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第3章 导数与微分
3.1 导数概念
一、 引例
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

二、导数的定义

三、 导数的几何意义

四、 函数的可导性与连续性的关系 五、 单侧导数

4

1

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导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 微积分学的创始人:

英国数学家 Newton
德国数学家 Leibniz 微分学

导数
微分

描述函数变化快慢
描述函数变化程度
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都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)

一、 引例
1. 变速直线运动的速度

设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为

而在 时刻的瞬时速度为

f (t ) ? f (t0 ) v? t ? t0

自由落体运动
2 s?1 g t 2

f (t ) ? f (t0 ) v ? lim t ? t0 t ?t0

o

f (t0 )

f (t )

t0

t
Page 3

s

2. 曲线的切线斜率 曲线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 切线 MT 的斜率

y

y ? f ( x) N

C

M

T

o ? ? x0

x x

? lim tan ?

f ( x) ? f ( x0 ) 割线 M N 的斜率 tan ? ? x ? x0
k ? lim
x ? x0

???

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

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瞬时速度

o
y

f (t0 )

f (t )

t0

t

s

y ? f ( x)

切线斜率
两个问题的共性:

N
C

M

T

所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 线密度 是质量增量与长度增量之比的极限 电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限

o ? ? x0

x x

变 化 率 问 题
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???

二、导数的定义
定义1 . 设函数 若 在点

的某邻域内有定义 ,

f ( x ) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim x ? x0 x ? x0 ? x ?0 ? x

?y ? f ( x) ? f ( x0 ) ? x ? x ? x0

存在, 则称函数 在点

在点

处可导, 并称此极限为

即

的导数. 记作: d y d f ( x ) ? y x ? x0 ; f ?( x0 ) ; ; d x x ? x0 d x x ? x0 y ? x ? x0 ? f ?( x0 ) ? lim ?y ? x ?0 ? x
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运动质点的位置函数 s ? f (t )
在 t 0 时刻的瞬时速度
o

f (t0 )

f (t )

t0

t

s

? f ?(t0 )
曲线 C : y ? f ( x) 在 M 点处的切线斜率
y
y ? f ( x)

N

? f ?( x0 )
说明: 在经济学中, 边际成本率,

C

M
x0

T

o ?

x x

边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数 . Page 7

?y ? f ( x) ? f ( x0 ) ? x ? x ? x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导. 若 lim ?y ? ? , 也称 在 的导数为无穷大 . ? x ?0 ? x 若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导. 此时导数值构成的新函数称为导函数. d y d f ( x) . ; 记作: y ? ; f ?( x ) ; dx dx 注意:

f ?( x0 ) ? f ?( x) x ? x0

?

d f ( x0 ) dx

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(C 为常数) 的导数. f ( x ? ? x ) ? f ( x ) ? y ? lim 解: ? x ?0 ?x 即 例2. 求函数 解:

例1. 求函数

f ( x) ? f (a) x ?a ? lim ? lim x? a x? a x ? a x?a

n

n

? lim ( x
x? a

n ?1

?ax

n?2

?a x

2 n ?3

? ? ? a n ?1 )
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说明：

对一般幂函数 y ? x ? ( ? 为常数)

( x ? )? ? ? x ? ?1
( x )? ? 例如，
1 ( x 2 )?

（以后将证明）

?

1 ? 1x 2 ? 1 2 2 x

?
(

1 ? ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ( x )? ? ? x ? 2 x x
1 x x
3 7 ? ? ?3 4 4 )? ? ( x )? ? x

4

Page 10

例3. 求函数 解: 则

的导数.

f ( x ? h) ? f ( x ) sin( x ? h) ? sin x ? lim ? lim h ?0 h ?0 h h h ? lim 2 cos( x ? ) 2 h ?0 h ? lim cos( x ? ) h ?0 2
即
类似可证得

? cos x

(sin x)? ? cos x (cos x)? ? ? sin x
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例4. 求函数 解:

的导数.

1 h ? lim ? ln ( 1 ? ) 或 h ?0 h x x 1 1 h h x ? lim ln ? (1 ? ) ? h ?0 x
h lim ln (1 ? ) h ?0 x 1 (ln x)? ? x

ln( x ? h) ? ln x f ( x ? h) ? f ( x ) ? lim ? lim h ?0 h h ?0 h 1 h ? lim ? h ?0 h x

ln e

即

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例5. 证明函数

在 x = 0 不可导.

f (0 ? h) ? f (0) h ? 1 , h ? 0 证: ? ?? ? h ? ?1 , h ? 0 h f (0 ? h) ? f (0) ? lim 不存在 , h ?0 h
f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) . 例6. 设 存在, 求极限 lim h ?0 2h 是否可按下述方法作: f ( x ) (x ) f ( x0 ?hf)(? x0f ? h 0 0) 0 )? ? ? 解: 原式 ? lim ? 令 t ? xh ? h , 则 0?0 2? hh) 2( 原式 ? 1 f ?( x ) ? 1 f ?( x ) ? f ?( x0 ) 0 0 2 2 Page 13

?

例7. 设 求 解: 因为

存在, 且

1 f (1 ? (? x)) ? f (1) ? lim 2 x ?0 (? x)

所以

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三、 导数的几何意义
曲线 若 若 若 若 在点

y

y ? f ( x)

的切线斜率为 上升; 下降;

tan ? ? f ?( x0 )
曲线过 曲线过

C

M
x0

T

o ? y

x

切线与 x 轴平行,

称为驻点;
o

( x0 , y0 )
x0

切线与 x 轴垂直 .
曲线在点 处的
o

y
x0

? x

切线方程:
法线方程:

x
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( f ?( x0 ) ? 0 )

例8. 问曲线 的切线与直线 解:

哪一点有垂直切线 ? 哪一点处 平行 ? 写出其切线方程.

1 ?2 ? x 3 3

? y? x ?0 ? ? ,

故在原点 (0 , 0) 有垂直切线 1 1 1 令 3 2 ? , 得 x ? ?1 , 对应 y ? ?1 , 3 x 3 则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线
1 ?1

平行的切线方程分别为 即

1 ?1
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四、 函数的可导性与连续性的关系
定理1. 证: 设 存在 , 因此必有
其中 在点 x 处可导, 即

故
所以函数 反例: 在点 x 连续 .

?x ? 0
y? x

y
o
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注意: 函数在点 x 连续未必可导.
在 x = 0 处连续 , 但不可导.

x

例9. 设

在

处连续, 且
处可导.

存在，

证明: 在 证：因为

则有 存在，

又 f ( x) 在 x ? 0 处连续, 故
所以 即

f ( x) f ( x) ? f (0) ? f ?(0) lim ? lim x ?0 x x ?0 x
在 处可导.
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五、 单侧导数
定义2 . 设函数 有定义, 若极限
(? x ? 0 )
?

在点

的某个右 (左) 邻域内

(? x ? 0 )

?

x0
在 处的右 (左) 导数, 记作

存在, 则称此极限值为

? ( x0 ) ( f ? f? ? ( x0 ))
即

? ( x0 ) ? f?
?

?

y? x

y
o
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例如, f ( x) ? x 在 x = 0 处有

x

定理2. 函数 是
简写为 定理3. 函数 在点

在点 且

可导的充分必要条件

f ?( x 0 ) 存在
在点

f ??( x0 )
处右 (左) 导数存在
内可导, 且 上可导.

必 右 (左) 连续. 在开区间 在闭区间

若函数 都存在 , 则称 显然:

与 f ??(b)

在闭区间 [a , b] 上可导

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内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限; f ?? ( x0 ) ? f ??( x0 ) ? a 2. f ?( x0 ) ? a
3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 :

(C )? ? 0 ;

1 (ln x)? ? x (cos x)? ? ? sin x ;

不连续, 一定不可导. 6. 判断可导性 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等.

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思考与练习
1. 函数 在某点 处的导数 与导函数

有什么区别与联系 ?
区别:

f ?( x) 是函数 , f ?( x0 ) 是数值;
f ?( x) x ? x0 ? f ?( x0 )
？ ? f ( x0 ) ? [ f ( x0 ) ]?
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联系: 注意:

2. 设

存在 , 则 f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? f ?( x ) lim ? ________ 0 . h ?0 h

3. 已知 4. 若 可导? 解: 由题设 时, 恒有

则 问

k0
是否在

故

在

可导, 且 由夹逼准则
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5. 设 都存在 , 并求出

, 问 a 取何值时,

在

解: 显然该函数在 x = 0 连续 .

sin x ? 0 ? (0) ? lim ? f? ?1 x?0 x? 0 ax ? 0 ? (0) ? lim ? ?a f? x? 0 x ? 0 在 故 a ?1 时 此时

都存在,

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牛顿(1642 – 1727)
伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文 学家和自然科学家. 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分. 1665年他提出正 流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术, 并于1671 年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736年出版). 他

还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 .

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莱布尼兹(1646 – 1716)
德国数学家, 哲学家. 他和牛顿同为 微积分的创始人 , 他在《学艺》杂志 上发表的几篇有关微积分学的论文中,

有的早于牛顿,

所用微积分符号也远远优于牛顿 .

他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计 数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 .

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