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高考数学(理)大一轮复习精讲课件:第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等关系与不等式


第六章

不等式、推理与证明

第一节

不等关系与不等式

基础盘查一

两个实数比较大小的方法

(一)循纲忆知

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系; 2.了解不等式(组)的实际背景.

(二)小题查验
判断正误
(1)不等关系是通过不等式来体现的,离开了不等式,不等关系 就无从体现 ( √ )

(2)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中 的一种
a (3)若b>1,则a>b

( √ )
( ×)

基础盘查二
(一)循纲忆知

不等式的基本性质

掌握不等式的性质及应用.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不 变 ( × ) ( × )
( × )

(2)一个非零实数越大,则其倒数就越小
(3)同向不等式具有可加和可乘性

a b (4)a>b>0,c>d>0?d>c 1 1 (5)若ab>0,则a>b?a<b

(√ ) ( √ )

2.(人教 A 版教材习题改编)用不等号“>”或“<”填空:

> b-d; (1)a>b,c<d?a-c___ < bd; (2)a>b>0,c<d<0?ac___
3 > (3)a>b>0? a___ b;
1 1 (4)a>b>0? 2___ . a < b2

3

考点一

比较两个数?式?的大小 (基础送分型考点——自主练透)

[必备知识]
两个实数比较大小的法则

关系 a>b
a=b a<b

法则 作差法则 a-b>0 a-b=0 a-b<0 作商法则 a a b>1(a,b>0)或b<1(a,b<0) a b=1(b≠0) a a b<1(a,b>0)或b>1(a,b<0)

[题组练透]
1.已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大 小关系是 A.M<N C. M = N B . M >N D.不确定 ( )

解析:M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1), 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1), ∴a1-1<0,a2-1<0. ∴(a1-1)(a2-1)>0,即 M-N>0. ∴M >N.

ln 2 ln 3 < b(填“>”或“<”). 2.若a= ,b= ,则a____ 2 3

b 2ln 3 解析:易知a,b都是正数,a= =log89>1,所以b>a. 3ln 2

3 3.若实数a≠1,比较a+2与 的大小. 1-a

-a2-a-1 a2+a+1 3 解:∵a+2- = = . 1- a 1-a a-1 3 ∴当a>1时,a+2> ; 1-a 3 当a<1时,a+2< . 1-a

[类题通法]

比较两个数(式)大小的两种方法 (1)比较大小时,要把各种可能的情况都考虑进去,对不确 定的因素需进行分类讨论,每一步运算都要准确,每一步推理 都要有充分的依据.
(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、 对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与 1比较大小.

考点二

不等式的性质 (重点保分型考点——师生共研)

[必备知识]
1.不等式的基本性质
(1)对称性: a>b?b<a.

(2)传递性: a>b,b>c?a>c. (3)可加性: a>b?a+c>b+c.

(4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc.
(5)加法法则: a>b,c>d?a+c>b+d.

(6)乘法法则: a>b>0,c>d>0?ac>bd.

(7)乘方法则: a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2). n n (8)开方法则:a>b>0? a> b(n∈N,n≥2).

2.不等式的倒数性质 1 1 (1)a>b,ab>0?a<b.
1 1 (2)a<0<b?a<b.
a b (3)a>b>0,0<c<d? c>d.
[提醒] 不等式两边同乘数 c 时,要特别注意“乘数 c 的
符号”.

[典题例析]
1.(2013· 天津高考)设a,b∈R则“(a-b)· a2<0”是“a<b”的 ( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:(a-b)· a2<0,则必有a-b<0,即a<b;而a<b时,不 能推出(a-b)· a2<0,如a=0,b=1,所以“(a-b)· a2<0”是 “a<b”的充分而不必要条件.

2.(2015· 西宁二模)已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( A.若a>b,则ac2>bc2 a b B.若 c>c ,则a>b 1 1 C.若a >b 且ab<0,则a>b
3 3

)

1 1 D.若a >b 且ab>0,则a<b
2 2

解析:当c=0时,可知A不正确;当c<0时,可知B不正确; 1 1 由a >b 且ab<0知a>0且b<0,所以 a > b 成立,C正确;当a
3 3

<0且b<0时,可知D不正确.

[类题通法]

(1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例 说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.
(2)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命 题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应 用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比 如对数函数,指数函数的性质等.

[演练冲关]

1.若 a>b>0,则下列不等式不成立的是 1 1 A.a<b C.a+b<2 ab B.|a|>|b|
?1?a ?1?b D.?2? <?2? ? ? ? ?

(

)

1 1 解析:∵a>b>0,∴ a < b ,且|a|>|b|,a+b>2 ab ,又2a>2b,
?1? ?1? ∴?2?a<?2?b,选C. ? ? ? ?

a b 2.若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论:①ad>bc;② d + c < 0;③a-c>b-d;④a(d-c)>b(d-c)中成立的个数是 A.1 C.3 B. 2 D.4 ( )

解析:法一:∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0, ∴ad<bc,故①错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0, ∵c<d<0,∴-c>-d>0, ∴a(-c)>(-b)(-d),

a b ac+bd ∴ac+bd<0,∴d+ c= cd <0, 故②正确. ∵c<d,∴-c>-d, ∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d), a-c>b-d,故③正确. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c), 故④正确,故选C. 法二:取特殊值.

考点三

不等式性质的应用 (题点多变型考点——全面发掘)
[一题多变]

[典型母题]
已知函数 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求 f(-2)的 取值范围.

[解 ]

f(-1)=a-b,f(1)=a+b.

f(-2)=4a-2b. 设m(a+b)+n(a-b)=4a-2b.
? ?m+n=4, 则? ? ?m-n=-2, ? ?m=1, 解得? ? ?n=3.

∴f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1). ∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤f(-2)≤10. 即f(-2)的取值范围为[5,10].

[题点发散1]

若本例中条件变为:已知函数f(x)=ax2+bx,且

1<f(-1)≤2,2≤f(1)<4,求f(-2)的取值范围.

解:由本例知f(-2)=f(1)+3f(-1). 又∵1<f(-1)≤2,2≤f(1)<4, ∴5<3f(-1)+f(1)<10, 故5<f(-2)<10. 故f(-2)的取值范围为(5,10).

[题点发散 2]

若本例条件已知函数 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,

2≤f(1)≤4.求 f(-2)的取值范围不变,求 2a-3b 的取值范围.

解:设2a-3b=m(a+b)+n(a-b) 1 ? ? ?m=-2, ?m+n=2, 则由待定系数法可得? 解得? ? m - n =- 3 , ? ?n=5, 2 ? 1 5 1 5 所以2a-3b=- (a+b)+ (a-b)=- f(1)+ f(-1) 2 2 2 2 1 ∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴-2≤- f(1)≤-1, 2
?1 ? 5 5 1 ≤ f(-1)≤5,∴ ≤2a-3b≤4.故2a-3b的取值范围为?2,4?. 2 2 2 ? ?

[题点发散3]

若本例条件变为:

x x2 已知1≤lg xy≤4,-1≤lgy ≤2,求lg y 的取值范围.
x 解:由1≤lg xy≤4,-1≤lg y≤2, 得1≤lg x+lg y≤4,-1≤lg x-lg y≤2, x2 1 3 而lg y =2lg x-lg y= (lg x+lg y)+ (lg x-lg y), 2 2 x2 x2 所以-1≤lg y ≤5,即lg y 的取值范围是[-1,5].

[类题通法]

利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但应注意 两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等 式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建 立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过 “一次性”不等关系的运算求解范围.

“课后演练提能”见“课时跟踪检测(三十五)”
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