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1.几何不等式经典定理与名题(讲课提纲及测试题)(清北)


高二数学竞赛讲座:几何不等式定理与名题

冯惠愚 2011.01.25.(清北学堂)

几何不等式经典定理与名题
1.广义 Ptolemy 定理 定理:对于一般的四边形 ABCD,有 AB· CD+AD· BC≥AC· BD.当且仅当 ABCD 是圆内接四边形时等 号成立.

例 1.如图,给定凸四边形 ABCD,∠B+∠D<180° ,P 是平面上的动点,令 f(P)=PA· BC+PD· CA+PC· AB. ( I )求证:当 f(P)达到最小值时,P、A、B、C 四点共圆; AE 3 BC 1 (II)设 E 是△ABC 外接圆 O 的⌒ AB 上一点,满足: = , = 3-1,∠ECB= ∠ECA,又 DA、DC AB 2 EC 2 是⊙O 的切线,AC= 2,求 f(P)的最小值.
A P O C E B D

2.三角形的费马点 定理 (Fermat point)分别以Δ ABC 的三边 AB,BC,CA 为边向形外作正三角形 ABD,BCE,CAH,则此 三个三角形的外接圆交于一点.此点即为三角形的 Fermat point. D
A F B C G

E

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高二数学竞赛讲座:几何不等式定理与名题

冯惠愚 2011.01.25.(清北学堂)

由此得以下推论: 1? A、F、E 三点共线; 因?BFE=?BCE=60?,故?AFB+?BFE=180?,于是 A、F、E 三点共线. 同理,C、F、D 三点共线;B、F、H 三点共线. 2? AE、BH、CD 三线共点. 3? AE=BH=CD=FA+FB+FC.

例 2.(Steiner 问题)在三个角都小于 120°的Δ ABC 所在平面上求一点 P, 使 PA+PB+PC 取得最小值.

结论:到三个角都小于 120°的三角形三顶点距离之和最小的点——费马点. 例 3.凸六边形 ABCDEF,AB=BC=CD,DE=EF=FA,∠BCD=∠EFA=60?,G、H在形内, 且 ∠AGB=∠DHE=120?. C 求证:AG+GB+GH+DH+HE≥CF.
B H D

G A

E

F

3.关于三角形的重心的两个定理 定理 到三角形三个顶点距离平方和最小的点是三角形的重心.

定理 三角形内到三边距离之积最大的点是三角形的重心.

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高二数学竞赛讲座:几何不等式定理与名题

冯惠愚 2011.01.25.(清北学堂)

4.三角形的内接三角形 例 4.(Fagnano 问题)给定锐角三角形,求其内接三角形中周长最小者.

5.圆中最短线问题 定理(Polya 问题)两端点在给定圆周上且把圆面积二等分的所有线中,以直径最短.
B A O

例 5.单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线,如果它把正方形分成两个面积相等的部分,试证这 条曲线的长度不小于 1.

6.等周问题 定理(等周问题)这是由一系列的结果组成的问题: 1? 在周长一定的 n 边形的集合中,正 n 边形的面积最大. 2? 在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大. 3? 在面积一定的 n 边形的集合中,正 n 边形的周长最小。 4? 在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。 例 6.等长的曲线围成面积最大的图形是圆.

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高二数学竞赛讲座:几何不等式定理与名题

冯惠愚 2011.01.25.(清北学堂)

?a 例 7.设正三角形 ABC 的边长为 a,若曲线 l 平分⊿ABC 的面积,求证:曲线 l 的长 l≥ . 4 2 3

例 8.在棱长为 1 的正四面体表面选取一个由若干条线段组成的有限集,使四面体的任二顶点都可以由 此集中的某些线段组成的折线来连接. 能否选取满足上述要求的线段集,使其中所有的线段总长度和小于 1+ 3?

例 9.设 C1、C2 是同心圆,C2 的半径是 C1 的 2 倍.四边形 A1A2A3A4 内接于 C1,将 A4A1 延长交圆 C2 于于 B1,A1A2 延长交圆 C2 于于 B2,A2A3 延长交圆 C2 于于 B3,A3A4 延长 B4 交圆 C2 于于 B4,试证:四边形 B1B2B3B4 的周长≥2×四边形 A1A2A3A4 的 周长.并请确定等号成立的条件.
B1 A1 O A2 A4 A3 B3

B2

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冯惠愚 2011.01.25.(清北学堂)

练习测试题
A组
1.三角形两边的长 a 与 b 满足 a>b,它们的高为 ha,hb,证明:a+ha≥b+hb. 2.设 ABCDE 是凸五边形,AD 是对角线,已知∠EAD>∠ADC,∠EDA>∠DAB.证明:AE+ED> AB+BC+CD. 3、一个战士想要查遍一个正三角形区域内或边界上有无地雷,他的探测器的有效长度等于正三角形高 的一半.这个战士从三角形的一个顶点开始探测.训他应怎样的路线才能使查遍整个区域的路程最短. 4.证明:如果一个凸多边形在另一个凸多边形内,则内部的凸多边形周长小于外部凸多边形周长. 5.证明:如果在凸 n 边形中依次连接各边中点,n≥4,则得到的多边形面积不小于原多边形面积的一 半. 6.在正六边形中作一平行四边形,其对称中心与正六边形的中心重合.证明:平行四边形面积不超过 2 六边形面积的 . 3 7.证明:三角形内部的任一正方形面积不超过三角形面积的一半. 8.证明:任一凸四边形的顶点之间的最大距离与最小距离之比至少为 2. 9.平面上任给 5 个点,以 λ 表示这些点间最大的距离与最小的距离之比,证明:λ≥2sin54?. 10.证明:如果平面上有六个不同的点,则这些点间最大距离与最小距离之比至少为 3.

B组
1.设在角 A 不是锐角的三角形 ABC 内接一正方形 B1C1DE(点 D、E 在边 BC 上,而 B1、C1 分别在 AB、 AC 上),然后在?ABC 内用类似的方法内接一个正方形 B2C2D1E1,如此 A Bk +1 Ck +1 继续.证明:所有这些内接正方形面积之和小于?ABC 面积的一半. 2.如图,在△ABC 中,P 为边 BC 上任意一点,PE∥BA,PF∥CA, Ck Bk 若 S△ABC=1,证明:S△BPF、S△PCE、S□PEAF 4 中至少有一个不小于 (SXY…Z 9
Bk -1 Ek H k D k

表示多边形 XY…Z 的面积). 3.如图,在△ ABC 中,P、Q、R 将其周长三等分,且 P、Q 在 AB S?PQR 2 边上,求证: > . S?ABC 9
A

Ek -1 H k -1
题1

D k -1

Ck -1

A P
E

A B1 P

F

C1

B

P
题2

C

R Q B C
题3

B

A1
题5

C

4.设凸四边形 ABCD 的面积为 1,求证:在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个点,使得以其中 1 任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于 . 4 5. 设 P 为等边三角形 ABC 内一点, AP, BP, CP 依次交 BC, CA, AB 于点 A1, B1, C1, 求证: A1B1· B1C1· C1A1
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高二数学竞赛讲座:几何不等式定理与名题

冯惠愚 2011.01.25.(清北学堂)

≥A1B· B1C· C1A. 6.设 I 是△ABC 的内心,且内切圆与三边 BC,CA,AB 分别相切于点 K,L,M,过 B 且平行于 MK 的直线交直线 LM,LK 于点 R,S.求证:∠RIS<90° .
A
E P H D M N S

R

M I

L
Q

A

B

K

C

F

B

C

G

S
题6

R
题7

7.在凸四边形 ABCD 的外部分别作正三角形 ABQ、正三角形 BCR、正三角形 CDS、正三角形 DAP, y 记四边形 ABCD 的对角线的和为 x,四边形 PQRS 的对边中点连线之和为 y,求 的最大值. x 8.对于平面上任意三点 P、Q、R,定义 m(PQR)为Δ PQR 的最短的一条高线的长度(若 P、Q、R 共 线时,m(PQR)=0).设 A、B、C 为平面上三点,X 为平面上任意一点. 求证:m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC). 9.设 a、b、c 为三角形的三边,a≤b≤c,R 和 r 分别表示⊿ABC 的外接圆半径与内切圆半径.令 f=a +b-2R-2r,试用?C 的大小来判定 f 的符号. 10.给定 a, 2<a<2,内接于单位圆 P 的凸四边形 ABCD 适合以下条件: ⑴ 圆心在这凸四边形内部;⑵ 最大边长为 a,最小边长为 4-a2 ,过点 A、B、C、D 依次作圆 P 的 四条切线 lA、lB、lC、lD,已知 lA 与 lB,lB 与 lC,lC 与 lD,lD 与 lA 分别交于点 A',B',C',D'. S四边形A?B?C?D? 求面积之比 的最大值与最小值. S四边形ABCD

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