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吉林省白山一中2014高三第二次模拟考试数学(理)试题


高三第二次模拟考试 数学(理)试题
一.选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.i 是虚数单位,复数 z 满足 z(1+i)= 1-i,则复数 z= A.i B.—i C.1 2.已知全集 U=R,集合 A={x| A. A ? B 3. B. A ? B

(<

br />
) D.—l )

<0},B={x|x≥1},则集合{x|x≤0}等于( C. C( U A ? B) D. C( U A ? B)

一 个 简 单 几 何 体 的 正 视 图 、 侧 视 图 如 图 所 示 , 则 其 俯 视 图 可 能 是

①长、宽不相等的长方形 A.①② C. ②③

②正方形 ③圆 ④椭圆 B. ①④ D. ③④

?x ? y ? 0 ? 4. 若实数 x 、 y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 3 x ·9 y 的最大值是 ? y ?1 ?
A.3 5. 若 ( x ? B. 9 C. 18 D. 27
开始

1 23 x

) 展开式中第三项与第四项的二项式系数相等且为最大,则

n

输入a k ? 1, S ? 0

展开式中常数项为 A. 6 B. ? 6 C. ?

5 4

D.

S?S?

5 4
6.等比数列 ?a n ?的公比为 q ,前 n 项和为 S n ,若 S n ?1 , S n , S n ? 2 成等差数列,则公 比q 为 A. ? 2 或 1 B. 1 C. ? 2 D. 2 或 ? 1

1 (2k ? 1)(2k ? 1)

k ? k ?1

S ? a?
是 输出k 结束



7.阅读如图所示的程序框图,若输入 a ? (A) 9 8.函数 y ? (B) 10

9 ,则输出的 k 值是 19 (C) 11 (D) 12

x , x ? (?? ,0) ? (0, ? ) 的图象可能是下列图象中的 sin x

9.右图是某次歌唱比赛中,七位评委为某选手打出分数的茎叶 统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数 和 方差分别为 A. 84 , 4.84 B. 85 , 1.6 C. 84 , 1.6 D. 85 , 4

7
8

6

4 4
5

6 4

7

9

lg x, x ? 0, ? ? f ( x ) ? a ? f ( f (1)) ? 1 ,则 a 的值是 10.设若 x ? ? 3t 2 dt , x ? 0, ? 0 ?
A. -1 B. 2 C. 1 D.-2 11.若 a>l,设函数 f(x)=ax+x -4 的零点为 m,函数 g(x)= logax+x-4 的零点为 n,则

1 1 ? 的最小 m n

值为 A.1 B.2 C.4 D.8 12.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x ? R,都有 f(2 +x)=-f(x) ,且当时 x∈[0,1]时

f ( x) ? ? x 2 ? 1,则方程 f ( x) ? k , k ? ? 0,1? 在[-1,5]的所有实根之和为
A.0 B.2 C.4 D.8

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知向量 a , b ,满足| a |= 2 ,| b |= 2 ,且( a - b ) ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为_______. 14.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的各顶点都在同一球面上,若四面体 A ? B1CD1 的表面积为 8 3 ,则球 的体积为____________. 15.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a11=3a6-4,则则 Sn= 。

16.在( x 2 ? )8 的展开式中,x 的系数是

1 x

。 (用数字作答)

三. 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (12 分) 已 知 ?a n ? 是 等 差 数 列 , ?bn ? 是 等 比 数 列 , S n 为 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 , a1 ? b1 ? 1 , 且 b3 s3 ? 36 ,

b2 s 2 ? 8 n ? N ? .
(1)求 a n 和 bn ; (2)若 a n ? a n ?1 ,求数列 { 18. (12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 的底面是菱形,∠ABC=600,PA⊥底面 ABCD,E、F 分 别是 BC、PC 的中点,PA=AB=2. (1)若 H 为 PD 上的动点,求 EH 与平面 PAD 所成的最大角的正切值; (2)求二面角 E—AF—C 的余弦值. 19. (12 分) 甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出 3 人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道必答题,答对 则为本队得 1 分,答错不答都得 0 分,已知甲队 3 人每人答对的概率分别为 , , 概率都是

?

?

1 } 的前 n 项和 Tn . a n ? a n ?1

3 2 1 ,乙队每人答对的 4 3 2

2 .设每人回答正确与否相互之间没有影响,用 ? 表示甲队总得分. 3

(I)求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E( ? ) ; (Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下,甲队比乙队得分高的概率. 20.(12 分) 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 3 相切, 过 C 的一个焦点且斜率为 3 的直 2 a b

线也与圆 O 相切. (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ) P 是圆 O 上在第一象限的点,过 P 且与圆 O 相切的直线 l 与 C 的右支交于 A 、 B 两点,?AOB 的 面积为 3 2 ,求直线 l 的方程.

21. (12 分) 设函数

1 f ? x ? ? ln x ? ax 2 ? bx. 2

1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; 2 1 1 a (II)令 F ?x ? ? f ?x ? ? ax2 ? bx ? ?0 < x ≤ 3 ? ,其图像上任意一点 P ? x0 , y0 ? 处切线的斜率 k ≤ 恒 2 2 x 成立,求实数 a 的取值范围;
(I)当 a ? b ? (III)当 a ? 0, b ? ?1 时,方程 f ? x ? ? mx 在区间 1, e 2 内有唯一实数解,求实数 m 的取值范围。

? ?

请考生在第(22)~(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时,用 2B 铅笔在答题 卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.

22.(10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 圆 O 的直径 AB ? 10 ,P 是 AB 延长线上一点,BP ? 2 , 割线 PCD 交圆 O 于点 C , D , 过点 P 作 AP 的垂线,交直线 AC 于点 E ,交直线 AD 于点 F . (I)求证: ?PEC ? ?PDF ; (II)求 PE ? PF 的值.

23. (10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : x 2 ? y 2 ? 1 ,在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度 单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 的极坐标方程为 ? (2 cos? ? sin? ) ? 6 . (I)将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 倍、 2 倍后得到曲线 C 2 ,试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 2 的参数方程; (II)在曲线 C 2 上求一点 P ,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值.

24. (10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2a . (I)当 a ? 1 时,求 f ( x) ? 3 的解集;

(II)当 x ? ?1,2? 时, f ( x) ? 3 恒成立,求实数 a 的集合.

参考答案

?q 2 ?3 ? 3d ? ? 36 17. 解: (1)由题意, ? ?q ?2 ? d ? ? 8
所以, a n ? 2n ? 1 , b n ? 2
n ?1

2 ? ?d ? 2 ? d ? ? 或? 解得 ? 3 ?q ? 2 ? q ? 6 ?

或 an

2 5 ? ? n ? , bn ? 6 n ?1 3 3

(2)因为 a n ? a n ?1 ,所以 d

? 0 ,故 a n ? 2n ? 1

所以,

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? a n a n ?1 ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
1? 1 1 1 1 1 ? n ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1

故 Tn ?

18. 解: (1)方法一:连接 AE 、 AH ,由题意, AE ? BC ,故 AE ?

AD ,又因为 PA ? 平面ABCD 所以, 平面PAD ? 平面ABCD且平面PAD ? 平面ABCD ? AD 所以, AE ? 平面PAD , 所以, ?AHE 就是 EH 与平面 PAD 所成的角。 AE 因为, tan?AHE ? ,易求 AE ? 3 ,故当 AH 最小时 ?AHE 最大, AH AD ,故当 H 为 PD 中点时 AH 最小,此时, AH ? 2 z
AE ? AH 3 2 ? 6 2

由题意, PA ?

从而, tan?AHE ?

方法二: 以 AB 所在直线为 x 轴, 以 AP 所在直线为 z 轴, 以过点 A 且与 AB 垂直的直线为 由题意, A?0,0,0 ? 、 B?2,0,0? 、 C 1, 3 ,0 ,从而

?

?

y 轴建立空间直角坐标系,

?3 3 ? ? E? ? 2 , 2 ,0 ? , D ? 1, 3,0 、 P?0,0,2? , ? ?
设 H ?x, y, z ? ,并设 DH ? ? DP , 即 x ? 1, y ? 3, z ? ? 1,? 3,2

?

?

?

? ?

?

所以, H

?? ? 1,

? ? 5 3 ?, ? ? , ? 3 ? , 2 ? 3 ? 3? ,2? ,所以, EH ? ? ? ? 2 2 ? ? ?3 3 ? ? ? 2 , 2 ,0 ? , ? ?
角 的 角 为

?

由条件易证 AE ? 平面PAD ,所以平面 PAD 的一个法向量为 AE ? ? 设 直 线

EH







PAD







?





s ? i? c n EH o , AE s ?

EH ? AE EH AE

?

? 3? 5? 3? 3 ? ? ? 3 ? ?? ? ? ? ? 2? 2? 2 ? 2 ? ?
2 ? 5? ? 3 9 3 ? ? 3? ? ? 4?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2 4 4 ? ? 2

?

3 1? ? 8? ? ? ? ? 5 2? ?
2

所以,当 ?

?

3 1 时, sin ? 取得最大值为 ,从而 cos? ? 2 5
? 6 2

2 5

,此时,

tan? ?

3 2

z

(2) 由条件易证 BD ? 平面AFC ,故取 BD ? ? 3, 3 ,0 作平面 AFC 的法向量。 设平面 AFE 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 n ? AF 且 n ? AE

?

?

?1 ? x? ?2 所以, ? ?3 x ? ? ?2

3 y?z ?0 2 ,取 y ? 3 ,则 x ? ?1 , z ? ?1 3 y?0 2

y x

即 n ? ? 1, 3 ,?1 ,设二面角 E—AF—C 的平面角为 ? ,由图可知此二面角为锐二面角,

?

?

故 cos? ? cos BD, n ?

BD ? n BD n

?

3?3 12 5

?

15 5

19.(1) ? 的可能取值为 0,1,2,3

1 1 1 1 3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ; P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; P(? ? 0) ? ? ? ? 4 3 2 24 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 1 1 2 1 3 1 1 11 3 2 1 1 ; P(? ? 3) ? ? ? ? P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24 4 3 2 4
?? 的分布列

?
P

0

1

2

3



1 24

1 4

11 24

1 4

E (? ) ? 0 ?

1 1 11 1 23 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 24 4 24 4 12

20. 解: (Ⅰ)∵双曲线 C 与圆 O 相切,∴ a ?

3,

过 C 的一个焦点且斜率为 3 的直线也与圆 O 相切,得 c ? 2 ,既而 b ? 1

故双曲线 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 3

(Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? m , (k ? 0 , m ? 0) , A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 圆心 O 到直线 l 的距离 d ?

m k ?1
2

,由 d ?

3 得 m2 ? 3k 2 ? 3

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 得 (3k ? 1) x ? 6kmx ? 3m ? 3 ? 0 2 ? ? y ?1 ?3
则 x1 ? x2 ? ?

3m 2 ? 3 6km x x ? , 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

AB ? k 2 ? 1 ? x 2 ? x1 ? k 2 ? 1 ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? 4 x1 x 2

? k 2 ?1 ?

36k 2 m 2 12( m 2 ? 1) 36k 2 (3k 2 ? 3) 12(3k 2 ? 4) 2 ? k ? 1 ? ? ? (3k 2 ? 1) 2 3k 2 ? 1 (3k 2 ? 1) 2 3k 2 ? 1

又 ?AOB 的面积 S ?

1 3 OP ? AB ? AB ? 3 2 ,∴ AB ? 2 6 2 2

4 3 k 2 ?1 由 ?2 6, 3k 2 ? 1

解得 k ? ?1, m ?

6,

21.(Ⅰ)解:依题意,知 f ( x) 的定义域为( 0, ?? )



a?b?

1 1 2 1 时, f ( x) ? ln x ? x ? x , 2 4 2

f ?( x) ? f ?( x) ?

1 1 1 ?( x ? 2)( x ? 1) ? x? ? , x 2 2 2x



1 1 1 ?( x ? 2)( x ? 1) ? x? ? ? 0, 解得 x ? 1 或 x ? ?2 (舍去) x 2 2 2x
f ?( x) ? 0, 当 x ? 1 时 f ?( x) ? 0,

当 0 ? x ? 1时

所以 f ( x) 的单调递增区间是( 0,1 )单调递间区间是( (II) F ( x) ? ln x ?

1, ?? )

x0 ? a 1 x ? 在 (0,3] 上恒成立, , x ? (0,3] ,则有 k ? F ?( x0 ) ? x0 2 2 a

1 2 1 2 a ? ( ? x ? x ) ( ? x0 ? x0 ) 取得最大值 1 。 所以 0 0 max ,当 x0 ? 1 时, 2 2 2
所以 a

?

1 2

(III)当 由

a ? 0, b ? ?1 时, f ( x) ? ln x ? x ,

f ( x) ? mx 得 mx ? ln x ? x ,
又因为 x ? 0, 所以 m ? 1 ?

ln x x
ln x 有唯一的解。 x

要是方程

f ( x) ? mx 在区间[ 1, e 2 ]上有唯一的解,只需 m ? 1 ?



g ( x) ? 1 ?

ln x 1 ? ln x , ( x ? 0) ,所以 g ?( x) ? , ( x ? 0) x x2



g ?( x) ? 0 得 0 ? x ? e ,由 g ?( x) ? 0 得 x ? e
2 g ( x) 在区间 [1, e] 上是增函数,在区间 [e, e ] 上是减函数

所以

ln1 ln e 2 2 2 g (1) ? 1 ? ? 1, g (e ) ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 , 1 e e ln e 1 ? 1? 所以 g (e) ? 1 ? e e
所以 m

? 1?

1 2 或1 ? m ? 1 ? 2 e e

24、 (1) a ? ?3 时,

x ? 1 ? x ? 4 ? 3 ? 9,? x ? 1 ? x ? 4 ? 6
①当 x ? 4 时 2 x ? 5 ? 6,? x ? ②当 1 ?

x ? 4 时 3 ? 6 ,不成立

11 2 1 2

③当 x ? 1时 5 ? 2 x ? 6,? x ? ? 综上,不等式的解集为 x x ?

?

11 1? 或x ? ? ? 2 2?

(2)即 x ? 1 ? x ? 4 ? a 恒成立, x ? 1 ? x ? 4 ? ( x ? 1) ? ( x ? 4) ? 3 ,当且仅当 1 ?

x ? 4 时取等,?a ? 3


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