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安徽省合肥一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


2015-2016 学年安徽省合肥一中高二(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题所给的四个选项中只有一个选 项正确,请将正确的选项填入答题卡中,答错或不答不得分) 1.下列结论中正确的是( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C

.当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 2.直线 2x﹣y+k=0 与 4x﹣2y+1=0 的位置关系是( A.平行 B.不平行 C.平行或重合 D.既不平行也不重合 )

3.已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β.直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l?α,l?β, 则( ) A.α∥β 且 l∥α B.α⊥β 且 l⊥β C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l

4.已知不等式组
2 2

表示的平面区域恰好被面积最小的圆 C: (x﹣a) +(y﹣b)

2

=r 及其内部所覆盖,则圆 C 的方程为( ) 2 2 2 2 2 2 A. (x﹣1) +(y﹣2) =5 B. (x﹣2) +(y﹣1) =8 C. (x﹣4) +(y﹣1) =6 D. (x﹣ 2 2 2) +(y﹣1) =5 5.图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆) ,则该几何体的表面积是( )

A.20+3π

B.24+3π
2 2

C.20+4π

D.24+4π

6.已知圆的方程为 x +y ﹣6x﹣8y=0,设圆中过点(2,5)的最长弦与最短弦为分别为 AB、 CD,则直线 AB 与 CD 的斜率之和为( ) A.0 B.﹣1 C.1 D.﹣2

7.已知一个正方体的所有棱与空间的某一平面成角为 α,则 cosα 的值为( A. B. C. D.



8.已知 A(2,0) 、B(0,2) ,从点 P(1,0)射出的光线经直线 AB 反向后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是( ) A.3 B.2 C. D.2 9.已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆 C:x +y ﹣2y=0 的两条切线,A,B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( ) A.3 B. C.
2 2 2

D.2
2

10.已知圆(x﹣3) +(y+5) =36 和点 A(2,2) 、B(﹣1,﹣2) ,若点 C 在圆上且△ABC 的面积为 ,则满足条件的点 C 的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 )

11.已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O﹣ ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 12.如图,点 P(3,4)为圆 x +y =25 的一点,点 E,F 为 y 轴上的两点,△PEF 是以点 P 为顶点的等腰三角形,直线 PE,PF 交圆于 D,C 两点,直线 CD 交 y 轴于点 A,则 cos∠ DAO 的值为( )
2 2

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将每小题对的答案填在答题卡中,答 错或不答不得分) 13.设直线 3x﹣4y+5=0 的倾斜角为 θ,则 sin2θ= . 14.过点(1, )的直线 l 将圆(x﹣2) +y =4 分成两段弧,当优弧所对的圆心角最大时, 直线 l 的斜率 k= .
2 2

15.如图,在直角三角形 SOC 中,直角边 OC 的长为 4,SC 为斜边,OB⊥SC,现将三角 形 SOC 绕 SO 旋转一周,若△SOC 形成的几何体的体积为 V,△SOB 形成的体积为 ,则 V= .

16.已知正四面体 ABCD 的棱长为 9,点 P 是三角形 ABC 内(含边界)的一个动点满足 P 到面 DAB、面 DBC、面 DCA 的距离成等差数列,则点 P 到面 DCA 的距离最大值 为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,第 17 题 10 分,18-22,每题 12 分,共 70 分.请写出详细地 解答步骤或证明过程) 17.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E,F 是线段 AB 上的两点,且 DE⊥AB,CF⊥AB, AB=12,AD=5,BC=4 ,DE=4.现将△ADE,△CFB 分别沿 DE,CF 折起,使 A,B 两 点重合与点 G,得到多面体 CDEFG. (1)求证:平面 DEG⊥平面 CFG; (2)求多面体 CDEFG 的体积.

18.已知两直线 l1:x﹣2y+4=0 和 l2:x+y﹣2=0 的交点为 P. (1)直线 l 过点 P 且与直线 5x+3y﹣6=0 垂直,求直线 l 的方程; (2)圆 C 过点(3,1)且与 l1 相切于点 P,求圆 C 的方程. 19.如图,已知三棱锥 O﹣ABC 的侧棱 OA,OB,OC 两两垂直,且 OA=1,OB=OC=2,E 是 OC 的中点. (1)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值; (2)求直线 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值.

20.已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x +y ﹣6x+5=0 相交于不同的两点 A,B. (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x﹣4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 21.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,平面 PBD⊥平面 ABCD, AD=2,PD=2 ,AB=PB=4,∠BAD=60°. (Ⅰ)求证:AD⊥PB; (Ⅱ)E 是侧棱 PC 上一点,记 =λ,当 PB⊥平面 ADE 时,求实数 λ 的值.

2

2

22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 经过 A(0,2) ,O(0,0) ,D(t,0) (t>0)三 点,M 是线段 AD 上的动点,l1,l2 是过点 B(1,0)且互相垂直的两条直线,其中 l1 交 y 轴于点 E,l2 交圆 C 于 P、Q 两点. (1)若 t=|PQ|=6,求直线 l2 的方程; (2)若 t 是使|AM|≤2|BM|恒成立的最小正整数,求三角形 EPQ 的面积的最小值.

2015-2016 学年安徽省合肥一中高二(上)期中数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题所给的四个选项中只有一个选 项正确,请将正确的选项填入答题卡中,答错或不答不得分) 1.下列结论中正确的是( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】对应思想;数学模型法;空间位置关系与距离;简易逻辑;立体几何. 【分析】根据棱锥,圆锥的几何特征,逐一分析四个答案的真假,可得结论. 【解答】解:正八面体的各个面都是三角形,但不是三棱锥,故 A 错误; 以锐角三角形的一边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆 锥形成的组合体,故 B 错误; 正六棱锥圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母棱锥的侧棱长一定大于底面多边 形的边长,故 C 错误; 圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线,故 D 正确; 故选:D 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了棱锥和圆锥的几何特征,熟练掌握棱 锥和圆锥的几何特征,是解答的关键. 2.直线 2x﹣y+k=0 与 4x﹣2y+1=0 的位置关系是( ) A.平行 B.不平行 C.平行或重合 D.既不平行也不重合 【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系. 【专题】计算题. 【分析】化简方程组得到 2k﹣1=0,根据 k 值确定方程组解的个数,由方程组解得个数判断 两条直线的位置关系. 【解答】解:∵由方程组 ,得 2k﹣1=0,

当 k= 时,方程组由无穷多个解,两条直线重合,当 k≠ 时,方程组无解,两条直线平行, 综上,两条直线平行或重合, 故选 C. 【点评】本题考查方程组解得个数与两条直线的位置关系,方程有唯一解时,两直线相交, 方程组有无穷解时,两直线重合,方程组无解时,两直线平行.

3.已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β.直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l?α,l?β, 则( ) A.α∥β 且 l∥α B.α⊥β 且 l⊥β C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l 【考点】平面与平面之间的位置关系;平面的基本性质及推论. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】由题目给出的已知条件,结合线面平行,线面垂直的判定与性质,可以直接得到正 确的结论. 【解答】解:由 m⊥平面 α,直线 l 满足 l⊥m,且 l?α,所以 l∥α, 又 n⊥平面 β,l⊥n,l?β,所以 l∥β. 由直线 m,n 为异面直线,且 m⊥平面 α,n⊥平面 β,则 α 与 β 相交,否则,若 α∥β 则推 出 m∥n, 与 m,n 异面矛盾. 故 α 与 β 相交,且交线平行于 l. 故选 D. 【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系,考查了平面的基本性质及推论,考查了线 面平行、线面垂直的判定与性质,考查了学生的空间想象和思维能力,是中档题.

4.已知不等式组
2 2

表示的平面区域恰好被面积最小的圆 C: (x﹣a) +(y﹣b)

2

=r 及其内部所覆盖,则圆 C 的方程为( ) 2 2 2 2 2 2 A. (x﹣1) +(y﹣2) =5 B. (x﹣2) +(y﹣1) =8 C. (x﹣4) +(y﹣1) =6 D. (x﹣ 2 2 2) +(y﹣1) =5 【考点】二元一次不等式(组)与平面区域;圆的标准方程. 【专题】转化思想;不等式的解法及应用;直线与圆. 【分析】根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部,且△OPQ 是直角三角形,进而可 推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,进而求得圆心和半径,则圆的方程可得 【解答】解:由题意知此平面区域表示的是以 O(0,0) ,P(4,0) ,Q(0,2)构成的三 角形及其内部, 且△OPQ 是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1) ,半径是 , 2 2 所以圆 C 的方程是(x﹣2) +(y﹣1) =5. 故选:D 【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的应用.考查了数形结合的思想,转化和化归的思 想. 5.图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆) ,则该几何体的表面积是( )

A.20+3π B.24+3π C.20+4π D.24+4π 【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】由几何体的三视图,知该几何体的上半部分是棱长为 2 的正方体,下半部分是半径 为 1,高为 2 的圆柱的一半,由此能求出该几何体的表面积. 【解答】解:由几何体的三视图, 知该几何体的上半部分是棱长为 2 的正方体, 下半部分是半径为 1,高为 2 的圆柱的一半, ∴该几何体的表面积 S=5×2 +π×1 +
2 2

=20+3π.

故选 A. 【点评】本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积的求法,是基础题.解题时要认真审 题,仔细解答. 6.已知圆的方程为 x +y ﹣6x﹣8y=0,设圆中过点(2,5)的最长弦与最短弦为分别为 AB、 CD,则直线 AB 与 CD 的斜率之和为( ) A.0 B.﹣1 C.1 D.﹣2 【考点】直线与圆的位置关系;直线的斜率. 【专题】计算题. 【分析】把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标,由(2,5)在圆内,故过此点最长的弦 为直径,最短弦为与这条直径垂直的弦,所以由圆心坐标和(2,5)求出直线 AB 的斜率, 再根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1 求出直线 CD 的斜率,进而求出两直线的斜率和. 【解答】解:把圆的方程化为标准方程得: (x﹣3) +(y﹣4) =25, ∴圆心坐标为(3,4) , ∴过(2,5)的最长弦 AB 所在直线的斜率为 =﹣1,
2 2 2 2

又最长弦所在的直线与最短弦所在的直线垂直, ∴过(2,5)最短弦 CD 所在的直线斜率为 1, 则直线 AB 与 CD 的斜率之和为﹣1+1=0. 故选 A 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,垂径定理,直线 斜率的计算方法,以及两直线垂直时斜率满足的关系,其中得出过点(2,5)最长的弦为直 径,最短弦为与这条直径垂直的弦是解本题的关键. 7.已知一个正方体的所有棱与空间的某一平面成角为 α,则 cosα 的值为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】二面角的平面角及求法. 【专题】探究型;数形结合;转化思想;综合法;空间角. 【分析】由棱 A1A,A1B1,A1D1 与平面 AB1D1 所成的角相等,知平面 AB1D1 就是与正方 体的 12 条棱的夹角均为 α 的平面.由此能求出结果. 【解答】解:因为棱 A1A,A1B1,A1D1 与平面 AB1D1 所成的角相等, 所以平面 AB1D1 就是与正方体的 12 条棱的夹角均为 α 的平面. 设棱长为:1, ∴sinα= ∴cosα= 故选:B. = . ,

【点评】本题考查直线与平面所成的角的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转 化思想的合理运用. 8.已知 A(2,0) 、B(0,2) ,从点 P(1,0)射出的光线经直线 AB 反向后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是( ) A.3 B.2 C. D.2 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程. 【专题】数形结合;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】设点 P 关于 y 轴的对称点 P′,点 P 关于直线 AB:x+y﹣4=0 的对称点 P″,由对称 特点可求 P′和 P″的坐标,在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直 线上,光线所经过的路程|P′P″|. 【解答】解:点 P(1,0)关于 y 轴的对称点 P′坐标是(﹣1,0) ,设点 P 关于直线 AB:x+y ﹣2=0 的对称点 P″(a,b)



,解得



∴光线所经过的路程|P′P″|=

=



故选:C.

【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法(利用垂直及中点在轴上) ,入射光线 上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上,把光线走过的路程转化为|P′P″|的长 度,属于中档题. 9.已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆 C:x +y ﹣2y=0 的两条切线,A,B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( ) A.3 B. C. D.2
2 2

【考点】直线和圆的方程的应用. 【专题】计算题;转化思想. 【分析】先求圆的半径,四边形 PACB 的最小面积是 2,转化为三角形 PBC 的面积是 1,求 出切线长,再求 PC 的距离也就是圆心到直线的距离,可解 k 的值. 【解答】解:圆 C:x +y ﹣2y=0 的圆心(0,1) ,半径是 r=1, 由圆的性质知:S 四边形 PACB=2S△PBC,四边形 PACB 的最小面积是 2, ∴S△PBC 的最小值=1= rd(d 是切线长)∴d 最小值=2 圆心到直线的距离就是 PC 的最小值, ∵k>0,∴k=2 故选 D. 【点评】本题考查直线和圆的方程的应用,点到直线的距离公式等知识,是中档题. 10.已知圆(x﹣3) +(y+5) =36 和点 A(2,2) 、B(﹣1,﹣2) ,若点 C 在圆上且△ABC 的面积为 ,则满足条件的点 C 的个数是( )
2 2 2 2

A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】圆的标准方程. 【分析】由已知得|AB|=5,C 到 AB 距离是 1,直线 AB 的方程为 4x﹣3y﹣2=0,圆心到 AB 距离 d= =5<6,直线 AB 和圆相交,由此能求出满足条件的点 C 的个数.

【解答】解:∵点 A(2,2) 、B(﹣1,﹣2) ,若点 C 在圆上且△ABC 的面积为 ,

∴|AB|=5,∴△ABC 的高 h=

=1,即 C 到 AB 距离是 1,

直线 AB 的方程为 圆心到 AB 距离 d=

,即 4x﹣3y﹣2=0, =5<6,

∴直线 AB 和圆相交, 过 AB 做两条距离 1 的平行线,∵6﹣5=1,∴一条相切, ∴满足条件的点 C 的个数有 3 个. 故选:C. 【点评】本题考查满足条件的点的个数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意圆的性 质的合理运用. 11.已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O﹣ ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 【考点】球的体积和表面积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O﹣ABC 的体积最大,利用三 棱锥 O﹣ABC 体积的最大值为 36,求出半径,即可求出球 O 的表面积. 【解答】解:如图所示,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O﹣ABC 的体 积最大,设球 O 的半径为 R,此时 VO﹣ABC=VC﹣AOB= 则球 O 的表面积为 4πR =144π, 故选 C.
2

=

=36,故 R=6,

【点评】本题考查球的半径与表面积,考查体积的计算,确定点 C 位于垂直于面 AOB 的直 径端点时,三棱锥 O﹣ABC 的体积最大是关键. 12.如图,点 P(3,4)为圆 x +y =25 的一点,点 E,F 为 y 轴上的两点,△PEF 是以点 P 为顶点的等腰三角形,直线 PE,PF 交圆于 D,C 两点,直线 CD 交 y 轴于点 A,则 cos∠ DAO 的值为( )
2 2

A.

B.

C.

D.

【考点】圆方程的综合应用. 【专题】转化思想;数形结合法;三角函数的求值;直线与圆. 【分析】要求 cos∠DAO 的值,由于 A 为一动点,故无法直接解三角形求出答案,我们可 以构造与∠DAO 相等的角,然后进行求解,过 P 点作 x 轴平行线,交圆弧于 G,连接 OG 根据等腰三角形性质及垂径定理,结合同角或等角的余角相等,我们可以判断∠DAO=∠ PGO,进而得到结论. 【解答】解:过 P 点作 x 轴平行线,交圆弧于 G,连接 OG. 则:G 点坐标为(﹣3,4) ,PG⊥EF, ∵PEF 是以 P 为顶点的等腰三角形, ∴PG 就是角 DPC 的平分线, ∴G 就是圆弧 CD 的中点. ∴OG⊥CD, ∴∠DAO+∠GOA=90°. 而∠PGO+∠GOA=90°. ∴∠DAO=∠PGO ∴cos∠DAO=cos∠PGO= . 故选 B.

【点评】本题考查的知识点是三角函数求值,其中利用等腰三角形性质及垂径定理,结合同 角或等角的余角相等,构造与∠DAO 相等的角∠PGO,是解答本题的关键.

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将每小题对的答案填在答题卡中,答 错或不答不得分) 13.设直线 3x﹣4y+5=0 的倾斜角为 θ,则 sin2θ= .

【考点】三角函数的化简求值;直线的倾斜角. 【专题】计算题;转化思想;综合法;三角函数的求值;直线与圆. 【分析】由直线 3x﹣4y+5=0 的倾斜角为 θ,利用直线的斜出 tanθ= ,再由万能公式 sin2θ= ,能求出结果.

【解答】解:∵直线 3x﹣4y+5=0 的倾斜角为 θ,∴tanθ= ,

∴sin2θ=

=

=



故答案为:



【点评】本题考查正弦值的求法,是基础题,解题时要注意直线的倾斜角和万能公式的合理 运用. 14.过点(1, 直线 l 的斜率 k= )的直线 l 将圆(x﹣2) +y =4 分成两段弧,当优弧所对的圆心角最大时, .
2 2

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系,及直线与圆的相关性质,要处理本题我 们先要画出满足条件的图形, 数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系, 由优弧所对 的圆心角最大, 劣弧所对的圆心角最小弦长最短, 及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂 直,易得到解题思路. 【解答】解:如图示,由图形可知: 2 2 点 A(1, )在圆(x﹣2) +y =4 的内部, 圆心为 O(2,0) ,要使得优弧所对的圆心角最大,则劣弧所对的圆心角最小,只能是直线 l⊥OA, 所以 k=﹣ = .

故答案为:



【点评】垂径定理及其推论是解决直线与圆关系时常用的定理,要求大家熟练掌握,垂径定 理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.相关推论,过圆内一点垂 直于该点直径的弦最短,且弦所对的劣弧最短,优弧最长,弦所对的圆心角、圆周角最小. 15.如图,在直角三角形 SOC 中,直角边 OC 的长为 4,SC 为斜边,OB⊥SC,现将三角 形 SOC 绕 SO 旋转一周,若△SOC 形成的几何体的体积为 V,△SOB 形成的体积为 ,则 V= .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离. 【分析】旋转一周后,△SOC 形成的几何体为底面半径为 4 的圆锥,△SOB 形成的几何体为 两个同底的圆锥,根据他们的体积关系求出 B 到 SO 的距离,再根据相似三角形解出 SO 的 长,代入体积公式计算. 【解答】解:过 B 作 BA⊥SO 于点 A, 则 V= π4 ?SO=
2 2

SO,
2 2

= ?π?BA ?SA+ ?π?BA ?OA= ?π?BA ?SO. ∴BA=2, ∴BA 是△SOC 的中位线,即 A 是 SO 的中点, ∵SO⊥SC, ∴△SAB∽△BAO, ∴ ,即 SA?AO=AB =4,
2

∵SA=AO,∴SA=AO=2,∴SO=2SA=4, ∴V= SO= .

故答案为



【点评】本题考查了旋转体的体积,求出 AB 的长是关键. 16.已知正四面体 ABCD 的棱长为 9,点 P 是三角形 ABC 内(含边界)的一个动点满足 P 到面 DAB、 面 DBC、 面 DCA 的距离成等差数列, 则点 P 到面 DCA 的距离最大值为 2 . 【考点】点、线、面间的距离计算. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】 设动点 P 到面 DAB、 面 DBC、 面 DCA 的距离分别为 h1, h2, h3, 由正四面体 ABCD 的棱长为 9,求出每个面面积 S= ,高 h=3 ,由正四面体 ABCD 的体积得到

h1+h2+h3=3 ,再由满足 P 到面 DAB、面 DBC、面 DCA 的距离成等差数列,能求出点 P 到面 DCA 的距离最大值. 【解答】解:设动点 P 到面 DAB、面 DBC、面 DCA 的距离分别为 h1,h2,h3, ∵正四面体 ABCD 的棱长为 9,每个面面积为 S= 取 BC 中点 E,连结 AE.过 S 作 SO⊥面 ABC,垂足为 O, 则 AO= ∴高 h=SO= =3 =3 , = S(h1+h2+h3) , , = ,

∴正四面体 ABCD 的体积 V=

∴h1+h2+h3=3 , ∵满足 P 到面 DAB、面 DBC、面 DCA 的距离成等差数列, ∴h1+h2+h3=3h2=3 ,∴ ,h2+h3=2 . ,

∴点 P 到面 DCA 的距离最大值为 2 故答案为:2 .

【点评】本题考查点到平面的距离的最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等 差数列、正四面体性质等知识点的合理运用. 三、解答题(本大题共 6 小题,第 17 题 10 分,18-22,每题 12 分,共 70 分.请写出详细地 解答步骤或证明过程) 17.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E,F 是线段 AB 上的两点,且 DE⊥AB,CF⊥AB, AB=12,AD=5,BC=4 ,DE=4.现将△ADE,△CFB 分别沿 DE,CF 折起,使 A,B 两 点重合与点 G,得到多面体 CDEFG. (1)求证:平面 DEG⊥平面 CFG; (2)求多面体 CDEFG 的体积.

【考点】平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题;证明题. 【分析】 (1)判断四边形 CDEF 为矩形,然后证明 EG⊥GF,推出 CF⊥EG,然后证明平面 DEG⊥平面 CFG. (2)在平面 EGF 中,过点 G 作 GH⊥EF 于 H,求出 GH,说明 GH⊥平面 CDEF,利用 求出体积. 【解答】解: (1)证明:因为 DE⊥EF,CF⊥EF,所以四边形 CDEF 为矩形, 由 AD=5,DE=4,得 AE=GE= 由 GC=4 ,CF=4,得 BF=FG=
2 2 2

=3, =4,所以 EF=5,

在△EFG 中,有 EF =GE +FG ,所以 EG⊥GF, 又因为 CF⊥EF,CF⊥FG,得 CF⊥平面 EFG, 所以 CF⊥EG,所以 EG⊥平面 CFG,即平面 DEG⊥平面 CFG.

(2)解:在平面 EGF 中,过点 G 作 GH⊥EF 于 H,则 GH= 因为平面 CDEF⊥平面 EFG,得 GH⊥平面 CDEF, =16.

=



【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积的求法,考查逻辑推理 能力,计算能力. 18.已知两直线 l1:x﹣2y+4=0 和 l2:x+y﹣2=0 的交点为 P. (1)直线 l 过点 P 且与直线 5x+3y﹣6=0 垂直,求直线 l 的方程; (2)圆 C 过点(3,1)且与 l1 相切于点 P,求圆 C 的方程. 【考点】圆的切线方程. 【专题】综合题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】 (1)联立方程组,求出直线 l1:x﹣2y+4=0 和 l2:x+y﹣2=0 的交点,再求出直线 l 的斜率,可得直线 l 的方程; (2)设圆方程为标准方程,求出圆心与半径,即可求得圆的方程. 【解答】解: (1)联立方程组 ,解得 x=0,y=2,

∴直线 l1:x﹣2y+4=0 和 l2:x+y﹣2=0 的交点 P(0,2) , 又∵直线 5x+3y﹣6=0 的斜率为﹣ ,∴直线 l 的斜率为 , ∴直线 l 的方程为 y﹣2= (x﹣0) ,化为一般式可得 3x﹣5y+10=0. (2)设圆方程为标准方程(x﹣a) +(y﹣b) =r , ∴a +(b﹣2) =(a﹣3) +(b﹣1) =
2 2 2 2 2 2 2

=r ,

2

∴a=1,b=0, 2 2 ∴圆的方程为(x﹣1) +y =5. 【点评】本题考查直线、圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题. 19.如图,已知三棱锥 O﹣ABC 的侧棱 OA,OB,OC 两两垂直,且 OA=1,OB=OC=2,E 是 OC 的中点. (1)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值; (2)求直线 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角;异面直线及其所成的角. 【分析】根据题中的条件可建立以 O 为原点,OB、OC、OA 分别为 X、Y、Z 轴的空间直 角坐标系然后利用空间向量进行求解: (1)根据建立的空间直角坐标系求出 然后再利用向量的夹角公式

cos

=

求出 cos<

>然后根据 cos<

>≥0 则异面直线 BE

与 AC 所成角即为< π﹣<

>,若 cos<

><0 则异面直线 BE 与 AC 所成角即为

>进而可求出异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值. 和平面 ABC 的一个法向量 然后再利用向量的夹角公式

(2)由(1)求出

cos

=

求出 cos<



>再根据若 cos<



>≥0 则直线 BE 和平

面 ABC 的所成角为 成角为< , >﹣

﹣<



>,若 cos<



><0 则直线 BE 和平面 ABC 的所 , >的值即可求出直线 BE 和平

然后再根据诱导公式和 cos<

面 ABC 的所成角的正弦值. 【解答】解: (1)以 O 为原点,OB、OC、OA 分别为 X、Y、Z 轴建立空间直角坐标系. 则有 A(0,0,1) 、B(2,0,0) 、C(0,2,0) 、E(0,1,0)…(3 分) ∴ ∴COS< , >= =﹣ …(5 分)

所以异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦为 …(6 分) (2)设平面 ABC 的法向量为 知 知 取 ,…(8 分) 则



…(10 分) …(12 分)

故 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值为

【点评】 本题主要考察了空间中异面直线所成的角和直线与平面所成的角, 属立体几何中的 常考题型, 较难. 解题的关键是首先正确的建立空间直角坐标系然后可将异面直线所成的角 转化为所对应的向量的夹角或其补角而对于利用向量法求线面角关键是正确求解平面的一 个法向量! 20.已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x +y ﹣6x+5=0 相交于不同的两点 A,B. (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x﹣4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 【考点】轨迹方程;直线与圆的位置关系. 【专题】创新题型;开放型;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)通过将圆 C1 的一般式方程化为标准方程即得结论; (2)设当直线 l 的方程为 y=kx,通过联立直线 l 与圆 C1 的方程,利用根的判别式大于 0、 韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论; (3)通过联立直线 L 与圆 C1 的方程,利用根的判别式△=0 及轨迹 C 的端点与点(4,0) 决定的直线斜率,即得结论. 【解答】解: (1)∵圆 C1:x +y ﹣6x+5=0, 2 2 整理,得其标准方程为: (x﹣3) +y =4, ∴圆 C1 的圆心坐标为(3,0) ; (2)设当直线 l 的方程为 y=kx、A(x1,y1) 、B(x2,y2) , 联立方程组
2 2 2 2 2 2



消去 y 可得: (1+k )x ﹣6x+5=0, 由△=36﹣4(1+k )×5>0,可得 k < 由韦达定理,可得 x1+x2= ,
2 2

∴线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的参数方程为

,其中﹣

<k<



∴线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程为: (x﹣ ) +y = ,其中 <x≤3; (3)结论:当 k∈[﹣ 个交点. 理由如下: 联立方程组
2 2

2

2



]∪{﹣ ,

}时,直线 L:y=k(x﹣4)与曲线 C 只有一


2 2

消去 y,可得: (1+k )x ﹣(3+8k )x+16k =0, 令△=(3+8k ) ﹣4(1+k )?16k =0,解得 k=± , 又∵轨迹 C 的端点( ,± )与点(4,0)决定的直线斜率为± ,
2 2 2 2

∴当直线 L:y=k(x﹣4)与曲线 C 只有一个交点时, k 的取值范围为[﹣ , ]∪{﹣ , }.

【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题,注意解题方法的积累,属于难 题. 21.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,平面 PBD⊥平面 ABCD, AD=2,PD=2 ,AB=PB=4,∠BAD=60°. (Ⅰ)求证:AD⊥PB; (Ⅱ)E 是侧棱 PC 上一点,记 =λ,当 PB⊥平面 ADE 时,求实数 λ 的值.

【考点】直线与平面垂直的性质;空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】综合题;空间位置关系与距离. 【分析】 (Ⅰ)证明 AD⊥BD,利用平面 PBD⊥平面 ABCD,交线为 BD,可得 AD⊥平面 PBD,从而 AD⊥PB; (Ⅱ)作 EF∥BC,交 PB 于点 F,连接 AF,连接 DF,△PBD 中,由余弦定理求得 ,即可得出结论. 【解答】 (Ⅰ)证明:在△ABD 中,∵AD=2,AB=4,∠BAD=60°, ∴由余弦定理求得 . 2 2 2 ∴AD +BD =AB ,∴AD⊥BD. ∵平面 PBD⊥平面 ABCD,交线为 BD, ∴AD⊥平面 PBD,

∴AD⊥PB.…6 分 (Ⅱ)解:作 EF∥BC,交 PB 于点 F,连接 AF, 由 EF∥BC∥AD 可知 A,D,E,F 四点共面, 连接 DF,所以由(Ⅰ)的结论可知,PB⊥平面 ADE 当且仅当 PB⊥DF. 在△PBD 中,由 PB=4, , , 余弦定理求得 ,

∴在 RT△PDF 中,PF=PDcos∠BPD=3, 因此 .…12 分.

【点评】本题考查立体几何有关知识,考查线面、面面垂直,考查运算能力,属于中档题. 22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 经过 A(0,2) ,O(0,0) ,D(t,0) (t>0)三 点,M 是线段 AD 上的动点,l1,l2 是过点 B(1,0)且互相垂直的两条直线,其中 l1 交 y 轴于点 E,l2 交圆 C 于 P、Q 两点. (1)若 t=|PQ|=6,求直线 l2 的方程; (2)若 t 是使|AM|≤2|BM|恒成立的最小正整数,求三角形 EPQ 的面积的最小值. 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】综合题;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】 (1)求出圆心坐标与半径,设直线 l2 的方程 y=k(x﹣1) ,利用 PQ=6,可得圆心到 直线的距离 d= = ,即可求直线 l2 的方程;
2

(2)设 M(x,y) ,由点 M 在线段 AD 上,得 2x+ty﹣2t=0,由 AM≤2BM,得(x﹣ ) + (y+ ) ≥
2

,依题意,线段 AD 与圆(x﹣ ) +(y+ ) =

2

2

至多有一个公共点,故

,由此入手能求出△EPQ 的面积的最小值. 【解答】解: (1)由题意,圆心坐标为(3,1) ,半径为 设直线 l2 的方程 y=k(x﹣1) ,即 kx﹣y﹣k=0, ∴圆心到直线的距离 d= = , ,则

∴k=0 或 , (3 分) 当 k=0 时,直线 l1 与 y 轴无交点,不合题意,舍去. ∴k= 时直线 l2 的方程为 4x﹣3y﹣4=0. (6 分) (2)设 M(x,y) ,由点 M 在线段 AD 上,得 由 AM≤2BM,得(x﹣ ) +(y+ ) ≥
2 2 2

,2x+ty﹣2t=0.

. (8 分)
2

依题意知,线段 AD 与圆(x﹣ ) +(y+ ) =

至多有一个公共点,



,解得

或 t≥



因为 t 是使 AM≤2BM 恒成立的最小正整数,所以 t=4. 2 2 所以圆圆 C 的方程为(x﹣2) +(y﹣1) =5. ①当直线 l2:x=1 时,直线 l1 的方程为 y=0,此时,SDEPQ=2; (10 分) ②当直线 l2 的斜率存在时,设 l2 的方程为 y=k(x﹣1) ,k≠0, 则 l1 的方程为 y=﹣ (x﹣1) ,点 E(0, ) ,∴BE= ,

又圆心到 l2 的距离为



∴PQ=2



∴S△EPQ= ?

?2

=







<2, . (14 分)

∴(S△EPQ)min=

【点评】本题考查直线方程,考查三角形面积的最小值的求法,确定三角形面积是关键.


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