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函数的单调性奇偶性综合应用练习


函数的单调性、奇偶性综合应用
一、利用函数单调性求函数最值 例 1、已知函数 y=f(x)对任意 x,y∈R 均为 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)= -

2 . 3

(1)判断并证明 f(x)在 R 上的单调性; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大、小值。

>
思维分析:抽象函数的性质要紧扣定义,并同时注意特殊值的应用。

解:(1)令 x=y=0,f(0)=0,令 x=-y 可得: f(-x)= -f(x),在 R 上任取 x1<x2, 则 x2-x1>0, 所以 f(x2) -f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1). 因为 x1<x2,所以 x2-x1>0。 又因为 x>0 时 f(x)<0, 所以 f(x2-x1)<0,即 f(x2)<f(x1). 由定义可知 f(x)在 R 上是减函数. (2)因为 f(x)在 R 上是减函数, 所以 f(x)在[-3,3]上也是减函数. 所以 f(-3)最大,f(3)最小。 所以 f(-3)= -f(3)=2 即 f(x)在[-3,3]上最大值为 2,最小值为-2。

二、复合函数单调性 例 2、求函数 y= x ? 2x ? 3 的单调区间,并对其中一种情况证明。
2

思维分析:要求出 y= x ? 2x ? 3 的单调区间,首先求出定义域,然后利用复合函数的判
2

定方法判断.
1

解:设 u=x -2x-3,则 y= u . 因为 u≥0,所以 x -2x-3≥0.所以 x≥3 或 x≤-1. 因为 y= u 在 u≥0 时是增函数,又当 x≥3 时,u 是增函数, 所以当 x≥3 时,y 是 x 的增函数。 又当 x≤-1 时,u 是减函数,所以当 x≤-1 时,y 是 x 的减函数。 所以 y= x 2 ? 2x ? 3 的单调递增区间是[3,+ ∞),单调递减区间是(-∞,-1]。 证明略
2

2

三、利用奇偶性,讨论方程根情况 例 3、 已知 y=f(x)是偶函数, 且图象与 x 轴四个交点, 则方程 f(x)=0 的所有实根之和是( A.4 B.2 C.0 D.不知解析式不能确定 )

思维分析:因为 f(x)是偶函数且图象与 x 轴有四个交点,这四个交点每两个关于原点一定 是对称的,故 x1+x2+x3+x4=0. 答案:C

四、利用奇偶性,单调性解不等式 例 4、设 f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)单调递减,若 f(1-m)<f(m) 成立,求 m 的取值范围。 思维分析:要求 m 的取值范围,就要列关于 m 的不等式,由 f(1-m)<f(m)且 f(x)是偶函数 知 1-m 与 m 的符号不能确定,由偶函数的性质可按 1-m 与 m 同号;1-m 与 m 异号两种情 况,列四个不等式组,计算非常繁琐,但考虑到偶函数 f(x)=f(|x|),可将问题转化为只考 虑 x>0 时的情况,从而使问题简单化。 解:因为函数 f(x)在[-2,2]上是偶函数,则由 f(1-m)<f(m)可得 f(|1-m|)<f(|m|). 又 x≥0 时,f(x)是单调减函数,

?| 1 ? m |? 2, ? 所以 ?| m |? 2, 。 ?| 1 ? m |?| m | ?
解之得:-1≤m<

1 . 2
2


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