根据充要条件的定义,可判断出. 解答: 解:对于 A,若 p∧q 为假命题,则 p,q 中存在至少一个假命题,但不一定 p,q 均 为假命题,故错误; 对于 B,若 x=y,则 sinx=siny 为真命题,故正确; 对于 C,命题“?x0∈R,使得 x0 +x0+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x +x+1≥0”,故错误; 2 对于 D,“x =1”是“x=﹣1”的必要不充分条件,故错误; 故选:B 点评: 本题考查了四种命题之间的关系、命题的否定,属于基础题.
2 2 2 2

7. (5 分)以椭圆

=1 的焦点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程()

A.

=1

B.

=1

C.

=1 或

=1

D.以上都不对 考点: 双曲线的标准方程;椭圆的简单性质.

专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意,先根据椭圆的方程求出双曲线的实半轴长,再由其离心率为 2 得出半焦距, 进而求出虚半轴长,写出其标准方程,即可得出正确选项. 解答: 解:∵ =1

∴其焦点坐标为(3,0) ,由已知,双曲线的实半轴长为 3, 又双曲线的离心率为 2, 所以 ,解得 c=6,故虚半轴长为 = ,

故双曲线的方程为

=1.

故选 B. 点评: 本题考查了双曲线的标准方程及椭圆的标准方程,属于基本知识直接应用题,双基 考查题

8. (5 分)椭圆 A.5 或 3

的焦距等于 2,则 m 的值为() B. 5 C. 8 D.16

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得:c=1,再分别讨论焦点的位置进而求出 m 的值. 解答: 解:由题意可得:c=1. ①当椭圆的焦点在 x 轴上时,m﹣4=1,解得 m=5. ②当椭圆的焦点在 y 轴上时,4﹣m﹣1,解得 m=3. 则 m 的值为:3 或 5. 故选 A. 点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质,要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系 要明了.解题时要认真审题,注意公式的合理选用.

9. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最大值为()

A.5

B. 3

C. 7

D.﹣8

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题. 分析: 首先作出可行域,再作出直线 l0:y=﹣3x,将 l0 平移与可行域有公共点,直线 y=﹣ 3x+z 在 y 轴上的截距最大时,z 有最大值,求出此时直线 y=﹣3x+z 经过的可行域内的点 A 的 坐标,代入 z=3x+y 中即可.

解答: 解:如图,作出可行域,作出直线 l0:y=﹣3x,将 l0 平移至过点 A(3,﹣2)处时, 函数 z=3x+y 有最大值 7. 故选 C.

点评: 本题考查线性规划问题,考查数形结合思想.解答的步骤是有两种方法:一种是: 画出可行域画法,标明函数几何意义,得出最优解.另一种方法是:由约束条件画出可行域, 求出可行域各个角点的坐标,将坐标逐一代入目标函数,验证,求出最优解.

10. (5 分)从椭圆

上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A

是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点) , 则该椭圆的离心率是() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 依题意,可求得点 P 的坐标 P(﹣c, 案. 解答: 解:依题意,设 P(﹣c,y0) (y0>0) , 则 + =1, ) ,由 AB∥OP?kAB=kOP?b=c,从而可得答

∴y0=

, ) ,

∴P(﹣c,

又 A(a,0) ,B(0,b) ,AB∥OP, ∴kAB=kOP,即 ∴b=c. = = ,

设该椭圆的离心率为 e,则 e =

2

=

=

= ,

∴椭圆的离心率 e= 故选 C.



点评: 本题考查椭圆的简单性质,求得点 P 的坐标(﹣c, 力,属于中档题. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)双曲线 的焦距为 .

)是关键,考查分析与运算能

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 由于双曲线 的 a= , b= , 故 c= =2 , 故焦距等于 2c= .

解答: 解:双曲线

的 a=

,b=

,∴c=

=2



故焦距为 2c= , 故答案为 . 点评: 本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求得 c= =2 ,是解题的关键.

12. (5 分)离心率为 ,长轴长为 6 的椭圆的标准方程是

+

=1 或

+

=1.

考点: 椭圆的简单性质;椭圆的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设椭圆的长轴长为 2a,短轴长为 2b,焦距为 2c,离心率为 e,根据 a =b +c ,e= 及 椭圆的焦点位置即可求得椭圆的标准方程. 解答: 解:设椭圆的长轴长为 2a,短轴长为 2b,焦距为 2c,离心率为 e, 依题意,2a=6, ∴a=3, 又 e= = , ∴c=2.
2 2 2

又 a =b +c , 2 2 2 ∴b =a ﹣c =5. ∴当焦点在 x 轴时,椭圆的标准方程为: + =1;

2

2

2

当焦点在 y 轴时,椭圆的标准方程为:

+

=1.

故答案为:

+

=1 或

+

=1.

点评: 本题考查椭圆的简单性质与椭圆的标准方程,求得椭圆的长轴长、短轴长是关键, 属于中档题. 13. (5 分)命题:“?x0∈R,x0≤1 或 x0 >4”的否定是?x∈R,x>1 且
2



考点: 特称命题;命题的否定. 专题: 规律型. 分析: 利用特称命题的否定是全称命题,直接写出结果即可. 解答: 解:因为特称命题的否定是全称命题,所以命题:“?x0∈R,x0≤1 或 x0 >4”的否定是: ?x∈R,x>1 且 . .
2

故答案为:?x∈R,x>1 且

点评: 本题考查特称命题的否定是全称命题,注意否定词语以及否定的格式,基本知识的 考查.

14. (5 分)直线 y=x﹣1 与椭圆

+

=1 相交于 A,B 两点,则|AB|=



考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 计算题. 分析: 把 y=x﹣1 代入椭圆 |AB|= 进行运算. 解答: 解:把 y=x﹣1 代入椭圆 + =1 化简可得 3x ﹣4x﹣2=0,
2

+

=1 化简,利用根与系数的关系,代入

?

∴x1+x2= ,x1?x2= 由弦长公式可得|AB|= 故答案为 .

, ? = ? = ,

点评: 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,弦长公式的应用,求出 x1+x2 和 x1?x2,是解 题的关键. 三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 15. (12 分)已知函数 (1)求 f(x)的最大值和最小正周期; (2)若 f( )= ,α 是第二象限的角,求 sin2α. .

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用两角和的正弦公式对解析式化简,由正弦函数的最值和三角函数的周期公 式求出函数的最大值和周期; (2)将 x= 代入由(1)求出的解析式,化简后求出正弦值,再由角的范围和平方关

系求出余弦值,再代入二倍角的正弦公式求值即可. 解答: 解(1)由题意得, =2sin(2x+ ) ,

∴f(x)的最大值为 2, 且函数的最小正周期为 T= (2)由(1)知, ∵ 即 sinα= , ,∴ , =π, ,

又∵α 是第二象限的角, ∴cosα=﹣ ∴sin2α=2sinαcosα=2× =﹣ ×(﹣ , )=﹣ .

点评: 本题考查了倍角公式和两角和的正弦公式,以及正弦函数的性质综合应用,考查了 的知识点较多,需要熟练掌握.

16. (12 分)如图,设点 A,B 的坐标分别为(﹣3,0) , (3,0) .直线 AM,BM 相交于点 M, 且它们的斜率之积是 ,求点的轨迹方程.

考点: 轨迹方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出交点 M 的坐标,写出两直线的斜率,直接由斜率之积是 结论. 解答: 解:令 M(x,y) , 则 ∵它们的斜率之积是 , , ,列式化简,可得









点评: 本题考查了轨迹方程,解答的关键是注意斜率不存在的情况,属于基础题

17. (14 分) (1)求实轴长为 6,渐近线方程为 y=± x 的双曲线的标准方程.

(2)已知椭圆方程为

+

=1,点 P 在椭圆上,且|PF1|= ,求 cos∠F1PF2 的值.

考点: 双曲线的标准方程;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)当焦点在 x 轴上时,设所求双曲线的方程为 =1(a>0,b>0) ,由题意,



; 当焦点在 y 轴上时, 设双曲线的方程为

=1 (a>0, b>0) 由题意得

. 由

此能求出双曲线的方程.

(2)由已知得|PF1|= ,|PF2)= ,|F1F2|=2c=2,由余弦定理能求出 cos∠F1PF2.

解答: 解: (1)当焦点在 x 轴上时,设所求双曲线的方程为

=1(a>0,b>0) ,

由题意,得

,解得 a=3,b= .

所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为

=1.

当焦点在 y 轴上时,设双曲线的方程为

=1(a>0,b>0)

由题意得

,解得 a=3,b=2,

∴焦点在 y 轴上的双曲线的方程为

=1.

(2)∵椭圆方程为

+

=1,点 P 在椭圆上,|PF1|= ,

∴|PF2)= ,又|F1F2|=2c=2,

由余弦定理 cos∠F1PF2=

=

= . 点评: 本题考查双曲线方程的求法,考查角的余弦值的求法,是基础题,解题时要认真审 题,注意双曲线性质的合理运用. 18. (14 分)如图在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,垂足为 点 A,PA=AB=2,点 M,N 分别是 PD,PB 的中点. (Ⅰ)求证:PB∥平面 ACM; (Ⅱ)求证:MN⊥平面 PAC; (Ⅲ)求四面体 A﹣MBC 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题. 分析: (I)证明 PB∥平面 ACM,利用线面平行的判定定理,只需证明线线平行,利用三 角形的中位线可得 MO∥PB; (II)证明 MN⊥平面 PAC,由于 MN∥BD,只要证明 BD⊥平面 PAC,利用线面垂直的判定 定理,即可证得; (III)利用等体积,即 ,从而可得结论.

解答: 证明: (I)连接 AC,BD,AM,MC,MO,MN,且 AC∩BD=O ∵点 O,M 分别是 PD,BD 的中点 ∴MO∥PB, ∵PB?平面 ACM,MO?平面 ACM ∴PB∥平面 ACM.…(4 分) (II)∵PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD ∴PA⊥BD ∵底面 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD 又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面 PAC…(7 分) 在△ PBD 中,点 M,N 分别是 PD,PB 的中点,∴MN∥BD ∴MN⊥平面 PAC.…(9 分) (III)∵ ∴ , .…(14 分) …(12 分)

点评: 本题考查线面平行,考查线面垂直,考查三棱锥的体积,解题的关键是正确运用线 面平行、线面垂直的判定方法,利用等体积法求体积.

19. (14 分)在数列{an}中,已知 a1= ,

,bn+2=3

an(n∈N ) .

*

(1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}满足 cn=an?bn,求{cn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由条件建立方程组即可求出数列{an}、{bn}的通项公式; (2)根据错位相减法即可求{cn}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (1)∵a1= , ,

∴数列{an}是公比为 的等比数列,∴ 又 (2)由(1)知, ∴ ∴ , ,故 bn=3n﹣2(n∈N ) . ,
*





于是

. 两式相减,得 = . ∴ 点评: 本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的计算,以及利用错位相减法进行求 和的内容,考查学生的计算能力.

20. (14 分)已知椭圆 C:

(a>b>0)的两个焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|=2,点 P

在椭圆上,且△ PF1F2 的周长为 6.过椭圆 C 的右焦点的动直线 l 与椭圆 c 相交于 A、B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若线段 AB 中点的横坐标为 ,求直线 l 的方程;

(3)若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 D.设弦 AB 的中点为 P,试求 围.

的取值范

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由已知和椭圆的定义可得:2c=2,2a+2c=6,解得即可. (2)设过椭圆 C 的右焦点的动直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) ,与椭圆的方程联立可得根与系数 的关系,再利用中点坐标公式即可得出 k. (3)利用中点坐标公式和弦长公式即可得出. 解答: 解: (1)由已知得 2c=2,再利用椭圆的定义 2a+2c=6, 2 2 2 解得 a=2,c=1,又 b =a ﹣c =3, ∴椭圆 C 的方程为 .

(2)设过椭圆 C 的右焦点的动直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) ,
2 2 2 2

联立

化为(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0.

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .







∵AB 中点的横坐标为 ,∴

,解得 k=



∴直线 l 的方程



(3)由(2)知 AB 的中点为 P



直线 PD 的方程为

,由 y=0,得



则D 又 | |=

,∴

=



=

=





=

=

=

又∵k +1>1,∴

2

.∴





的取值范围是



点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根 与系数的关系、弦长公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算 能力,属于难题.


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