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二次方程根的分布情况归纳(完整版)


二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 根的分布情况
2

设方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的不等两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,相应的二次函数为 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? 0 ,方程的
2

/>根即为二次函数图象与 x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)

表一: (两根与 0 的大小比较即根的正负情况)
分 布 情 况
两个负根即两根都小于 0 两个正根即两根都大于 0 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x2 ?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

f ?0? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论 综 合 结 论 ( 不 讨 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? 2 a ? ? ? f ?0? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? 2 a ? ? ? f ?0? ? 0

f ?0? ? 0

a

? ??0 ? b ? ?0 ? ? 2 a ? ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ? ? 2 a ? ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

a ? f ?0? ? 0



1

表二: (两根与 k 的大小比较)
分 布 情 况
两根都小于 k 即 两根都大于 k 即 一个根小于 k ,一个大于 k 即

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k ? x2

a?0


大 致 图 象 (

k

k

k

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

综 合 结 论 ( 不 讨 论

a

? ??0 ? b ? ?k ? ? 2 a ? ? ?a ? f ? k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ? ? 2 a ? ? ?a ? f ? k ? ? 0

a ? f ?k ? ? 0



2

表三: (根在区间上的分布)
分 布 情 况
两根都在 ?m, n? 内 两根有且仅有一根在 ?m, n? 内 一根在 ?m, n? 内, 另一根在 ? p, q ?

(图象有两种情况,只画了一种) 内, m ? n ? p ? q

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? m? f ? n? ? 0 ? f ? n? ? 0 ? 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? m? f ? n? ? 0 ? f ? n? ? 0 ? 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?

综 合 结 论 ( 不 讨 论

——————

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ?m ? f ?n ? ? 0 ? ? ? ? f ? p ? f ?q ? ? 0

a


根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间 ?m, n? 外,即在区间两侧 x1 ? m, x2 ? n , (图形分别如下)需满 足的条件是

3

(1) a ? 0 时, ?

? ? f ? m? ? 0 ; f n ? 0 ? ? ? ?

(2) a ? 0 时, ?

? ? f ? m? ? 0 ? ? f ? n? ? 0

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在 ?m, n? 内有以下特殊情况:

1?

若 f ? m? ? 0 或 f ? n? ? 0 ,则此时 f ? m? f ? n ? ? 0 不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为 m 或 n ,可

以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间 ?m, n? 内,从而可以求出参数的值。如方程 mx2 ? ? m ? 2? x ? 2 ? 0 在区 间 ?1,3? 上有一根, 因为 f ?1? ? 0 , 所以 mx ? ? m ? 2? x ? 2 ? ? x ?1?? mx ? 2? , 另一根为
2

2 2 2 , 由1 ? ? 3 得 ? m ? 2 m 3 m

即为所求;

2?

方程有且只有一根,且这个根在区间 ?m, n? 内,即 ? ? 0 ,此时由 ? ? 0 可以求出参数的值,然后再将参数的值带
2

入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程 x ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0 有 且一根在区间 ? ?3,0? 内, 求 m 的取值范围。 分析: ①由 f ? ?3? f ? 0? ? 0 即 ?14m ?15?? m ? 3? ? 0 得出 ?3 ? m ? ?
2 ②由 ? ? 0 即 16m ? 4 ? 2m ? 6? ? 0 得出 m ? ?1 或 m ?

15 ; 14

3 ,当 m ? ?1 时,根 x ? ?2 ? ? ?3,0? ,即 m ? ?1 满足题意; 2 3 3 15 当 m ? 时,根 x ? 3 ? ? ?3,0? ,故 m ? 不满足题意;综上分析,得出 ?3 ? m ? ? 或 m ? ?1 14 2 2

根的分布练习题
例 1、已知二次方程 ? 2m ?1? x ? 2mx ? ? m ?1? ? 0 有一正根和一负根,求实数 m 的取值范围。
2

解:由

? 2m ?1? f ?0? ? 0
2



? 2m ? 1 ?? m ? 1 ??

1 ,从而得 ? ? m ? 1 即为所求的范围。 0 2

例 2、已知方程 2x ? ? m ?1? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围。 解:由

4

??0 ? ?? m ? 1?2 ? 8m ? 0 ? ?m ? 3 ? 2 2或m ? 3 ? 2 2 ? ? ? ? m ? 1? ? ?0 ? ? m ? ?1 ? ? ? ?? 22 m ? 0 ? ? ? ? m?0 f ?0? ? 0 ? ? ?

0 ? m ? 3 ? 2 2 或 m ? 3 ? 2 2 即为所求的范围。
例 3、已知二次函数 y ? ? m ? 2? x2 ? ? 2m ? 4? x ? ?3m ? 3? 与 x 轴有两个交点,一个大于 1,一个小于 1,求实数 m 的取值范围。 解:由

? m ? 2? f ?1? ? 0



? m ? 2? ? 2m ?1? ? 0

? ?2 ? m ?

1 即为所求的范围。 2

例 4、已知二次方程 mx2 ? ? 2m ? 3? x ? 4 ? 0 只有一个正根且这个根小于 1,求实数 m 的取值范围。 解: 由题意有方程在区间 ? 0,1? 上只有一个正根, 则 f ? 0? f ?1? ? 0 ? 4 ? 3m ? 1? ? 0 ? m ? ?

1 即为所求范围。 3

(注:本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在 ? 0,1? 内,由 ? ? 0 计算检验,均不复合题意,计 算量稍大) 例 1、当关于 x 的方程的根满足下列条件时,求实数 a 的取值范围: (1)方程 x ? ax ? a ? 7 ? 0 的两个根一个大于 2,另一个小于 2;
2 2

(2)方程 7 x2 ? (a ? 13) x ? a2 ? a ? 2 ? 0 的一个根在区间 (0,1) 上,另一根在区间 (1, 2) 上; (3)方程 x ? ax ? 2 ? 0 的两根都小于 0;
2

变题:方程 x ? ax ? 2 ? 0 的两根都小于?1.
2

(4)方程 x2 ? (a ? 4) x ? 2a 2 ? 5a ? 3 ? 0 的两根都在区间 [?1,3] 上; (5)方程 x ? ax ? 4 ? 0 在区间(?1,1)上有且只有一解;
2

例 2、已知方程 x ? m x ? 4 ? 0 在区间[?1,1]上有解,求实数 m 的取值范围.
2

例 3、已知函数 f (x) ? mx ? (m ? 3) x ? 1 的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数 m 的取值范围.
2

检测反馈:
1 2 2 2 2 2.若 ? 、 ? 是关于 x 的方程 x ? 2kx ? k ? 6 ? 0 的两个实根, 则 (? ? 1) ? (? ? 1) 的最小值为
3.若关于 x 的方程 x ? (m ? 2) x ? 2m ?1 ? 0 只有一根在 (0,1) 内,则 m ?_
2
2

2 1.若二次函数 f ( x) ? x ? (a ?1) x ? 5 在区间 ( ,1) 上是增函数,则 f (2) 的取值范围是___________.



_.

4.对于关于 x 的方程 x +(2m?1)x+4 ?2m=0 求满足下列条件的 m 的取值范围: (1)有两个负根 (2) 两个根都小于?1 (3)一个根大于 2,一个根小于 2 (4) 两个根都在(0 ,2)内 (5)一个根在(?2,0)内,另一个根在(1,3)内 (6)一个根小于 2,一个根大于 4 (7) 在(0, 2)内 有根 (8) 一个正根,一个负根且正根绝对值较大 5.已知函数 f ( x) ? mx ? x ? 1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,求实数 m 的取值范围。
2

2、二次函数在闭区间 ?m, n? 上的最大、最小值问题探讨
设 f ?x? ? ax ? bx ? c ? 0 ?a ? 0? ,则二次函数在闭区间 ?m, n ? 上的最大、最小值有如下的分布情况:
2

m?n??

b 2a

m??

b b ? n即? ? ?m, n? 2a 2a
5

?

b ?m?n 2a

图 象

最 大 、 最 小 值

f ?x ?max ? f ?m ? f ?x ?min ? f ?n ?

f ?x ?max ? max? f ?n ?, f ?m?? ? b ? f ?x ?min ? f ? ? ? ? 2a ?

f ?x ?max ? f ?n ? f ?x ?min ? f ?m?

对于开口向下的情况,讨论类似。其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论: (1)若 ? (2)若 ?

b ? ? ? ? ? b ? ? b ? ? ?m, n? ,则 f ?x ?max ? max? f ?m?, f ? ? ?, f ?n?? , f ?x ?min ? min? f ?m?, f ? ? ?, f ?n?? ; 2a ? 2a ? ? 2a ? ? ? ? ?

b ? ?m, n? ,则 f ?x?max ? max? f ?m?, f ?n??, f ?x?min ? min? f ?m?, f ?n?? 2a 另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开 x 轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开口向下 时,自变量的取值离开 x 轴越远,则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值,讨论的情况无非就是从三个方面入手:开口方向、对称轴以及闭区间,以下三个例题 各代表一种情况。 例 1、函数 f ? x ? ? ax ? 2ax ? 2 ? b ? a ? 0? 在 ? 2,3? 上有最大值 5 和最小值 2,求 a , b 的值。
2

解:对称轴 x0 ? 1??2,3? ,故函数 f ? x ? 在区间 ? 2,3? 上单调。 (1)当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 2,3? 上是增函数,故 ?

? ?3a ? b ? 2 ? 5 ?a ? 1 ? f ? x ?max ? f ? 3? ; ? ? ? ? f x ? f 2 ? ? ? ? 2 ? b ? 2 b ? 0 ? ? ? ? min

(2)当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 2,3? 上是减函数,故 ? 例 2、求函数 f ? x ? ? x ? 2ax ?1, x ??1,3? 的最小值。
2

? f ? x ?max ? f ? 2 ? ? b?2 ?5 ?a ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?3a ? b ? 2 ? 2 ? b?3 ? f ? x ?min ? f ? 3?

解:对称轴 x0 ? a
2 (1) 当 a ? 1 时,ymin ? f ?1? ? 2 ? 2a (2) 当 1 ? a ? 3 时,ymin ? f ? a ? ? 1 ? a ; (3) 当 a ? 3 时,ymin ? f ? 3? ? 10 ? 6a

改:1.本题若修改为求函数的最大值,过程又如何? 解: (1)当 a ? 2 时, f ? x ?max ? f ?3? ? 10 ? 6a ; (2)当 a ? 2 时, f ? x ?max ? f ?1? ? 2 ? 2a 。 2.本题若修改为求函数的最值,讨论又该怎样进行?
6

解: (1)当 a ? 1 时, f ? x ?max ? f ?3? ? 10 ? 6a , f ? x ?min ? f ?1? ? 2 ? 2a ; (2)当 1 ? a ? 2 时, f ? x ?max ? f ?3? ? 10 ? 6a , f ? x ?min ? f ? a ? ? 1 ? a2 ; (3)当 2 ? a ? 3 时, f ? x ?max ? f ?1? ? 2 ? 2a , f ? x ?min ? f ? a ? ? 1 ? a2 ; (4)当 a ? 3 时, f ? x ?max ? f ?1? ? 2 ? 2a , f ? x ?min ? f ?3? ? 10 ? 6a 。 例 3、求函数 y ? x2 ? 4x ? 3 在区间 ?t, t ?1? 上的最小值。 解:对称轴 x0 ? 2 (1)当 2 ? t 即 t ? 2 时, ymin ? f ?t ? ? t 2 ? 4t ? 3 ; (2)当 t ? 2 ? t ? 1 即 1 ? t ? 2 时, ymin ? f ? 2? ? ?1 ; (3)当 2 ? t ? 1 即 t ? 1 时, ymin ? f ?t ? 1? ? t 2 ? 2t 例 4、讨论函数 f ? x ? ? x2 ? x ? a ? 1的最小值。 解: f ? x ? ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ?

? x 2 ? x ? a ? 1, x ? a ,这个函数是一个分段函数,由于上下两段上的对称轴分别为直线 2 x ? a x ? x ? a ? 1, ?

1 1 1 1 1 1 x ? ? , x ? ,当 a ? ? , ? ? a ? , a ? 时原函数的图象分别如下(1) , (2) , (3) 2 2 2 2 2 2

因此, (1)当 a ? ?

1 1 1 ? 1? 3 2 时, f ? x ?min ? f ? ? ? ? ? a ; (2)当 ? ? a ? 时, f ? x ?min ? f ? a ? ? a ? 1 ; 2 2 2 ? 2? 4

(3)当 a ?

1 ?1? 3 时, f ? x ?min ? f ? ? ? ? a 2 ?2? 4

以上内容是自己研究整理,有什么错误的地方,欢迎各位指正,不胜感激!

7


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