高中北师大版数学选修1-2 第一章课时作业1

一、选择题 1．下列两个变量具有相关关系的是( A．正方体的体积与边长 B．匀速行驶的车辆的行驶距离与行驶时间 C．人的身高与体重 D．人的身高与视力 【解析】 系． 【答案】 C A、B 是函数关系，D 无相关关系．相关关系是一种不确定的关 )

2．随机抽样中测得四个样本点为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则 y 与 x 之间的 回归直线方程为( A．y＝x＋1 C．y＝2x＋1 【解析】 x＝ ) B．y＝x＋2 D．y＝x－1 1＋2＋3＋4 5 2＋3＋4＋5 7 ＝ ， y ＝ ＝2. 4 2 4

因为回归直线一定过点( x ， y )，所以 A 项符合要求． 【答案】 A

3．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点，直线 l 是 由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图 1－1－1)，以下结论正 确的是( )

图 1－1－1 A．直线 l 过点( x ， y )

B．x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C．x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D．当 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 【解析】 由样本的中心( x ， y )落在回归直线上可知 A 正确；x 和 y 的相 关系数表示为 x 与 y 之间的线性相关程度，不表示直线 l 的斜率，故 B 错；x 和 y 的相关系数应在－1 到 1 之间，故 C 错；分布在回归直线两侧的样本点的个数 并不绝对平均，无论样本点个数是奇数还是偶数，故 D 错． 【答案】 A

4．为了考查两个变量 x 和 y 之间的线性相关性，甲、乙两名同学各自独立 地做了 10 次试验和 15 次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为 l1 和 l2.已知两个人在试验中发现对变量 x 的观测数据的平均数都为 s，对变量 y 的 观测数据的平均数都为 t，那么下列说法中正确的是( A．直线 l1 和 l2 都过点(s，t) B．直线 l1 和 l2 相交，但交点不一定是(s，t) C．直线 l1 和 l2 必平行 D．直线 l1 和 l2 必重合 【解析】 (s，t)． 【答案】 A 线性回归方程 y＝bx＋a 恒过点( x ， y )，故直线 l1 和 l2 都过点 )

5．若已知∑(xi－ x )2 是∑(yi－ y )2 的两倍，∑(xi－ x )(yi－ y )是∑(yi－ y )2 的 1.2 倍，则相关系数 r 的值是( 2 A.1.2 C．0.92 ) B. 1.2 2

D．0.65

? ?xi－ x ??yi－ y ?
【解析】 由题意知 r＝
i＝1 n n

n

? ?xi－ x ?2 ? ?yi－ y ?2
i＝1 i＝1

1.2 ? ?yi－ y ?2 ＝
n i＝1 i ＝1 n

n

＝
i＝1

2 ? ?yi－ y ?2· ? ?yi－ y ?2

1.2 . 2

【答案】 二、填空题

B

6．已知变量 y 对 x 的线性回归方程为 y＝－0.81＋0.50x，则当 x＝25 时，y 的估计值为________． 【解析】 【答案】 当 x＝25 时，y 的估计值为－0.81＋0.50×25＝11.69. 11.69

7．某单位为了了解用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 气温(℃) 用电量(度) 18 24 13 34 10 38 －1 64

由表中数据得线性回归方程 y＝bx＋a 中 b＝－2， 预测当天气温为－4 ℃时， 用电量约为________． 【解析】 ∵x＝ 18＋13＋10－1 ＝10， 4

y＝

24＋34＋38＋64 ＝40，y＝－2x＋a 过(10,40)， 4

∴a＝40＋2×10＝60，∴y＝－2x＋60. 当 x＝－4 时，y＝－2×(－4)＋60＝68. 【答案】 68 度

8．若回归直线方程中的回归系数 b＝0，则相关系数 r＝________. 【解析】
n i＝1 n

对比线性相关系数和线性回归方程系数 b 的求解公式： r ＝
n

∑ xiyi－n x
n

y 和 b＝ y ?
2

i＝1

∑ xiyi－n x
n

y ， 可以发现其分子相同， 故b
2

? ∑ xi2－n i＝1

x

2

?? ∑ yi2－n i ＝1

∑ x2 i －n i＝1

x

＝0，可推得 r＝0. 【答案】 三、解答题 9．某连锁经营公司所属的 5 个零售店某月的销售额和利润情况如下表： 0

商店名称 销售额 x/千万元 利润 y/百万元

A 3 2

B 5 3

C 6 3

D 7 4

E 9 5

判断销售额与利润是否具有相关性；若销售额和利润具有线性相关关系，用 最小二乘法计算利润 y 对销售额 x 的线性回归方程．(判断相关性利用两种方法) 【解】 判断相关性先利用散点图大体观察是否具有相关性，散点图如下：

通过散点图可知， 两个变量具有相关性，下面通过计算再次明确是否具有相 关性(根据上表数据，可以算出： x ＝6， y ＝3.4)，其他数据见下表：

xi A B C D 3 5 6 7

yi 2 3 3 4

xi2 9 25 36 49

yi2 4 9 9 16

xiyi 6 15 18 28

E 合计 进而可求得 r＝

9 30

5 17

81 200

25 63

45 112

112－5×6×3.4 200－5×62

≈0.98，相关系数非常接近 1， 63－5×3.42 112－5×6×3.4 200－5×62 ＝0.5，a＝3.4－0.5×6

因此两个变量具有显著的线性相关性，b＝

＝0.4，故所求线性回归方程为 y＝0.5x＋0.4. 10． 某小卖部为了解雪糕销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了卖出 雪糕数与当天气温的对照表： 气温 x(℃) 卖出雪糕数 y(根) 20 16 23 24 25 30 27 34 29 38 31 42 34 50 35 64

求出线性回归方程，并预测气温为 37 ℃时卖出雪糕的数量． 【解】
8

由表中数据可得：
8

?xi2＝6 466， ?xiyi＝8 884， x ＝28， y ＝37.25，
i＝1 i ＝1

进而可以求得

?xiyi－8 x
b＝
i＝1

8

y

?xi2－8 x 2
i ＝1

8

＝

8 884－8×28×37.25 6 466－8×282

≈2.78，

a＝ y －b x ≈37.25－2.78×28＝－40.59. ∴线性回归方程为 y＝－40.59＋2.78x. 把 x＝37 代入，得 y≈62，

∴预测气温为 37 ℃时，卖出雪糕的数量约为 62 根． 11．某种图书每册的成本费 y(元)与印刷册数 x(千册)有关，经统计得到数据 如下：

x y

1 10.15

2 5.52

3 4.08

5 2.85

10 2.11

20 1.62

30 1.41

50 1.30

100 1.21

200 1.15

1 检测每册书的成本费 y 与印刷册数的倒数x 之间是否具有线性相关关系，如 有，求出 y 对 x 的回归方程． 【解】 1 首先作变量转换 u＝x，题目所给数据变成如下表所示的数据：

i ui yi

1 1 10.15

2 0.5 5.52

3 0.33 4.08
10 i＝1 10 i＝1

4 0.2 2.85

5 0.1 2.11

6 0.05 1.62

7 0.03 1.41

8 0.02 1.30

9 0.01 1.21

10 0.005 1.15

∑ ?ui－ u ??yi－ y ?
10 i＝1

可以求得，r＝

≈0.999 8.

∑ ?ui－ u ?2 ∑ ?yi－ y ?2

因此，变量 y 与 u 之间具有较强的线性相关关系． 1 8.973 经计算得 b≈8.973，a≈1.125，最后回代 u＝x可得，y＝1.125＋ x .