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2018版高中数学(北师大版)必修1同步练习题:模块综合测评(一)


模块综合测评(一)
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={4,5},则(A∩B)∪C 为( A.{3,4} C.{4,5,6} 【解析】 【答案】 B.{3,4,5} D.{3,4,5,6} 依题意得,A∩B={3,4},所以(A∩B)∪C={3,4,5},选 B. B ) )

2. 下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是( 1 A.y=x2 C.y=x-1 【解析】 B.y=x4 D.y=x3

1 选项 A 中 y=x2= x是非奇非偶的函数,选项 C 中 y=x-1 是奇

函数,对于选项 D 中 y=x3 也是奇函数,均不满足题意;选项 B 中 y=x4 是偶函 数,且过点(0,0),(1,1),满足题意.故选 B. 【答案】 B 1+x2 ,则有( 1-x2 )

3. 已知函数 f(x)=

?1? A.f(x)是奇函数,且 f? x?=-f(x) ? ? ?1? B.f(x)是奇函数,且 f?x?=f(x) ? ? ?1? C.f(x)是偶函数,且 f?x?=-f(x) ? ? ?1? D.f(x)是偶函数,且 f? x?=f(x) ? ? 1+?-x?2 1+x2 ?1? 【解析】 因为 f(-x)= 2= 2=f(x),故 f(x)为偶函数,又 f? ?= ?x? 1-?-x? 1-x

1 1+x2

1+x2 1 =x2-1=-f(x). 1-x2 【答案】 C log2?x-1? 的定义域为 A,g(x)= ln?1-x?的定义域为 B, 2-x

4. 若函数 f(x)= 则?R(A∪B)=( A.[2,+∞) )

B.(2,+∞) D.(0,1)∪(2,+∞)

C.(0,1]∪[2,+∞) 【解析】

?x-1>0, 由题意知,? ?1<x<2. ?2-x>0

∴A=(1,2). ?1-x>0, ? ?x≤0.∴B=(-∞,0], ?ln?1-x?≥0 A∪B=(-∞,0]∪(1,2), ∴?R(A∪B)=(0,1]∪[2,+∞). 【答案】 C )

5. 三个数 a=0.72,b=log20.7,c=20.7 之间的大小关系是( A.a<c<b C.b<a<c 【解析】 【答案】 B.a<b<c D.b<c<a

∵0<a=0.72<1,b=log20.7<0,c=20.7>1.∴b<a<c.故选 C. C

6. 已知定义域在(-1,1)上的奇函数 f(x)是减函数,且 f(a-3)+f(9-a2)<0, 则 a 的取值范围是( A.(2 2,3) C.(2 2,4) 【解析】 ) B.(3, 10) D.(-2,3)

由 f(a-3)+f(9-a2)<0,得 f(a-3)<-f(9-a2);又奇函数满足

f( - x) =- f(x) ,得 f(a - 3) < f(a2 - 9) ;因为 f(x) 是 ( - 1,1) 上的减函数,所以

3<1, ?-1<a- ?-1<a2-9<1, ?a-3>a2-9, 【答案】 A

解得 2 2<a<3.

x+3 7. 为了得到函数 y=lg 10 的图像,只需把函数 y=lg x 的图像上所有的点 ( ) A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 【解析】 x+3 由 y=lg 10 得 y=lg(x+3)-1,由 y=lg x 的图像向左平移 3 个

单位,得 y=lg(x+3)的图像,再向下平移一个单位得 y=lg(x+3)-1 的图像.故 选 C. 【答案】 C 1? 等于( 2? ? )

? 8. 已知函数 f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1,则 f(lg 2)+f?lg ?

【导学号:04100084】 A.-1 【解析】 B.0 C.1 D.2

f(x)+f(-x)=ln( 1+9x2-3x)+ln( 1+9x2+3x)+ 2=ln(1+9x2 1? =f(lg 2)+f(-lg 2)=2.故选 2? ?

? -9x2)+2=ln 1+2=2, 由上式关系知 f(lg 2)+f?lg ? D. 【答案】 D

9. 已知 lg a+lg b=0,函数 f(x)=ax 与 g(x)=-logbx 的图像可能是(

)

【解析】 由 lg a+lg b=0 得 ab=1,当 a>1 时,0<b<1,结合选项知 B 正 确. 【答案】 B

10. 已知函数 f(x)=2x+x, g(x)=log3x+x, h(x)=x- c 则( ) B.c<b<a D.b<a<c

1 的零点依次为 a, b, x

A.a<b<c C.c<a<b

【解析】 在同一坐标系下分别画出函数 y=2x,y=log3x,y=- 如图,观察它们与 y=-x 的交点可知 a<b<c.故选 A.

1 的图像, x

【答案】

A

11. 已知 f(x)的定义域为 x∈R 且有 x≠1,已知 f(x+1)为奇函数,当 x<1 时,f(x)=2x2-x+1,那么,当 x>1 时,f(x)的递减区间是( ?5 ? A.?4,+∞? ? ? ?7 ? C.?4,+∞? ? ? 【解析】 5? ? B.?1,4? ? ? 7? ? D.?1,4? ? ? )

由题意知,f(x+1)为奇函数,则 f(-x+1)=-f(x+1).

令 t=-x+1,则 x=1-t,故 f(t)=-f(2-t),即 f(x)=-f(2-x). 设 x>1,则 2-x<1. ∵当 x<1 时,f(x)=2x2-x+1, ∴f(2-x)=2(2-x)2-(2-x)+1=2x2-7x+7, ∴f(x)=-f(2-x)=-2x2+7x-7, 7 ?7 ? ∴函数的对称轴为 x=4.故所求的减区间是?4,+∞?.故选 C. ? ? 【答案】 C

-x2-ax-5,x≤1, ? ? 12. 已知函数 f(x)=?a ,x>1, ? ?x 范围是( )

是 R 上的增函数,则 a 的取值

A.-3≤a<0

B.-3≤a≤-2

C.a≤-2

D.a≤0 -x2-ax-5,x≤1, ? ? ∵函数 f(x)=?a ,x>1 ? ?x

【解析】

是 R 上的增函数,

a 设 g(x)=-x2-ax-5(x≤1),h(x)= x(x>1), 由分段函数的性质可知,函数 g(x)=-x2-ax-5 在(-∞,1]单调递增,函 a 数 h(x)= x在(1,+∞)单调递增,且 g(1)≤h(1), a ? -2≥1, ? ∴?a<0, ? ?-a-6≤a,

?a≤-2, ∴?a<0, ?a≥-3,

解得-3≤a≤-2.故选 B. 【答案】 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横 线上) 13. 化简 的结果为________. =-9a.

【解析】 【答案】

原式= -9a

?1? 14. 方程?2?x=3-x2 的实数解的个数是________. ? ? 【导学号:04100085】 【解析】 ?1? 令 f(x)=?2?x,g(x)=3-x2. ? ?

作出两函数图像如图.

由图可知 f(x)与 g(x)有两个交点. ?1? 故方程?2?x=3-x2 的实数解的个数为 2. ? ?

【答案】

2

15. 已知(1.40.8)a<(0.81.4)a,则实数 a 的取值范围是____________. 【解析】 ∵1.40.8>1,0<0.81.4<1,

且(1.40.8)a<(0.81.4)a, ∴y=xa 为减函数, ∴a 的取值范围是(-∞,0). 【答案】 (-∞,0)

16. 关于 x 的方程 |x2 - 1| = a 有三个不等的实数解,则实数 a 的值是 __________. 【解析】 构造函数 y1=|x2-1|,y2=a,画出函数的图形,如图所示,则可 得关于 x 的方程|x2-1|=a 有三个不等的实数解时,a=1.

【答案】

1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)计算下列各式的值: ?9? (1)(ln 5)0+?4?-0.5+ ?1- 2?2-2log42; ? ? (2)log21-lg 3· log32-lg 5. 【解】 1 ??3? ? (1)原式=1+??2?2?-0.5+|1- 2|-2 2 ?? ? ?

2 ?3? =1+?2?-1+ 2-1- 2=3. ? ? lg 2 (2)原式=0-lg 3· lg 3-lg 5 =-(lg 2+lg 5)=-lg(2×5)=-1.
? ? 1 ? 18. (本小题满分 12 分)已知集合 A={x|0<ax+1≤5},B=?x?-2<x≤2? . ? ? ?

(1)若 A?B,求实数 a 的取值范围; (2)若 A∩B=B,求实数 a 的取值范围; (3)是否存在实数 a 使得 A∪B=A∩B?若存在,求出 a 的值;若不存在,试 说明理由. 【解】 A 中不等式的解应该分三种情况讨论确定:

①当 a=0 时,A=R;
? ?4 ? ? 1 ? ②当 a<0 时,A=?x?a≤x<-a ?; ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 4 ? ③若 a>0,则 A=?x?-a<x≤a ?. ? ? ? ? ?

4 1 ? ?a>-2, (1)若 a<0,若 A?B,则? 1 ? ?-a≤2 4 ? ?a≤2, 若 a>0,若 A?B,则? 1 1 ? ?-a≥-2

?a<-8.

?a≥2.

故由 A?B 得 a 的取值范围是{a|a<-8,或 a≥2}. (2)由 A∩B=B 知,B?A, 4 1 ? ?a≤-2, 当 a=0 时,显然 B?A;当 a<0 时,若 B?A,则? 1 - ? ? a>2 <0. 4 ? ?a≥2, 当 a>0 时,若 B?A,则? 1 1 ? ?-a<-2 1 ?-2<a

?0<a≤2.

? ? ? ? 1 ? 若 A∩B=B,则实数 a 的取值范围是?a?-2<a≤2 ?. ? ? ? ? ?

(3)由 A∪B=A∩B 得,A=B,即 A?B,B?A,结合(1)(2)知,a=2. 19. (本小题满分 12 分)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 当 0≤x≤2 时, y=x, 当 x>2 时,y=f(x)的图像是顶点为 P(3,4),且过点 A(2,2)的抛物线的一部分.

(1)求函数 f(x)在(2,+∞)上的解析式; (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数 f(x)的图像; (3)写出函数 f(x)的值域及单调增区间.

图1 【解】 (1)设顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的方程为 y=a(x-3)2+4, 将(2,2)代入可得 a=-2, 所以 y=-2(x-3)2+4, 即 x>2 时,f(x)=-2x2+12x-14. (2)函数 f(x)的图像如图:

(3)由图像可知, 函数 f(x)的值域为(-∞, 4], 单调增区间为(-∞, -3), (0,3). 1+x 20. (本小题满分 12 分)已知 f(x)=log2 . 1-x (1)判断 f(x)的奇偶性并证明; (2)判断 f(x)的单调性并用单调性定义证明; ? 1? (3)若 f(x-3)+f?-3?<0,求实数 x 的取值范围. ? ? 【解】 ∵ (1)f(x)在(-1,1)上为奇函数,证明如下:

1+x >0,∴-1<x<1,∴定义域为(-1,1)关于原点对称, 1-x 1-x 1+x ?1+x?-1 ? =-log2 =log2? =-f(x), 1+x 1-x ?1-x?

又 f(-x)=log2

∴f(x)为(-1,1)上的奇函数.

(2)f(x)在(-1,1)上单调递增,证明如下: 设-1<x1<x2<1, 则 f(x1)-f(x2)=log2 1+x1 1+x2 ?1+x1??1-x2? -log2 =log2 . 1-x1 1-x2 ?1-x1??1+x2?

又-1<x1<x2<1, ∴(1+x1)(1-x2)-(1-x1)(1+x2)=2(x1-x2)<0, 即 0<(1+x1)(1-x2)<(1-x1)(1+x2), ∴0< ?1+x1??1-x2? <1, ?1-x1??1+x2? ?1+x1??1-x2? <0, ?1-x1??1+x2?

∴log2

∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-1,1)上单调递增. (3)∵f(x)为(-1,1)上的奇函数, ? 1? ?1? ∴f(x-3)<-f?-3?=f?3?. ? ? ? ? 又 f(x)在(-1,1)上单调递增, 1 10 ∴-1<x-3<3,得 2<x< 3 . 21. (本小题满分 12 分)某公司生产一种产品, 每年需投入固定成本 0.5 万元, 此外每生产 100 件这样的产品,还需增加投入 0.25 万元,经市场调查知这种产 1 ? ? 品年需求量为 500 件, 产品销售数量为 t 件时, 销售所得的收入为?0.05t-20 000t2? ? ? 万元. (1)该公司这种产品的年生产量为 x 件,生产并销售这种产品所得到的利润 关于当年产量 x 的函数为 f(x),求 f(x); (2)当该公司的年产量为多少件时,当年所获得的利润最大. 【导学号:04100086】 【解】 (1)当 0<x≤500 时,

x 1 x2 19 1 ? ? 2 f(x)=0.05x-20 000x -?0.25×100+0.5?=-20 000+400x-2, ? ? x 1 1 ? ? 当 x>500 时,f(x)=0.05×500-20 000×5002-?0.25×100+0.5?=12-400 ? ?

x, 故 f(x)= 1 19 1 2 ? ?-20 000x +400x-2?0<x≤500?, ? 1 ? ?12-400x?x>500?. (2)当 0<x≤500 时, x2 19 1 1 345 f(x)=-20 000+400x-2=-20 000(x-475)2+ 32 , 345 故当 x=475 时,f(x)max= 32 . 1 5 344 345 当 x>500 时,f(x)=12-400x<12-4= 32 < 32 , 故当该公司的年产量为 475 件时,当年获得的利润最大. 22. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)对任意实数 x, y 都有 f(xy)=f(x)f(y), 且 f(-1)=1,f(27)=9,当 0≤x<1 时,f(x)∈[0,1). (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)判断 f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明; 3 (3)若 a≥0 且 f(a+1)≤ 9,求实数 a 的取值范围. 【解】 (1)令 y=-1,

则 f(-x)=f(x)· f(-1). 因为 f(-1)=1, 所以 f(-x)=f(x),f(x)为偶函数. (2)f(x)在[0,+∞)上单调递增.证明如下: 设 0≤x1<x2, x1 所以 0≤x <1,
2

?x1 ? ?x1? x ?=f? ?· f(x1)=f?x · f(x ). ? 2 2? ?x2? 2 当 x≥0 时,f(x)=f( x)· f( x)=[f( x)]2≥0, f(x)不恒为零. 因为 0≤x<1 时,f(x)∈[0,1),

?x1? 所以 f?x ?<1,所以 f(x1)<f(x2). ? 2? 故 f(x)在[0,+∞)上是增函数. (3)因为 f(27)=9,又 f(3×9)=f(3)×f(9)=f(3)· f(3)2=[f(3)]3, 所以 9=[f(3)]3, 3 所以 f(3)= 9, 3 因为 f(a+1)≤ 9, 所以 f(a+1)≤f(3), 因为 f(x)在[0,+∞)上为增函数, 且 a≥0,a+1∈[1,+∞), 所以 a+1≤3,即 a≤2, 故 0≤a≤2.


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