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高考数学必胜秘诀在哪?——概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(十四)高考数学选择题的解题策略


1

(一)数学选择题的解题方法
1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再 与选择支对照,从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。

x2 y2 例 3、已知 F1、F2 是椭圆 + =1 的两焦点,经点 F2 的的直线交椭圆于点 A、B, 16 9
若|AB|=5,

则|AF1|+|BF1|等于( ) A.11 B.10 C.9 D.16 解 析 : 由 椭 圆 的 定 义 可 得 |AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8 , 两 式 相 加 后 将 |AB|=5=|AF2|+|BF2|代入,得|AF1|+|BF1|=11,故选 A。 例 4、已知 y ? log a (2 ? ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2) D.[2,+∞) 解析:∵a>0,∴y1=2-ax 是减函数,∵ y ? log a (2 ? ax) 在[0,1]上是减函数。 ∴a>1,且 2-a>0,∴1<a<2,故选 B。 2、特例法:就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、 特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则 它在一般情况下也不真的原理,由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时,特例取 得愈简单、愈特殊愈好。 (1)特殊值 例 5、若 sinα >tanα >cotα ( ? A.( ?

?
4

?? ?

?
2

),则α ∈( )

?
2

,?

?
4

)

B. ? (

?
4

,0)

C. (0,

?
4

) D. (

?
4



?
2



解析:因 ?

?
4

?? ?

?
2

,取α =-

π 代入 sinα >tanα >cotα ,满足条件式,则排除 A、 6

C、D,故选 B。 例 6、一个等差数列的前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,则它的前 3n 项和为( ) A.-24 B.84 C.72 D.36 解析:结论中不含 n,故本题结论的正确性与 n 取值无关,可对 n 取特殊值,如 n=1, 此时 a1=48,a2=S2-S1=12,a3=a1+2d= -24,所以前 3n 项和为 36,故选 D。 (2)特殊函数 例 7、如果奇函数 f(x) 是[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在区间[-7,-3] 上是( ) A.增函数且最小值为-5 B.减函数且最小值是-5 C.增函数且最大值为-5 D.减函数且最大值是-5 解析:构造特殊函数 f(x)=

5 x,虽然满足题设条件,并易知 f(x)在区间[-7,-3]上是 3

增函数,且最大值为 f(-3)=-5,故选 C。 例 8、定义在 R 上的奇函数 f(x)为减函数,设 a+b≤0,给出下列不等式:①f(a)·f(- a)≤0;②f(b)·f(-b)≥0;③f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b);④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)。其中正 确的不等式序号是( ) A.①②④ B.①④ C.②④ D.①③ 解析:取 f(x)= -x,逐项检查可知①④正确。故选 B。 (3)特殊数列
1

2

例 9、已知等差数列 {an } 满足 a1 ? a2 ???? ? a101 ? 0 ,则有() A、 a1 ? a101 ? 0 (4)特殊位置 例 10、过 y ? ax2 (a ? 0) 的焦点 F 作直线交抛物线与 P、Q 两点,若 PF 与 FQ 的 长分别是 p、q ,则 A、 2 a B、 a2 ? a102 ? 0 C、 a3 ? a99 ? 0 D、 a51 ? 51 解析:取满足题意的特殊数列 an ? 0 ,则 a3 ? a99 ? 0 ,故选 C。

1 1 ? ? p q 1 B、 2a

( C、 4 a D、



4 a

解析:考虑特殊位置 PQ⊥OP 时,| PF |?| FQ |?

1 1 1 ,所以 ? ? 2a ? 2a ? 4a , 2a p q

故选 C。 例11、向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图 象如右图所示,那么水瓶的形状是 ( )

解析:取 h ? (5)特殊点

H 1 ,由图象可知,此时注水量 V 大于容器容积的 ,故选B。 2 2
?1

例 12、设函数 f ( x) ? 2 ? x ( x ? 0) ,则其反函数 f

( x) 的图像是





解析:由函数 f ( x) ? 2 ? x ( x ? 0) ,可令 x=0,得 y=2;令 x=4,得 y=4,则特殊点 - - (2,0)及(4,4)都应在反函数 f 1(x)的图像上,观察得 A、C。又因反函数 f 1(x)的定义域为 {x | x ? 2} ,故选 C。 (6)特殊方程 例 13、 双曲线 b2x2-a2y2=a2b2 (a>b>0)的渐近线夹角为α , 离心率为 e,则 cos A.e B.e2 C.

? 等于 ) ( 2

1 e

D.

1 e2

解析: 本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式, 故可用特殊方程来考察。 取双曲线方程为

? 2 x2 y2 5 - =1,易得离心率 e= ,cos = ,故选 C。 2 4 1 2 5
2

(7)特殊模型

3

例 14、如果实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=3,那么 A.

y 的最大值是( x



3 3 C. D. 3 3 2 y ? y1 y y?0 解析:题中 可写成 。联想数学模型:过两点的直线的斜率公式 k= 2 , x?0 x x2 ? x1
B. 可将问题看成圆(x-2)2+y2=3 上的点与坐标原点 O 连线的斜率的最大值,即得 D。 3、图解法:就是利用函数图像或数学结果的几何意义,将数的问题(如解方程、解不 等式、求最值,求取值范围等)与某些图形结合起来,利用直观几 性,再辅以简单计算,确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结 合思想,每年高考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用 数形结合思想解决,既简捷又迅速。 例 15、已知α 、β 都是第二象限角,且 cosα >cosβ ,则( ) A.α <β B.sinα >sinβ C.tanα >tanβ D.cotα <cotβ 解析:在第二象限角内通过余弦函数线 cosα >cosβ 找出α 、 β 的终边位置关系,再作出判断,得 B。 ? ? 例 16、已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为

1 2

A 3b b B ? ? ? a 60°,那么| a +3 b |= ( ) ? ? a +3 b O A. 7 B. 10 C. 13 D.4 ? ? ??? ? 解 析 : 如 图 , a + 3 b = OB , 在 ?O A B 中 , ? ? ??? ? ??? ? ???? ? ? OA |? 1, |AB ? 3, OAB? 120 由余弦定理得| a +3 b |=| OB |= 13 ,故选 C。 | | ? ? ,

?

?

例 17、已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前 n 项和 Sn 最小的 n 是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:等差数列的前 n 项和 Sn=

d 2 d n +(a1- )n 可表示 2 2

Sn
3 5 7 O n

为过原点的抛物线,又本题中 a1=-9<0, S3=S7,可表示如图, 由图可知,n=

3?7 ? 5 ,是抛物线的对称轴,所以 n=5 是抛 2

物线的对称轴,所以 n=5 时 Sn 最小,故选 B。 4、验证法:就是将选择支中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一去验证是否满足 题设条件,然后选择符合题设条件的选择支的一种方法。在运用验证法解题时,若能据题 意确定代入顺序,则能较大提高解题速度。 例 19、方程 x ? lg x ? 3 的解 x0 ? () A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞) 解析:若 x ? (0,1),则 lg x ? 0 ,则 x ? lg x ? 1;若 x ? (1, 2) ,则 0 ? lg x ? 1,则

1 ? x ? lg x ? 3;若 x ? (2,3) ,则 0 ? lg x ? 1 ,则 2 ? x ? lg x ? 4 ;若 x ? 3,lg x ? 0 ,则 x ? lg x ? 3 ,故选 C。
5、筛选法(也叫排除法、淘汰法) :就是充分运用选择题中单选题的特征,即有且只 有一个正确选择支这一信息, 从选择支入手, 根据题设条件与各选择支的关系, 通过分析、 推理、计算、判断,对选择支进行筛选,将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除,从而获
3

4

得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一” ,即四个选项中有且只有一个答案 正确。 例 20、若 x 为三角形中的最小内角,则函数 y=sinx+cosx 的值域是( ) A. (1, 2 ] B. (0,

3 ] 2

C.[

1 2 , ] 2 2

D. (

解析:因 x 为三角形中的最小内角,故 x ? (0, B,C,D,故应选 A。 例 22、 给定四条曲线: x 2 ? y 2 ? ①

?

1 2 , ] 2 2

3

] ,由此可得 y=sinx+cosx>1,排除

y2 5 x2 y2 x2 , ② ③ ④ ? ? 1, x 2 ? ? 1, ? y 2 ? 1, 2 9 4 4 4

其中与直线 x ? y ? 5 ? 0 仅有一个交点的曲线是( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 解析:分析选择支可知,四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求,故可考虑找不符 合条件的曲线从而筛选,而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆,故可先看②,显然直 线和曲线

x2 y2 ? ? 1是相交的,因为直线上的点 ( 5 ,0) 在椭圆内,对照选项故选 D。 9 4

6、分析法:就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析 和加工后而作出判断和选择的方法。 (1)特征分析法——根据题目所提供的信息,如数值特征、结构特征、位置特征等, 进行快速推理,迅速作出判断的方法,称为特征分析法。 例 25、已知 sin ? ? A、

m?3 9?m

m?3 4 ? 2m ? ? , cos ? ? ( ? ? ? ? ) ,则 tan 等于 ( m?5 m?5 2 2 m?3 1 | B、 | C、 D、 5 9?m 3



解析:由于受条件 sin2θ +cos2θ =1 的制约,故 m 为一确定的值,于是 sinθ ,cosθ 的 值应与 m 的值无关, 进而推知 tan

? ? ? ? ? ? 的值与 m 无关, 又 <θ <π , < < ,∴tan >1, 2 2 2 4 2 2

故选 D。 (2)逻辑分析法——通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析,达到否定谬误支, 选出正确支的方法,称为逻辑分析法。 例 26、设 a,b 是满足 ab<0 的实数,那么( ) A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b| C.|a-b|<|a|-|b| D.|a-b|<|a|+|b| 解析:∵A,B 是一对矛盾命题,故必有一真,从而排除错误支 C,D。又由 ab<0, 可令 a=1,b= -1,代入知 B 为真,故选 B。 例 27、?ABC 的三边 a, b, c 满足等式 a cos A ? b cos B ? c cos C , 则此三角形必是 () A、以 a 为斜边的直角三角形 B、以 b 为斜边的直角三角形 C、等边三角形 D、其它三角形 解析:在题设条件中的等式是关于 a, A 与 b, B 的对称式,因此选项在 A、B 为等价命题都 被淘汰,若选项 C 正确,则有

1 1 1 1 ? ? ,即 1 ? ,从而 C 被淘汰,故选 D。 2 2 2 2

7、估算法:就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出答案的近似值,或把有关数 值扩大或缩小,从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计,进而作出判断的方法。
4

5

说明:1、解选择题的方法很多,上面仅列举了几种常用的方法,这里由于限于篇幅, 其它方法不再一一举例。需要指出的是对于有些题在解的过程中可以把上面的多种方法结 合起来进行解题,会使题目求解过程简单化。 2、对于选择题一定要小题小做,小题巧做,切忌小题大做。 “不择手段,多快好省” 是解选择题的基本宗旨。

(二)选择题的几种特色运算
1、借助结论——速算 例 29、棱长都为 2 的四面体的四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( ) A、 3? B、 4? C、 3 3? D、 6? 解析:借助立体几何的两个熟知的结论: (1)一个正方体可以内接一个正四面体; (2) 若正方体的顶点都在一个球面上,则正方体的对角线就是球的直径。可以快速算出球的半 径R?

3 ,从而求出球的表面积为 3? ,故选 A。 2

2、借用选项——验算

?3 x ? y ? 12, ?2 x ? 9 y ? 36, ? 例 30、 x, y 满足 ? 若 , 则使得 z ? 3x ? 2 y 的值最小的 ( x, y) 是 2 x ? 3 y ? 24, ? ? x ? 0, y ? 0, ?





A、 (4.5,3) B、 (3,6) C、 (9,2) D、 (6,4) 解析:把各选项分别代入条件验算,易知 B 项满足条件,且 z ? 3x ? 2 y 的值最小, 故选 B。 3、极限思想——不算 例 31、正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为 ? ,侧面与底面所成的二面角的 平面角为 ? ,则 2 cos? ? cos2? 的值是( )

3 2 ? ? 解析:当正四棱锥的高无限增大时, ? ? 90 , ? ? 90 ,则
A、1 B、2 C、-1 D、

2 cos? ? cos2? ? 2 cos90? ? cos180? ? ?1. 故选 C。
4、平几辅助——巧算 例 32、在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线 共有( ) A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条 解析:选项暗示我们,只要判断出直线的条数就行,无须具体求出直线方程。以 A (1,2)为圆心,1 为半径作圆 A,以 B(3,1)为圆心,2 为半径作圆 B。由平面几何知 识易知,满足题意的直线是两圆的公切线,而两圆的位置关系是相交,只有两条公切线。 故选 B。 5、活用定义——活算 例 33、若椭圆经过原点,且焦点 F1(1,0) 2(3,0) ,F ,则其离心率为 ( ) A、

3 4

B、

2 3
5

C、

1 2

D、

1 4

6

解析:利用椭圆的定义可得 2a ? 4, 2c ? 2, 故离心率 e ? 6、整体思想——设而不算

c 1 ? . 故选 C。 a 2

例 34、 (2x ? 3) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 , (a0 ? a2 ? a4 )2 ?(a1 ? a3 )2 若 则 的值为( ) A、1 B、-1 C、0 D、2

解析:二项式中含有

3 ,似乎增加了计算量和难度,但如果设

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a ? (2 ? 3) 4 , a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? b ? (2 ? 3) 4 ,则待求
式子 ? ab ? [(2 ? 3)(2 ? 3)]4 ? 1。故选 A。 7、大胆取舍——估算 例 35、如图,在多面体 ABCDFE 中,已知面 ABCD 是边长 为 3 的正方形,EF∥AB,EF= 则该多面体的体积为( A、 ) C、6 D、

3 ,EF 与面 ABCD 的距离为 2, 2 15 2
EA D C B

9 2

B、5

解析: 依题意可计算 VE ? ABCD ? 6,故选 D。 8、发现隐含——少算 例 36、 y ? kx ? 2与 x ?
2

1 1 S ABCD ? h ? ? 3 ? 3 ? 2 ? 6 , VF 而 D E C B A 3 3

?V

?



y2 ? 1 交于 A、B 两点,且 kOA ? kOB ? 3 ,则直线 AB 的 2
B、 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 D、 3x ? 2 y ? 4 ? 0

方程为( ) A、 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 C、 3x ? 2 y ? 4 ? 0

解析:解此题具有很大的迷惑性,注意题目隐含直线 AB 的方程就是 y ? kx ? 2 ,它 过定点(0,2) ,只有 C 项满足。故选 C。

(三)选择题中的隐含信息之挖掘
1、挖掘“词眼” 例 38、过曲线 S : y ? 3x ? x 上一点 A(2, ? 2) 的切线方程为(
3 / 2 /



A、 y ? ?2 B、 y ? 2 C、 9 x ? y ? 16 ? 0 D、 9 x ? y ? 16 ? 0 或 y ? ?2 错解: f ( x) ? ?3x ? 3, f (2) ? ?9 ,从而以 A 点为切点的切线的斜率为–9,即 所求切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0. 故选 C。 剖析:上述错误在于把“过点 A 的切线”当成了“在点 A 处的切线” ,事实上当点 A 为切点时,所求的切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 ,而当 A 点不是切点时,所求的切线方程为

y ? ?2. 故选 D。
2、挖掘背景 例 39、已知 x ? R, a ? R , a 为常数,且 f ( x ? a) ?
6

1 ? f ( x) ,则函数 f (x ) 必有一 1 ? f ( x)

7

周期为( ) A、2 a

a?

?

1 ? tan x 分析:由于 tan( x ? ) ? ,从而函数 f (x ) 的一个背景为正切函数 tanx,取 4 1 ? tan x
,可得必有一周期为 4 a 。故选 C。 40 、 设 tan ? 、 t an ? 是 方 程 x3 ? 3 3x ? 4 ? 0 的 两 根 , 且

?

B、3 a

C、4 a

D、5 a

4

3、挖掘范围 例

? ? ? ? ? ? (? , ), ? ? (? , ) ,则 ? ? ? 的值为(
2 2 2? A、 ? 3 2 2
B、



? 3

C、

?
3

或?

错解:易得 tan( ? ? ? ) ? 3 , 又? ? (? 而? ? ? ?

? ?

2? 3

D、 ?

?
3



?
3

或?

2? . 故选 C。 3

, ), ? ? (? , ), ? ? ? ? (?? , ? ) ,从 2 2 2 2

? ?

2? 3

剖析:事实上,上述解法是错误的,它没有发现题中的隐含范围。由韦达定理知 . 从 而 tan? ? tan? ? 0, tan? tan? ? 0, 故 tan? ? 0, 且 tan? ? 0

? ? 2? ? ? (? , 0), ? ? (? , 0) ,故 ? ? ? ? ? . 故选 A。
2 2 3
4、挖掘伪装 例 41、若函数 f ( x) ? loga ( x2 ? ax ? 3)(a ? 0且a ? 1) ,满足对任意的 x1 、 x2 ,当

x1 ? x2 ?

a 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围为( 2 A、 (0, 1) ? (1, 3) B、 (1, 3)
C、 (0, 1) ? (1, 2 3) 分析: “对任意的 x1、x2,当 x1 ? x 2 ? D、 (1, 2 3)



a 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ”实质上就是“函 2 2 数单调递减”的“伪装” ,同时还隐含了“ f (x ) 有意义” 。事实上由于 g ( x) ? x ? ax ? 3

?a ? 1, a ? 在 x ? 时递减,从而 ? a 由此得 a 的取值范围为 (1, 2 3) 。故选 D。 2 ? g ( 2 ) ? 0. ?
5、挖掘特殊化 例 42、不等式 C12 ? C12
2x 2 x?3

的解集是(



} C、{4,5,6} A、 ? B、 {大于3 的正整数 D、{4,4.5,5,5.5,6} 分析:四个选项中只有答案 D 含有分数,这是何故?宜引起高度警觉,事实上,将 x 值取 4.5 代入验证,不等式成立,这说明正确选项正是 D,而无需繁琐地解不等式。 7、挖掘思想
7

8

例 44、方程 2 x ? x ?
2

2 的正根个数为( x
B、1
2 3

) C、2
2

A、0

D、3

分析:本题学生很容易去分母得 2 x ? x ? 2 ,然后解方程,不易实现目标。 事实上,只要利用数形结合的思想,分别画出 y ? 2 x ? x , y ?

2 的图象,容易发现 x

在第一象限没有交点。故选 A。 8、挖掘数据 例 45、定义函数 y ? f ( x), x ? D ,若存在常数 C,对任意的 x1 ? D ,存在唯一的

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? C , 则 称 函 数 f (x) 在 D 上 的 均 值 为 C 。 已 知 2 f ( x) ? lg x, x ?[10, 1 0 0,则函数 f ( x) ? lg x 在 x ?[10, 100] 上的均值为( ) ] 3 3 7 A、 B、 C、 D、10 2 4 10 f ( x1 ) ? f ( x2 ) lg( x1 x2 ) ? ? C ,从而对任意的 x1 ?[10, 100] ,存在唯一的 分析: 2 2 x2 ?[10, 100] , 使 得 x1 , x 2 为 常 数 。 充 分 利 用 题 中 给 出 的 常 数 10 , 100 。 令 1000 , x1 x2 ? 10?1 0 0 1 0 0 0 当 x1 ?[10, 100] 时 , x2 ? ? ? [10, 1 0] 0, 由 此 得 x1 lg( x1 x 2 ) 3 C? ? . 故选 A。 2 2 (四)选择题解题的常见失误

x2 ? D , 使 得

1、审题不慎 例 46、设集合 M={直线} ,P={圆} ,则集合 M ? P 中的元素的个数为 ( ) A、0 B、1 C、2 D、0 或 1 或 2 误解: 因为直线与圆的位置关系有三种, 即交点的个数为 0 或 1 或 2 个, 所以 M ? P 中的元素的个数为 0 或 1 或 2。故选 D。 剖析:本题的失误是由于审题不慎引起的,误认为集合 M,P 就是直线与圆,从而错 用直线与圆的位置关系解题。实际上,M,P 表示元素分别为直线和圆的两个集合,它们 没有公共元素。故选 A。 2、忽视隐含条件 例 47、若 sin 2 x 、 sin x 分别是 sin ?与 cos? 的等差中项和等比中项,则 cos 2 x 的值 为( )

1? 33 1? 33 C、 8 8 2 误解:依题意有 2 sin 2 x ? sin ? ? cos ? , ① sin x ? sin ? cos ?
A、 B、 由①2-②× 得, 4 cos 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 0 ,解得 cos 2 x ? 2
2

1? 33 8

D、

1? 2 4


1 ? 33 。故选 C。 8

剖析:本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件。事实上,由

8

9

sin 2 x ? sin ? cos? ,得 cos 2 x ? 1 ? sin 2? ? 0 ,所以

1? 33 不合题意。故选 A。 8


3、概念不清 例 48、已知 l1 : 2 x ? my ? 2 ? 0, l2 : mx ? 2 y ? 1 ? 0 ,且 l1 ? l 2 ,则 m 的值为( A、2 B、1 C、0 D、不存在 误解:由 l1 ? l 2 ,得 k1k 2 ? ?1. ? ?

2 ?m ?( ) ? ?1 ,方程无解,m 不存在。故选 D。 m 2 剖析:本题的失误是由概念不清引起的,即 l1 ? l 2 ,则 k1k 2 ? ?1 ,是以两直线的斜率
都存在为前提的。 若一直线的斜率不存在, 另一直线的斜率为 0, 则两直线也垂直。 m=0 当 时,显然有 l1 ? l 2 ;若 m ? 0 时,由前面的解法知 m 不存在。故选 C。 4、忽略特殊性 例 49、已知定点 A(1,1)和直线 l : x ? y ? 2 ? 0 ,则到定点 A 的距离与到定直线 l 的距离相等的点的轨迹是( ) A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、直线 误解:由抛物线的定义可知,动点的轨迹是抛物线。故选 C。 剖析:本题的失误在于忽略了 A 点的特殊性,即 A 点落在直线 l 上。故选 D。 5、思维定势 例 50、如图 1,在正方体 AC1 中盛 满水,E、F、G 分别为 A1B1、BB1、BC1 的中点。若三个小孔分别位于 E、F、G 三点处, 则正方体中的水最多会剩下原体 积的( ) A、

11 12

B、

7 8

C、

5 6

D、

23 24

误解:设平面 EFG 与平面 CDD1C1 交于 MN,则平面 EFMN 左边的体积即为所求,由 三棱柱 B1EF—C1NM 的体积为 V正方体 ,故选 B。 剖析:在图 2 中的三棱锥 ABCD 中,若三个小孔 E、F、G 分别位于所在棱的中点处, 则在截面 EFG 下面的部分就是盛水最多的。本题的失误在于受图 2 的思维定势,即过三 个小孔的平面为截面时分成的两部分中,较大部分即为所求。事实上,在图 1 中,取截面 BEC1 时,小孔 F 在此截面的上方, VB1 ? BEC1 ? 6、转化不等价 例 51、函数 y ? x ?

1 8

1 V正方体 ,故选 A。 12

x 2 ? a 2 (a ? 0) 的值域为( ) ( [ (??, 0] A、 ??, 0) ? (0, ? ?) B、 a, ? ?) C、

[ D、 ?a, 0) ? [a, ? ?)
?1

误解:要求原函数的值域可转化为求反函数的定义域。因为反函数 f 所以 x ? 0 ,故选 A。

( x) ?

x2 ? a2 , 2x

剖析:本题的失误在于转化不等价。事实上,在求反函数时,由 y ? x ? ? x 2 ? a 2 ,

9

10

两边平方得 ( y ? x) 2 ? x 2 ? a 2 ,这样的转化不等价,应加上条件 y ? x ,即 y ? 进而解得, y ? a或 ? a ? y ? 0 ,故选 D。

y2 ? a2 , 2y

10


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