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2014届高三新课标理科数学一轮复习课件 第三章第二讲对数式与对数函数


第2讲

对数式与对数函数
考纲研读 1.能进行指数式与对数式的互化, 能根据运算法则、换底公式进行运 算. 2.能利用对数函数的单调性比较 大小、解对数不等式,会解对数方 程,利用图象判断解的个数. 3.反函数的概念仅限于指数函数 与对数函数之间. 4.会求与不等式相结合的代数式 的最值或参数的取值范围.

考纲要求 1.理解对

数的概念及其运算性质, 知道用换底公式能将一般对数转 化成自然对数或常用对数;了解对 数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念;理解对 数函数的单调性,掌握函数图象通 过的特殊点. 3.了解指数函数 y=a 与对数函 数 y=logax 互为反函数(a>0, a≠1).
x

1.对数的概念 (1)如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数,

记作 x=logaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数.
(2)对数恒等式:loga1=0,logaa=1, a loga N N. = (3)以 10 为底的对数叫做常用对数,记作 lgN;以 e 为底的对 数叫做自然对数,记作 lnN.

2.对数的运算性质
如果 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 logaM+logaN (1)loga(MN)=_______________. n· aM log (2)logaMn=__________(n∈R).

M logaM-logaN (3)loga N =_______________.
3.换底公式 logaN logab (1)logbN=_______(a,b>0,a,b≠1,N>0). 1 (2)logba· ab=____(a>0,a≠1,b>0) log m log an bm =_______(a>0,a≠1,b>0). n logab

4.对数函数的图象及性质

y=logax(a>1)

y=logax(0<a<1)

图象

定义域 值域 性质

(0,+∞) R 过定点(1,0),即当 x=1 时,y=0 x∈(0,1)时 y<0, x∈(0,1)时 y>0, x∈(1,+∞)时 y>0 x∈(1,+∞)时 y<0 增 在(0,+∞)上是单调递____ 在(0,+∞)上是单调递___ 减

5.指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图
象关于直线 y=x 对称.

1.log2 2的值为( D ) A.- 2 B. 2 1 C.-2
2

1 D.2

2.已知 log 1 b< log 1 a< log 1 c,则( A )
2 2

A.2b>2a>2c C.2c>2b>2a

B.2a>2b>2c D.2c>2a>2b

3.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,且

f(2)=1,则 f(x)=( A )
A.log2x 1 B.2x C. log 1 x
2

D.2x-2

4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( C )

A.e =1 与 ln1=0 C.log39=2 与 9 =3
1 2

0

1 1 1 B.8 =2与 log82=-3
?

1 3

D.log77=1 与 71=7

9 5.(2011 年广东清远一模)若 log2(a+2)=2,则 3a=___.

2b+1-a 2a+b 例1:①已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示log1245=_________.

考点1

对数式的运算

lg45 2lg3+lg5 2b+1-a 解析:log1245=lg12= = . 2lg2+lg3 2a+b

②(2010年四川)2log510+log50.25=( C ) A.0 B.1 C.2 D.4 解析:2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2.故选C.

1 1 ③(2010 年辽宁)设 2 =5 =m,且a+b=2,则 m=( A )
a b

A. 10

B.10

C.20

D.100

1 1 解析:a+b=logm2+logm5=logm10=2,∴m2=10, 又∵m>0,∴m= 10,故选 A.

(1)题应设法对数换底公式将 log1245 换成以常用
对数,并且设法将12 与45 转化为2,3 来表示;(2)题直接利用对 数的运算法则;(3)题考查指数式与对数式的互化及换底公式的变 1 形形式 logab= .对数的运算法则及换底公式是对数运算的基 logba

础,应该熟记并能灵活应用.

【互动探究】

4 3 1.(1)已知 a =9(a>0),则 log 2 a=____;
1 1 1 3 (2)若 2.5x=1 000,0.25y=1 000,则x-y=___.
3 3 ?? 2 ? 2 ? ?2? ?2? 解析:(1) (a ) ? ?? ? ? ? a ? ? ? ? log 2 a= log 2 ? ? =3. ?3? ?? 3 ? ? 3 3?3? ? ? (2)x=log2.51 000,y=log0.251 000, 1 1 1 1 ∴x -y=log 1 000-log 1 000 2.5 0.25 2.5 1 =log1 0002.5-log1 0000.25=log1 0000.25=log1 00010=3.
3

2 3

2 3 3 2

3 2

考点2

对数函数的图象
D )

例2:已知 loga2<logb2,则不可能成立的是( A.a>b>1 B.b>1>a>0 C.0<b<a<1

D.b>a>1

解析:(1)令y1=logax,y2=logbx,由于loga2<logb2,它们的 函数图象可能有如下三种情况,由图D5(1)、(2)、(3),分别得

0<a<1<b,a>b>1,0<b<a<1.

图D5

【互动探究】 2.如果函数 y=a-x(a>0,a≠1)是增函数,那么函数 f(x)=

loga

1 的图象大致是( D ) x+1

3.已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=f(x-1),且当 x∈ [-1,1]时,f(x)=x2,则方程 y=f(x)与 y=log5x 的实根个数为( C )
A.2 B.3 C.4 D.5

解析:由f(x+1)=f(x-1)知函数y=f(x)的周期为2,作出其图 象如图D6,当x=5时,f(x)=1,log5x=1;当x>5时,f(x)∈[0,1],

log5x>1,y=f(x)与y=log5x的图象不再有交点,故选C.

图D6

考点3
=-2x+1. (1)求 f(x)的解析式;

对数函数性质及其应用

例3:①已知 y=f(x)是二次函数,且 f(0)=8 及 f(x+1)-f(x)

(2)求函数 y=log3f(x)的单调递减区间及值域. 解析:(1)设f(x)=ax2+bx+c, 由f(0)=8得c=8. 由f(x+1)-f(x)=-2x+1得a=-1,b=2. ∴f(x)=-x2+2x+8. (2)y=log3f(x)=log3(-x2+2x+8)=log3[-(x-1)2+9] 当-x2+2x+8>0时,-2<x<4, 单调递减区间为(1,4),值域(-∞,2].

②设 a 为常数,试讨论方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实 根的个数.

x-1>0, ? 3-x>0, 解析:原方程等价于 ? a-x>0, ? (x-1)(3-x)=a-x, a=-x2+5x-3, 即? ? ?1<x<3.
构造函数y=-x2+5x-3(1<x<3)和y=a,

作出它们的图象,如图3-2-1. 易知平行于 x 轴的直线与抛物线的交点情况:

13 ①当 1<a≤3 或 a= 4 时,原方程有一解; 13 ②当 3<a< 4 时,原方程有两解; 13 ③当 a≤1 或 a> 4 时,原方程无解.
图3-2-1

【互动探究】

1 4.设函数 f(x)是函数 g(x)=2x的反函数,则 f(4-x2)的单调递
增区间为( C )
A.[0,+∞) B.(-∞,0]

C.[0,2)
D.(-2,0]

5.关于 x 的方程 lg(ax-1)-lg(x-3)=1 有解,则 a 的取值范 1 <a<10 围是____________. 3

ax-1 解析:显然有 x>3,原方程可化为 =10, x-3 29 29 故有(10-a)· x=29,x= >3,即 -3>0. 10-a 10-a 3a-1 1 化简得 <0,解得3<a<10. a-10

1.比较两个对数的大小的基本方法 (1)若底数相同,真数不同,可构造相应的对数函数,利用其 单调性比较大小. (2)若真数相同,底数不同,则可借助函数图象,利用图象在 直线 x=1 右侧“底大图低”的特点比较大小. (3)若底数、真数均不相同,则经常借助中间值“0”或“1”比较 大小. 2.解决对数函数的相关问题时,一定要重视图象的应用.

对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、 积,要注意公式应用的条件为 M>0,N>0;在讨论对数函数的性 质时,应注意定义域及底数的范围,必须时刻注意底数 a>0 且

a≠1,若不清楚其取值范围时,应树立分类讨论的数学思想,分
a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论.


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