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湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 1.1.1正弦定理导学案(含解析)新人教版必修5


第一章 第 1.1.1 节 :正弦定理
A.学习目标 让学生从已有的知识经验出发, 通过对特殊三角形边角间数量关系的探求, 发现正弦定 理;再由特殊到一般,从定性到定量,探究在任意三角形中,边与其对应角的关系,引导学 生通过观察、猜想、比较推、导正弦定理,由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考 能力;培养学生联想与引申的能力,探索的精神与创新的意识,同事通过三角函数

,向量与 正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义 观点。 B.学习重点、难点 重点:正弦定理的探索、证明及基本应用; 难点:正弦定理应用中“已知两角和其中一边的对角解三角形,判断解的个数” ,以及 逻辑思维能力的培养。 C.学法指导 通过对特殊三角形边角间数量关系的探求,发现正弦定理;再由特殊到一般,从定性到 定量,探究在任意三角形中,边与其对应角的关系,引导学生通过观察、猜想、比较推、导 正弦定理,由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力。 D.知识链接 本节内容安排在第一章正弦定理第一课时, 是在学生学习了三角等知识之后, 显然是对 三角知识的应用; 同时作为三角形中的一个定理, 也是对初中解直角三角形内容的直接延伸。 E.自主学习 [提出问题] 如图,在 Rt△ABC 中,A=30°,斜边 c=2, 问题 1:△ABC 的其他边和角为多少? 提示:∠B=60°,∠C=90°,a=1,b= 3. 问题 2:试计算 , , 的值,三者有何关系? sin A sin B sin C 提示:

a

b

c

a b 3 c =2, = =2, =2,三者的值相等. sin A sin B sin 60° sin C

问题 3:对于任意的直角三角形是否也有类似的结论?

提示:是.如图 sin A= ,

a c



=c.sin B= ,∴ =c. sin A c sin B = = . sin A sin B sin C

a

b

b

∵sin C=1,∴

a

b

c

问题 4:在钝角△ABC 中,B=C=30°,b= 3,试求其他边和角. 提示:如图,△ACD 为直角三角形,∠C=30°

AC= 3,则 AD=

3 3 ,CD= , 2 2

BC=3 .AB= 3,∠BAC=120°.
问题 5:问题 4 中所得数字满足问题 3 中的结论吗? 提示:满足. 问题 6:若是锐角三角形上述结论还成立吗? 提示:都成立. [导入新知] 1.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即 = = . sin A sin B sin C

a

b

c

2.解三角形 一般地,把三角形的三个角 A、B、C 和它们的对边 a、b、c 叫做三角形的元素,已知三 角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. [化解疑难] 对正弦定理的理解 (1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式. (3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式, 它描述了三角形中边与角的一种数量关系. (4)主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.

F.合作探究 已知两角及一边解三角形

[例 1] 在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,C=75°,求 A,b,c. [解] A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.



= 得, sin B sin A

b

a

asin B 8×sin 60° a c b= = =4 6,由 = 得, sin A sin 45° sin A sin C
8× asin C 8×sin 75° c= = = sin A sin 45° 2+ 6 4 2 2

=4( 3+1).

∴A=45°,b=4 6,c=4( 3+1). [类题通法] 已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角. (2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边. 注意:若已知角不是特殊角时,往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并,即将非特 殊角转化为特殊角的和或差,如 75°=45°+30°),再根据上述思路求解. [活学活用] 1.在△ABC 中,已知 c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形. 解:∵A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°. 由 由

c csin A 10×sin 45° = 得 a= = =10 2. sin A sin C sin C sin 30° b c csin B 10×sin 105° = 得 b= = =20sin 75°, sin B sin C sin C sin 30°

a

∵sin 75°=sin (30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45° = 2+ 6 , 4 2+ 6 =5 2+5 6. 4 已知两边及一边的对角解三角形

∴b=20×

[例 2] 在△ABC 中,已知 c= 6,A=45°,a=2,解这个三角形. [解] ∵ = ,∴sin C= sin A sin C ∴C=60°或 C=120°. 当 C=60°时,B=75°,b=

a

c

csin A 6×sin 45° 3 = = , a 2 2

csin B 6sin 75° = = 3+1; sin C sin 60° csin B 6sin 15° = = 3-1. sin C sin 120°

当 C=120°时,B=15°,b=

∴b= 3+1,B=75°,C=60°或 b= 3-1,B=15°,C=120°. [类题通法] 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判 断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一. (3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦 值可求两个角,要分类讨论. [活学活用] 2.在△ABC 中,若 c= 6,C= 解:由 π ,a=2,求 A,B,b. 3

= ,得 sin A= sin A sin C

a

c

asin C 2 = . c 2

π 3 ∴A= 或 A= π . 4 4 又∵c>a,∴C>A, π ∴只能取 A= , 4 π π 5π csin B ∴B=π - - = ,b= 3 4 12 sin C 6·sin = π sin 3 5π 12

= 3+1.

判断三角形的形状 [例 3] 在△ABC 中,sin A=sin B+sin C,且 sin A=2sin B·cos C.试判断△ABC 的形状. [解] 由正弦定理,得 sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R ∵sin A=sin B+sin C, ∴? ? =? ? +? ? , ?2R? ?2R? ?2R? 即 a =b +c ,故 A=90°. ∴C=90°-B,cos C=sin B. ∴2sin B·cos C=2sin B=sin A=1. ∴sin B= 2 .∴B=45°或 B=135°(A+B=225°>180°,故舍去). 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a

b

c

? a ?2 ? b ?2 ? c ?2

∴△ABC 是等腰直角三角形. [类题通法] 1.判断三角形的形状,可以从考查三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手, 从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大 小,从而作出准确判断. 2.判断三角形的形状,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三 角形或锐角三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区 别. [活学活用] 3.在△ABC 中,若 b=acos C,试判断该三角形的形状. 解:∵b=acos C, = =2R.(2R 为△ABC 外接圆直径) sin A sin B ∴ sin B=sin A·cos C. ∵B=π -(A+C),∴sin (A+C)=sin A·cos C. 即 sin Acos C+cos Asin C=sin A·cos C, ∴cos Asin C=0, π ∵A、C∈(0,π ),∴cos A=0,∴A= , 2 ∴△ABC 为直角三角形.

a

b

1.警惕三角形中大边对大角 [典例] 在△ABC 中,已知 a=2 3,b=2,A=60°,则

B=________.
sin A sin 60° 1 [解析] 由正弦定理,得 sin B=b× =2× = .∵0°<B<180°,∴B a 2 2 3 =30°,或 B=150°.∵b<a,根据三角形中大边对 大角可知 B<A,∴B=150°不符合条 件,应舍去,∴B=30°. [答案] 30° [易错防范] 1 1.由 sin B= 得 B=30°,或 150°,而忽视 b=2<a=2 3,从而易出错. 2 2.在求出角的 正弦值后,要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍. [成功破障]

在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B, C 所对应的边,且 b=6,a=2 3,A=30°,求

ac 的值.
解:由正弦定理 = 得 sin A sin B sin B=

a

b

bsin A 6sin 30° 3 = = . a 2 2 3

由条件 b=6,a=2 3,b>a 知 B>A. ∴B=60°或 120°. (1)当 B=60°时,C=180°-A-B =180°-30°-60°=90°. 在 Rt△ABC 中,C=90°,a=2 3,b=6,c=4 3, ∴ac=2 3×4 3=24. (2)当 B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°, ∴A=C,则有 a=c=2 3. ∴ac=2 3×2 3=12.

G.课堂小结 由学生整理学习了哪些内容?有什么收获? H.达标检测 一、选择题 1.在△ABC 中,下列式子与 A. C. sin A 的值相等的是(

a

)

b c
sin C

B. D.

sin B sin A

c
sin C

c a

解析:选 C 由正弦定理得

c sin A sin C = ,所以 = . sin A sin C a c
)

2.(2013·浏阳高二检测)在△ABC 中,若 sin A>sin B,则 A 与 B 的大小关系为( A.A>B C.A≥B B.A<B D.A、B 的大小关系不确定

解析:选 A ∵sin A>sin B,∴2Rsin A>2Rsin B,即 a>b,故 A>B. 3. 一个三角形的两个角分别等于 120°和 45°, 若 45°角所对的边长是 4 6, 那么 120° 角所对边长是( )

A.4 C.4 3 解析: 选D

B.12 3 D.12

x 4 6 若设 120°角所对的边长为 x, 则由正弦定理可得: = , sin 120° sin 45°
4 6× 2 2 3 2

4 6·sin 120° 于是 x= = sin 45°

=12,故选 D.

4.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos A= 2a, 则 =(

2

b a

) B.2 2 D. 2
2 2

A.2 3 C. 3

解析:选 D 由正弦定理,得 sin Asin B+sin Bcos A= 2sin A, 即 sin B·(sin A+cos A)= 2sin A.
2 2

b sin B 所以 sin B= 2sin A.∴ = = 2. a sin A
5.以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是( A.在△ABC 中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC 中,若 sin 2A=sin 2B,则 a=b C.在△ABC 中,若 sin A>sin B,则 A >B,若 A>B,则 sin A>sin B 都成立 )

a b+c D.在△ABC 中, = sin A sin B+sin C
解析:选 B 由正弦定理易知 A,C,D 正确.对于 B,由 sin 2A =sin 2B,可得 A=B, π 或 2A+2B=π ,即 A=B,或 A+B= , 2 ∴a= b,或 a +b =c ,故 B 错误. 二、填空题 6.在△ABC 中,若 a=14,b=7 6,B=60°,则 C=________. 解析:由正弦定理知 ∴sin A= = ,又 a=14,b=7 6,B=60°, sin A sin B
2 2 2

a

b

asin B 14sin 60° 2 = = ,∵a<b,∴A<B, b 2 7 6

∴A=45°,∴C=180°-(B+A)=180°-(60°+45°)=75°. 答案:75° 7.在△ABC 中,B=30°,C=120°,则 a∶b∶c=________.

解析:A=180°-B-C=30°,由正弦定理得 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C, 即 a∶b∶c=sin 30°∶sin 30°∶sin 120° =1∶1∶ 3. 答案:1∶1∶ 3 8.在△ABC 中,若 A=120°,AB=5,BC=7,则 sin B=________.

解析:由正弦定理,得 sin C= =

AB·sin A BC

5sin 120° 5 3 = . 7 14
2

可知 C 为锐角,∴cos C= 1-sin C=

11 . 14

∴sin B=sin(180°-120°-C)=sin(60°-C) 3 3 =sin 60°·cos C-cos 60°·sin C= . 14 3 3 答案: 14 三、解答题 9.(2011·安徽高考)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长, a= 3,

b= 2,1+2cos(B+C)=0,求边 BC 上的高.
解:由 1+2cos(B+C)=0 和 B+C=π -A,得 1 1-2cos A=0,所以 cos A= , 2 sin A= 3 . 2

再由正弦定理,得 sin B=

bsin A 2 = . a 2

π 由 b<a 知 B<A,所以 B 不是最大角,B< ,从而 2 cos B= 1-sin B=
2

2 . 2 2 3 1 6+ 2 ×( + )= . 2 2 2 4

由上述结果知 sin C=sin(A+B)=

设边 BC 上的高为 h,则有 h=bsin C= 10.在△ABC 中,已知 解:∵
2

3+1 . 2

a2sin B b2sin A = ,试数列△ABC 的形状. cos B cos A

a2sin B b2sin A = ,a=2Rsin A,b=2Rsin B, cos B cos A
2 2 2



4R sin Asin B 4R sin Bsin A = . cos B cos A

又∵sin Asin B≠0, ∴sin Acos A=sin Bcos B, 即 sin 2A=sin 2B, ∴2A=2B,或 2A+2B=π , π 即 A=B,或 A+B= . 2 故△ABC 是等腰三角形或直角三角形.


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