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《导数的概念》参考教案2


3.1.2 导数的概念
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 教学目标 2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; 3.会求函数在某点的导数. 教学重点 教学难点 课前准备 瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念. 导数的概念. 多媒体课件

一、 【创设情境】 1、平均变化率 2、探究
65 0?t? 49 这段

时间里的平均速度,并思考以下问题: 计算运动员在
h

(1)运动员在这段时间内使静止的吗? (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
2 探究过程: 如图是函数 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 的图像,

o

65 h( ) ? h(0) 结合图形可知, 49 ,

t

v?
所以

h(

65 ) ? h(0) 49 ? 0( s / m) 65 ?0 49
0?t? 65 49 这段时间里的平均速度为 0(s / m) ,但实际情况是运动员仍然运动,

虽然运动员在

并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. 二、 【新知探究】 1.瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的 瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如, t ? 2 时的瞬时速度是多少?考察 t ? 2 附近 的情况:
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思考: 当 ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 有什么样的变化趋势? 结论: 当 ?t 趋近于 0 时,即无论 t 从小于 2 的一边,还是从大于 2 的一边趋近于 2 时,平均速 度 v 都趋近于一个确定的值 ?13.1 . 从物理的角度看,时间

?t

间隔无限变小时,平均速度 v 就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运

动员在 t ? 2 时的瞬时速度是 ?13.1m / s
h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ?13.1 ?t 为了表述方便,我们用 ?t ?0 lim

表示“当 t ? 2 , ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 趋近于定值 ?13.1 ” 小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似 值过渡到瞬时速度的精确值. 2.导数的概念 从函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是:
?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? lim ?x ? 0 ?x ?x

' y' | 我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 出的导数,记作 f ( x0 ) 或 x? x0



f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

说明: (1)导数即为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率; (2) ?x ? x ? x0 ,当 ?x ? 0 时, x ? x0 ,所以
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f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0 .

【例题精析】 例 1 (1)求函数 y ? 3x 在 x ? 1 处的导数.
2 2 (2)求函数 f ( x) ? ? x ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出该点处的导数.

?y ?y lim ? f ? ? y ? f ( x ? ? x ) ? f ( x ) ? x ? 0 ?x . 0 0 ,再求 ? x ,最后求 分析: 先求

解: (1)法一 定义法(略)
y? |x ?1 ? lim 3x 2 ? 3 ?12 3( x 2 ? 12 ) ? lim ? lim3( x ? 1) ? 6 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

法二

?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x ?x (2) ?x f ?(?1) ? lim ?y ?(?1 ? ?x)2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? lim (3 ? ?x) ? 3 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

例 2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第
2 xh 时,原油的温度(单位: C )为 f ( x) ? x ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) ,计算第 2 h 时和第 6 h 时,原油温度的

瞬时变化率,并说明它们的意义.
' ' 解: 在第 2h 时和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率就是 f (2) 和 f (6)

f (2 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? ?x 根据导数定义 ?x

?

(2 ? ?x)2 ? 7(2 ? ?x) ? 15 ? (22 ? 7 ? 2 ? 15) ? ?x ? 3 ?x
f ?(2) ? lim
?x ?0

所以

?f ? lim (?x ? 3) ? ?3 ?x ?x?0

同理可得: f ?(6) ? 5

在第 2h 时和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为 ?3 和 5 , 说明在第 2h 附近,原油温度大约以 3 C / h 的速率下降 在第 6h 附近,原油温度大约以 5 C / h 的速率上升.
' 注: 一般地, f ( x0 ) 反映了原油温度在时刻 x0 附近的变化情况.

课堂练习
2 1.质点运动规律为 s ? t ? 3 ,求质点在 t ? 3 的瞬时速度为.
3 2.求曲线 y ? f ( x) ? x 在 x ? 1 时的导数.

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3.例 2 中,计算第 3h 时和第 5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 四、 【课堂小结】 1.瞬时速度、瞬时变化率的概念. 2.导数的概念.

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