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高中数学(人教A版 选修2-1)活页规范训练:3-2第1课时空间向量与平行关系(Word有详解答案)


3.2

立体几何中的向量方法

第 1 课时 空间向量与平行关系

双基达标
A.(1,2,3) C.(2,1,3) 答案 A

?限时 20 分钟? ( ).

1. 若 A(-1, 0, 1), B(1, 4, 7)在直线 l 上, 则直线 l 的一个方向向量为 B.(1,3,2) D.(3,2,1)

2. 若 u=(2, -3, 1)是平面 α 的一个法向量, 则下列向量中能作为平面 α 的法向量的是( A.(0,-3,1) C.(-2,-3,1) 答案 D B.(2,0,1) D.(-2,3,-1)

).

3.若平面 α 与 β 的法向量分别是 a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),则平面 α 与 β 的位置 关系是 A.平行 C.相交不垂直 B.垂直 D.无法判断 ( ).

解析 ∵a=(1,0,-2)=-(-1,0,2)=-b,∴a∥b,∴α∥β. 答案 A 4.已知 l∥α,且 l 的方向向量为(2,-8,1),平面 α 的法向量为(1,y,2),则 y=________. 解析 ∵l∥α, ∴l 的方向向量(2, -8, 1)与平面 α 的法向量(1, y, 2)垂直, ∴2×1-8×y 1 +2=0,∴y= . 2 答案 1 2

5. 设平面 α 的法向量为(1, 2, -2), 平面 β 的法向量为(-2, -4, k), 若 α∥β, 则 k=______. 解析 由 α∥β 得 答案 4 6.如图,在长方体 OAEB-O1A1E1B1 中,OA=3,OB=4, OO1=2,点 P 在棱 AA1 上,且 AP=2PA1,点 S 在棱 BB1 上,且 SB1=2BS,点 Q、R 分别是 O1B1、AE 的中点,求 1 2 -2 = = ,解得 k=4. k -2 -4

证:PQ∥RS. 证明 如图所示,建立空间直角坐标系,则 A(3,0, 0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(0,4, 2),E(3,4,0) ∵AP=2PA1, 4 → → 2→ → 2 ∴AP=2PA1= AA1,即AP= (0,0,2)=(0,0, ), 3 3 3 4 ∴P 点坐标为(3,0, ). 3 2 同理可得 Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4, ). 3 2 → → → → ∴PQ=(-3,2, )=RS,∴PQ∥RS, 3 又∵R?PQ,∴PQ∥RS.

综合提高(限时 25 分钟)
7. 已知线段 AB 的两端点坐标为 A(9, -3, 4), B(9, 2, 1), 则线段 AB 与坐标平面 A.xOy 平行 C.yOz 平行 B.xOz 平行 D.yOz 相交 ( ).

解析 因为AB=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3),所以 AB∥平面 yOz. 答案 C 8.已知平面α 内有一个点 A(2,-1,2),α 的一个法向量为 n=(3,1,2),则下列点 P 中 在平面 α 内的是 A.(1,-1,1) 3 C.(1,-3, ) 2 3 B.(1,3, ) 2 3 D.(-1,3,- ) 2 ( ).



解析 要判断点 P 是否在平面 α 内,只需判断向量PA与平面 α 的法向量 n 是否垂直,即 → → → PA·n 是否为 0,因此,要对各个选项进行检验.对于选项 A,PA=(1,0,1),则PA·n 1 → → =(1,0,1)· (3,1,2)=5≠0,故排除 A;对于选项 B,PA=(1,-4, ),则PA·n=(1, 2 1 -4, )· (3,1,2)=0,故 B 正确;同理可排除 C,D.故选 B. 2 答案 B 3 9.已知直线 a,b 的方向向量分别为 m=(4,k,k-1)和 n=(k,k+3, ),若 a∥b,则 k 2 =______. 解析 ①当 k=0 时,a 与 b 不平行.



k-1 4 k ②当 k≠0 时,由 = = 解得 k=-2. k k+3 3 2 答案 -2 19 5 5 10.若 A(0,2, ),B(1,-1, ),C(-2,1, )是平面 α 内的三点,设平面 α 的法向量 a 8 8 8 =(x,y,z),则 x∶y∶z=________. 7 → 7 → 解析 AB=(1,-3,- ),AC=(-2,-1,- ), 4 4 → x-3y- z=0, ?x=3y, ? 4 AB=0, ? ?a· 由? 得? 解得? → 7 4 ?a· AC=0, ? -2x-y- z=0, z=- y, 7 2

?

4

?

3

2 4 则 x∶y∶z= y∶y∶(- y)=2∶3∶(-4). 3 3 答案 2∶3∶(-4) 11. 如图所示, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M、 N 分别是 C1C、 B1C1 的中点.求证:MN∥平面 A1BD. 证明 法一 如图所示,以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的 棱长为 1,则可求得 1 1 M(0,1, ),N( ,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1, 2 2 1,0), 1 → 1 → → 于是MN=( ,0, ),DA1=(1,0,1),DB=(1,1,0), 2 2 设平面 A1BD 的法向量是 n=(x,y,z),
? ?x+z=0, → → 则 n· DA1=0,且 n· DB=0,得? ? ?x+y=0.

取 x=1,得 y=-1,z=-1,∴n=(1,-1,-1). 1 1 → 又MN·n=( ,0, )· (1,-1,-1)=0, 2 2 ∴MN⊥n.又 MN?平面 A1BD, ∴MN∥平面 A1BD. 1→ → → → 1 → 1→ 1 → → 法二 ∵MN=C1N-C1M= C1B1- C1C= (D1A1-D1D)= DA1, 2 2 2 2 ∴MN∥DA1,而 MN?平面 A1BD,DA1?平面 A1BD,∴MN∥平面 A1BD.







12.(创新拓展)如图,O 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面中心, P 是 DD1 的中点,Q 点在 CC1 上,问:当点 Q 在 CC1 的什么 位置时,平面 BD1Q∥平面 APO? 解 以 D 为原点,分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 2,则 O(1,1,0),P(0,0,1),A(2,0, 0),B(2,2,0),D1(0,0,2), 设 Q(0,2,z)(0≤z≤2), 那么OP=(-1,-1,1), BD1=(-2,-2,2), ∴OP∥BD1,又 B?OP,∴OP∥BD1. 又AP=(-2,0,1),BQ=(-2,0,z), 显然当 z=1 时,AP∥BQ,由于 B?AP, ∴AP∥BQ,此时平面 AOP∥平面 D1BQ. ∴当 Q 为 CC1 的中点时,平面 AOP∥平面 D1BQ.


















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