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2015届山东省菏泽市高三第二次模拟考试 数学(理)


2015 届山东省菏泽市高三第二次模拟考试

数 学 (理 )
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 共 4 页.满分 150 分,考 试时间 120 分钟. 考试结束,将试卷答题卡交上,试题不交回.

第Ⅰ 卷
注意事项:

选择题(共 50 分)

1.答卷前,

考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内,超出该区域的答案无效. 一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
1 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | ( ) x ? 2} 和 B ? { y | y ? lg( x 2 ? 1)} ,则 ( 2
A) B?

A. {x | x ? ?1 或 x ? 0} C. {x | x ? 0}

B. {( x, y ) | x ? ?1, y ? 0} D. {x | x ? ?1}

2.已知 i 是虚数单位,若 z (1 ? 3i ) ? i ,则 z 的虚部为 A.
1 10

B. ?

1 10

C.

i 10

D. ?

i 10

3.设 x, y 是两个实数,命题“ x, y 中至少有一个数大于 1 ”成立的充分不必要条件是 A. x ? y ? 2 C. x 2 ? y 2 ? 2 B. x ? y ? 2 D. xy ? 1

4.已知数列 ?an ?中,a1 ? 1, an ?1 ? an ? n ,若利用如图所示 的程序框图计算该数列的第 10 项,则判断框内的条件是 A. n ? 8? B. n ? 9? C. n ? 10? D. n ? 11?

5 .已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与直线 a 2 b2

x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直,则双曲线的离心率等于

A. 6

B.

2 3 3

C. 10

D. 3
1 , 将其图象向左平移 m(m ? 0) 个 sin x

6.定义:

a1

a2

a3 a 4

? a1 a 4 ? a 2 a 3 ,若函数 f ( x) ? 3

cos x

单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A.
?
3

B. ?

2 3

C.

?
6

D. ?

5 6

?3x , (x ? 1), ? 7.已知函数 f ( x) ? ?log x, ( x ? 1), ,则 y ? f (2 ? x) 的大致图象是 1 ? ? 3

8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的是 A. C.
47 6
15 2

B.

23 3

D.7

?x ? y ? 1 ? 0 ? 9.若实数 x, y 满足的约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,将一颗骰子投掷两次 ?y ?1 ? 0 ?
得到的点数分别为 a, b ,则函数 z ? 2ax ? by 在点 (2,?1) 处取得最大值的概率为 A.
1 5

B.

2 5

C.

1 6

D.

5 6

10.已知 M 是△ABC 内的一点(不含边界) ,且 AB MAB,△MCA 的面积分别为 x, y, z ,记 f ( x, y, z ) ? A. 26 B. 32

AC ? 2 3 ?BAC ? 30? 若△MBC,△

1 4 9 ? ? ,则 f ( x, y, z ) 的最小值为 x y z

C. 36

D. 48

第Ⅱ 卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11 .已知向量 a、 b ,其中 a ? __________ 12.在各项为正数的等比数列 ?an ? 中,若 a6 ? a5 ? 2a4 ,则公比 q ? 13. 采用系统抽样方法从 600 人中抽取 50 人做问卷调查, 为此将他们随机编号为 001, 002,
, 600 ,

(a ? b) ? a ,则向量 a 和 b 的夹角是 2 , b ? 2 ,且

分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为 003, 抽到的 50 人中, 编号落入区间 [001,300]的人做问卷 A,编号落入区间[301,495]的人做问卷 B,编号落入区间[496,60] 的人做问卷 C,则抽到的人中,做问卷 C 的人数为 .

14. 已知对于任意的 x ? R , 不等式 x ? 3 ? x ? a ? 5 恒成立, 则实数 a 的取值范围是________. 15.已知函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ?
1 ,且 f ( x) 是偶函数,当 x ? [?1, 0] 时, f ( x) ? x 2 , f ( x)

若在区间 [?1,3] 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? log a ( x ? 2) 有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且
2cos2 A? B 3 cos B ? sin( A ? B)sin B ? cos( A ? C) ? ? . 2 5

(Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影. 17. (本小题满分 12 分) 某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响. 已知学生小张只 选甲的概率为 0.08,只选修甲和乙的概率是 0.12,至少选修一门的概率是 0.88 ,用

? 表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
(Ⅰ)求学生小张选修甲的概率; (Ⅱ)记“函数 f(x)=x2+ ? x 为 R 上的偶函数”为事件 A,求事件 A 的概率; (Ⅲ)求 ? 的分布列和数学期望; 18. (本小题满分 12 分)
1 在如图 1 所示的等腰梯形 ABCD 中, AB∥CD, 且 AB=AD=BC= CD=a, E 为 CD 中点. 若 2

沿 AE 将三角形 DAE 折起,使平面 DAE⊥平面 ABCE,连结 DB,DC,得到如图 2 所示 的几何体 D-ABCE,在图 2 中解答以下问 题: (Ⅰ)设 F 为 AB 中点,求证:DF⊥AC; (Ⅱ)求二面角 A-BD-C 的正弦值.

19. (本小题满分 12 分)

设 S n 是数列 {an } ( n ? N * )的前 n 项和,已知 a1 ? 4 , an ?1 ? Sn ? 3n ,设 bn ? Sn ? 3n . (Ⅰ)证明:数列 {bn } 是等比数列,并求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ? 2log 2 bn ? 20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R) . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? (Ⅲ)若 g ( x) ? ?
1? a ,求函数 h( x) 的单调区间; x
n ? 2 ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn bn

1? a ,在 [1, e](e ? 2.71828?) 上存在一点 x 0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, x

求 a 的取值范围. 21. (本小题满分 14 分) 已 知 椭 圆 C1 :
x2 y 2 3 3 ? ? 1,(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 e ? , 且 过 点 ( 1, ). 抛 物 线 a 2 b2 2 2

1 C2 : x2 ? ?2 p y , ( p? 0 ) (0, ? ) . 的焦点坐标为 2

(Ⅰ)求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程; (Ⅱ)若点 M 是直线 l: 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上的动点,过点 M 作抛 物线 C2 的两条切线,切点分别为 A,B,直线 AB 交椭 圆 C1 于 P,Q 两点. i)求证直线 AB 过定点,并求出该定点坐标; ii)当△OPQ 的面积取最大值时,求直线 AB 的方程.

高三第二次质量检测

理科数学参考答案
一、选择题:1-5 CABBC 二、填空题:11. 三、解答题: 6-10 BAADC 13.8
-2? 14. ? -?, ? ?? ?8,

? 4

12.2

15. ?5, ? ??

..............................

6分

..............................

8分

.............................. .............................. 17.解: (Ⅰ)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为 x、y、z;依题意得
1z ? ) 0.08 ? x ( 1? y ) (? ? ( 1? z ) ? 0.12 ?x y ?1 ? ( 1 ? x )? ( 1y ?) (z1 ? ) ? ? x ? 0.4 ? 解得 ? y ? 0.6 0.88 ? ? z ? 0.5

10 分 12 分

所以学生小张选修甲的概率为 0.4

………………………………….4 分

(Ⅱ)若函数 f ( x) ? x 2 ? ?x 为 R 上的偶函数,则 ? =0

? P( A) ? P(? ? 0) ? xyz ? (1 ? x)(1 ? y )(1 ? z ) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? (1 ? 0.4)(1 ? 0.5)(1 ? 0.6) ? 0.24
∴事件 A 的概率为 0.24 (Ⅲ)依题意知 ? ? 0, 2 , ………………………………………… 8 分 则 ? 的分布列为

∴ ? 的数学期望为 E? ? 0 ? 0.24 ? 2 ? 0.76 ? 1.52 18.证明: (Ⅰ)取 AE 中点 H,连结 HF,连结 EB,

……………………12 分

因为△DAE 为等边三角形,所以 DH⊥AE ,因为平面 DAE⊥平面 ABCE,

所以 DH⊥平面 ABCE, AC ? 平面 ABCE , 所以 AC⊥DH,因为 ABCE 为平行四边形,CE=BC=a, 所以,ABCE 为菱形,AC⊥BE, 因为 H、F 分别为 AE、AB 中点,所以 GH∥BE, 所以 AC⊥HF;因为 HF ? 平面 DHF,DH ? 平面 DHF,且 HF
DH ? H ,

所以 AC⊥平面 DHF,又 DF ? 平面 DHF,所以 DF⊥AC。………………… 5 分

(Ⅱ)连结 BH , EB 由题意得三角形 ABE 为等边三角形,所以, BH ? AE ,由(Ⅰ)知
DH ? 底面 ABCE ,以 H 为原点,分别以 HA, HB , HD 所在直线为 x, y , z 轴

建立空间直角坐标系,如图所示:

…………………………………

6分

a 3 3 3 则 A( ,0,0), B(0, a,0), D(0,0, a), C(?a, a,0) , 2 2 2 2

所以, BD ? (0, ?

3 3 a, a) , BC ? (?a, 0, 0) ,设面 DCB 的法向量为 m ? ( x, y, z ) , 2 2

?ax ? 0 ? ? 则? 3 ,不妨设 m ? (0,1,1) , 3 ay ? az ? 0 ?? ? 2 2

…………………………

8分

? x? ? 3z ? ? 0 a 3 ? 设面 DAB 的法向量 n ? ( x?, y?, z?) ,又 DA ? ( ,0, ? a) ,则 ? , 2 2 ? ? y? ? z? ? 0

取 n ? (1,

3 3 , ), 3 3

……………………………………………………………
m?n ?
15 10 ,所以二面角 A ? BD ? C 的正弦值为 。…… 5 5

10 分 12 分

所以 cos ? m, n ??

|m|?| n|

19.解: (Ⅰ)因为 an ?1 ? Sn ? 3n ,所以 S n?1?S n ? S n ? 3n , 即 S n?1? 2S n ? 3n ,则 S n?1?3n?1 ? 2S n ? 3n ? 3n?1 ? 2(S n ? 3n ) , 所以 b n?1 ? 2bn ,又 b1 ? S1 ? 3 ? a1 ? 3 ? 1 ,所以 ?bn ? 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数 列。 故数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 2
n ?1

。…………………………… 5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得: cn ? 2 log2 bn ?

n n ? 2 ? 2n ? n?1 ,………………… 6 分 bn 2

设 M ? 1? 则

2 3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ………………① 2 2 2 2 2

1 1 2 3 4 n ?1 n M ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ……………②……………………8 分 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 n 1 n M ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 ? n ?1 ? n ,… … 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2
n?2

①-② 得 : 分

所以 M ? 4 ? 分

?

n 2
n ?1

? 4?

2?n n?2 ,所以 Tn ? n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 。………… 12 n ?1 2 2
……1 分 ……3 分

20.解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? 2 ln x , f (1) ? 1 ,切点 (1,1) ,

? f ' ( x) ? 1 ?

2 ' ,? k ? f (1) ? 1 ? 2 ? ?1 , x

? 曲线 f ( x) 在点 ?1,1? 处的切线方程为: y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0 . ……4
分 (Ⅱ) h( x) ? x ? a ln x ?

1? a ,定义域为 (0,??) , x
……5 分

h ' ( x) ? 1 ?

a 1 ? a x 2 ? ax ? (1 ? a ) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a )] ? 2 ? ? x x x2 x2
'

①当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,令 h ( x) ? 0 ,? x ? 0,? x ? 1 ? a 令 h ( x) ? 0 ,? x ? 0,? 0 ? x ? 1 ? a
'

……6 分 ……7 分

②当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, h ( x) ? 0 恒成立,
'

综上:当 a ? ?1 时, h( x) 在 (0, a ? 1) 上单调递减,在 (a ? 1,??) 上单调递增. 当 a ? ?1 时, h( x) 在 (0,??) 上单调递增. ……8 分

(Ⅲ)由题意可知,在 [1, e] 上存在一点 x 0 ,使得 f ( x 0 ) ? g ( x 0 ) 成立, 即在 [1, e] 上存在一点 x 0 ,使得 h( x 0 ) ? 0 , 即函数 h( x) ? x ? a ln x ?

1? a 在 [1, e] 上的最小值 [h( x)] min ? 0 .… x

…9 分

由第(Ⅱ)问,①当 a ? 1 ? e ,即 a ? e ? 1 时, h( x) 在 [1, e] 上单调递减,

? [h( x)]min ? h(e) ? e ?

e2 ? 1 1? a , ? a ? 0 ,? a ? e ?1 e
……10 分

?

e2 ? 1 e2 ? 1 ? e ? 1 ,? a ? ; e ?1 e ?1

②当 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 0 时, h( x) 在 [1, e] 上单调递增,

? [h( x)]min ? h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 ,? a ? ?2
③当 1 ? a ? 1 ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时,

……11 分

? [h( x)]min ? h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 0
? 0 ? ln(1 ? a ) ? 1 ,? 0 ? a ln(1 ? a ) ? a ,? h(1 ? a ) ? 2
此时不存在 x 0 使 h( x 0 ) ? 0 成立. 综上可得所求 a 的范围是: a ? 21.解: (I)由于椭圆 C1 中, e ? ……12 分

e2 ? 1 或 a ? ?2 .………………13 分 e ?1

x2 3 3 ,则设其方程为 ? y 2 ? ? ? 0 ,由于点 (1, ) 在 4 2 2
p 1 x2 ? , ? y 2 ? 1.对抛物线 C2 中, 2 2 4

椭圆上,故代入得 ? ? 1 .故椭圆 C1 的方程为 故 p ? 1 ,从而椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1,抛物线 C2 的方程为 x2 ? ?2 y .------4 分 4
, 则切线 MA 的

,y 1) ,B ( x ,2y )2 i)设点 M ( x0 , y0 ) , (II) 且满足 2x0 ? 4 y0 ? 3 ? 0 , 点 A(x 1
斜率为 ? x1 , 从而 MA 的方程为 y ? ? x1 ( x ? x1 ) ? y1 , 考虑到 y1 ? ?

x12 , 则切线 MA 的 2

方程为 x1 x ? y ? y1 ? 0 ,同理切线 MB 的方程为 x2 x ? y ? y2 ? 0 ,----5 分 由于切线 MA,MB 同过点 M,从而有 ?

? x2 x0 ? y0 ? y2 ? 0 ,由此点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ? x2 x0 ? y0 ? y2 ? 0

在直线 x0 x ? y ? y0 ? 0 上.又点 M 在直线 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上,则 2x0 ? 4 y0 ? 3 ? 0 , -6 分 故直线 AB 的方程为 (4 y0 ? 3) x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ,即 y0 (4x ? 2) ? (2y ? 3x ) ? 0,显然 直线 AB 过定点 ( ?

1 3 , ? ) .-------8 分 2 4

ii)设 P( x3 , y3 ), Q( x4 , y4 ) ,考虑到直线 AB 的方程为 x0 x ? y ? y0 ? 0 ,则联立方程

? x2 ? y2 ? 1 ? 2 2 2 ,消去 y 并简化得 (1 ? 4x0 ) x ? 8x0 y0 x ? 4 y0 ? 4 ? 0 ,-----9 分 ? 4 ?x x ? y ? y ? 0 0 ? 0
2 2 ? ? 16(4 x0 ? y0 ? 1) ? 0 , x3 ? x4 ? ?
2 8 x0 y0 4 y0 ?4 x x ? -------10 分 , 3 4 2 2 4 x0 ?1 4 x0 ?1

2 2 2 | x3 ? x4 |? 1 ? k PQ ? ( x3 ? x4 ) 2 ? 4 x3 x4 ? 1 ? x0 从而 | PQ |? 1 ? k PQ

2 2 16(4 x0 ? y0 ? 1) , --11 2 1 ? 4 x0

分 点 O 到 PQ 的距离 d ?

| y0 |
2 1 ? x0



2 2 16(4 x0 ? y0 ? 1) | y0 | 1 1 2 ? 从而 S?OPQ ? ? | PQ | ?d ? ? 1 ? x0 2 2 2 2 1 ? 4 x0 1 ? x0
2 2 2 2 2 2 y0 ? (4 x0 ? y0 ? 1) y0 ? (4 x0 ? y0 ? 1) ? ? 1 ,-----12 分 2 2 1 ? 4 x0 1 ? 4 x0

?2

2 2 2 2 2 ? 2 x0 ? 当且仅当 y0 ? 4 x0 ? y0 ? 1 ,即 y0

1 2

2 2 2 又由于 2 x0 ? 4 y0 ? 3 ? 0 ,从而消去 x0 得 2 y0 ? (4 y0 ? 3) ? 1 ,即 7 y0 ? 12 y0 ? 5 ? 0 ,从而求

1 ? 1 x ?? ? ? ? 0 5 ? x0 ? 14 2 或? 得 y0 ? 1或y0 ? ,从而 ? ,从而所求的直线为 7 ? y ?5 ? y ? 1 ? 0 ? 0 7 ?
x ? 2 y ? 2 ? 0 或 x ? 14 y ? 10 ? 0 ……………………………………………………14 分


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