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浙江省2015届高三第一次五校联考数学(理)试题


2014 数学(理科)试题卷
一、选择题: 1.已知全集为 R ,集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 ,则 A ? CR B ? (
x 2

?

?

(A) x x ? 0 (B) x 2 ? x ? 4

?

?

?

?

(C) x 0 ? x ? 2或x ? 4

?

?

?

?



(D) x 0 ? x ? 2或x ? 4 ) (D) 6 )

?

?

2.在等差数列 ?an ? 中, a4 ? 2 ? a3 ,则此数列 ?an ? 的前 6 项和为( (A) 12 (B) 3 (C) 36 3.已知函数 y ? f ( x) ? x 是偶函数,且 f (2) ? 1 ,则 f (?2) ? (

(A) ?1 (B) 1 (C) ?5 (D) 5 4.已知直线 l , m ,平面 ? , ? 满足 l ? ? , m ? ? ,则“ l ? m ”是“ ? / / ? ”的( ) (A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

?? ? ? ( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到 f ? x ? 的图象,只 3? ? ?? ? 需将函数 g ? x ? ? sin ? ? x ? ? 的图象( ) 3? ? ? ? (A)向左平移 个单位长度 (B)向右平移 个单位长度 2 2 ? ? (C)向左平移 个单位长度 (D)向右平移 个单位长度 4 4
5.函数 f ? x ? ? cos ? ? x ? 6.右图为一个几何体的侧视图和俯视图,若该几何体的体积为 则它的正视图为( 1 1 ) 1 1

4 , 3

1

1 1

1

1

1

1 1

侧视图

1 1 1 1 ( B ) ( C (A (D ) ) ) 7.如图,在正四棱锥 S ? ABCD 中, E , M , N 分别是 BC, CD, SC 的中点, 动点 P 在线段 MN 上运动时, 下列四个结论: ① EP ? AC ; ② EP / / BD ;③ EP // 面SBD;④ EP ? 面SAC .中恒成立的为 ( ) (A)①③ (B)③④ (C)①② (D)②③④ 8 . 已 知 数 列 ?an ? 满 足 : a1 ? 1 , an ?1 ?

1
俯视图

S

N
A B D E

an (n ? N ? ) . 若 an ? 2

1 bn ?1 ? (n ? 2? )? ( ? 1) (n ? N ? ) , b1 ? ?? ,且数列 ?bn ? 是单调 an 递增数列,则实数 ? 的取值范围是( )

.

C

M

(第 7 题图)

-1-

(A) ?

?

2 3

(B) ?

?

3 2

(C) ?

?

2 3

(D) ?

?

3 2

9.定义 max{a, b} ? ?

? ?a, a ? b ?x ?2 ,设实数 x, y 满足约束条件 ? ,则 y ? 2 ?b, a ? b ? ?
(D) [?7,8]

) z ? max{4 x ? y,3x ? y} 的取值范围是( (A) [?8,10] (B) [?7,10] (C) [?6,8] 10.已知函数 f ( x) ? ? 数不可能 为( ... (A) 5 个 ) (B) 6 个 (C) 7 个

? log5 (1 ? x) ??( x ? 2) ? 2
2

( x ? 1) ( x ? 1)

,则关于 x 的方程 f ( x ?

1 ? 2) ? a 的实根个 x
(D) 8 个

二、填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. 11.函数 f ( x) ?

1 的定义域为_____▲____. log2 ( x ? 2)

12.已知三棱锥 A ? BCD 中, AB ? AC ? BD ? CD ? 2 , BC ? 2 AD ? 2 2 ,则直线 AD 与底面 BCD 所成角为_____▲____.

3 ? 3? , ?? ? ,则 cos 2? ? _____▲____. 4 5 2 2 14.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 3) ? ? f ( x) ,且 f (1) ? 2 ,则 f (2013) ? f (2015) ? _____▲____. 15.设 a1 ,a2 ,???,an ,??? 是按先后顺序排列的一列向量,若 a1 ? (?2014,13) ,
13.已知 cos(? ?

?

)?

且 an ? an?1 ? (1,1) ,则其中模最小的一个向量的序号 n ? ___▲____. 16.设向量 a ? (? ? 2, ? 2 ? 3 cos 2? ) , b = (m, 若 a ? 2b ,则

?

m ? sin ? cos ? ) ,其中 ? , m, ? 为实数. 2

m 2 2 2 2 17.若实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,则 3ab ? 3bc ? 2c 的最大值为____▲____.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)在 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 ?B ? 30 ,
?

的取值范围为_____▲____.

3 ? ABC 的面积为 . 2 (Ⅰ)当 a, b, c 成等差数列时,求 b ;
(Ⅱ)求 AC 边上的中线 BD 的最小值.

D

C

19. (本题满分 14 分) 四棱锥 P ? ABCD 如图放置, AB / /CD, BC ? CD , AB ? BC ? 2 ,

P A B

CD ? PD ? 1 , ? PAB 为等边三角形. ( Ⅰ ) 证 明 : P D? 面 P A B ; (Ⅱ)求二面角 P ? CB ? A 的平面角的余弦值.

-2-

20.本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x x ? a ,其中 a ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若不等式 4 ? f ( x) ? 16 在 x ? [1, 2] 上恒成立,求 a 的取值范围.

21. (本题满分 15 分)已知数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设 bn

?an ? 的通项公式;

?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? n .

?

1 n an ,记数列 ?bn ? 的前 n 和为 Tn ,证明: ? ? Tn ? ? 0 . 3 2 an?1

22. (本题满分 14 分)给定函数 f ( x ) 和常数 a , b ,若 f (2 x) ? af ( x) ? b 恒成立,则称 ( a, b) 为函数 f ( x ) 的一个“好数对” ;若 f (2 x) ? af ( x) ? b 恒成立,则称 ( a, b) 为函数 f ( x ) 的一个 “类好数对” .已知函数 f ( x ) 的定义域为 [1, ??) . (Ⅰ)若 (1,1) 是函数 f ( x ) 的一个“好数对” ,且 f (1) ? 3 ,求 f (16) ; (Ⅱ)若 (2, 0) 是函数 f ( x ) 的一个“好数对” ,且当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 2 x ? x 2 ,求证: 函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点;

2 ,2 )? (Ⅲ) 若(


是函数 f ( x ) 的一个 “类好数对” ,f (1) ? 3 , 且函数 f ( x ) 单调递增, 比较 f ( x )

x ? 2 的大小,并说明理由. 2

-3-

2014 学年浙江省第一次五校联考

数学(理科)答案.
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. (1)C (2)D (3)D (4)C (5)C (6)B (7)A (8)C (9)B (10)A 二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分. (11)

?x x ? 2且x ? 3?

(12) 60

?

(13)

(14) ? 2 (15)1002 或 1001 (16) [?6,1] (17) 3 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (18) 解: (Ⅰ)由条件 a ? c ? 2b, ac ? 6 , 而b
2

?24 25

? a2 ? c2 ? 3ac ? (a ? c)2 ? (2 ? 3)ac ? 4b2 ? 6(2 ? 3) .
2

即 3b

? 6(2 ? 3) ,解得 b ? 1 ? 3 ????7



??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BA ? BC BA ? BC 2 BA ? BC ? 2 BA ? BC ) ? (Ⅱ)∵ BD ? ,∴ BD ? ( 2 2 2

a 2 ? c 2 ? 3ac 2ac ? 3ac 12 ? 6 3 3 ? 3 ? ? ? ? 2 2 2 2 当 a ? c ? 6 时取等号????14 分
(19)解法 1: (Ⅰ)易知在梯形 ABCD 中, AD= 5 ,而 PD ? 1,AP ? 2 ,则 PD ? PA 同理 PD ? PB ,故 PD ? 面PAB ;????6 分 (Ⅱ)取 AB 中点 M ,连 PM , DM , 作 PN ? DM ,垂足为 N ,再作 NH ? BC ,连 HN 。 易得 AB ? 面DPM ,则 面ABCD ? 面DPM 于是 PN ? 面ABCD , BC ? 面NPH 即 ?NHP 二面角 P ? CB ? A 的平面角。 在 ?NHP 中 , PN ?

D N P A M

C

H B

3 7 ,PH ? , NH ? 1, ∴ 2 2

cos ?NHP=

2 7 , 7
D

z C

2 7 故二面角 A ? PB ? C 的平面角的余弦值为 ?14 分 7
解法 2: (Ⅰ)易知在梯形 ABCD 中, AD= 5 , 而 PD ? 1,AP ? 2 ,则 PD ? PA 同理 PD ? PB ,故 PD ? 面PAB ;????6 分 (Ⅱ)如图建系,则

P A x B

y

P(0,0,0), B( 3,1,0), C(0,1,1), A( 3, ?1,0), , ?? ??? ? ?? ??? ? ?? 设平面 CPB 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,则 m ? PC ? 0 ? m ? PB

-4-

?? ? 3x ? y ? 0 ? ,取 m ? (?1, 3, ? 3) , ? ? y?z ?0 ? ??? ? ? ??? ? ? 又设平面 ABC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则, n ? CA ? 0 ? n ? CB
即? 即?

? ?

3x ? z ? 0

?? ? ?? ? m?n 4 2 7 故 cos ? m, n ? = ?? ? ? ? 7 m?n 2 7
故二面角 A ? PB ? C 的平面角的余弦值为

? ? 3x ? 2 y ? z ? 0

,取 n ? (?1,0, ? 3) ,

?

2 7 ????14 分 7

? ?( x ? a)2 ? a 2 ( x ? a) ? (20)解: (Ⅰ) f ( x) ? ? a 2 a2 3( x ? ) ? ( x ? a) ? 3 3 ? 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (??, a) 和 (a, ??) 上均递增,∵ f (a) ? a2 ,则 f ( x ) 在 R 上递增 a a 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (??, a) 和 ( , ??) 上递增,在在 (a, ) 上递减 ????6 分 3 3 (Ⅱ)由题意只需 f min ( x) ? 4, f max ( x) ? 16 首先,由(Ⅰ)可知, f ( x ) 在 x ? [1, 2] 上恒递增 1 5 则 fmin ( x) ? f (1) ? 1 ? 2 1 ? a ? 4 ,解得 a ? ? 或 a ? 2 2 5 5 其次,当 a ? 时, f ( x ) 在 R 上递增,故 f max ( x) ? f (2) ? 4a ? 4 ? 16 ,解得 ? a ? 5 2 2 1 1 当 a ? ? 时, f ( x ) 在 [1, 2] 上递增,故 f max ( x) ? f (2) ? 12 ? 4a ? 16 ,解得 ?1 ? a ? ? 2 2 1 5 综上: ?1 ? a ? ? 或 ? a ? 5 ????15 分 2 2
(21)解: (Ⅰ)由 Sn

an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) 即数列 ?an ? 1? 成等比, an ? 1 ? 2n ,故 an ? 2n ?1????7 分
an 2n ? 1 ? n?1 an?1 2 ? 1
???9 分

? 2an ? n ,及 Sn?1 ? 2an?1 ? n ? 1,作差得 an?1 ? 2an ? 1,

(Ⅱ)∵ bn ? ∴ bn ?

1 2n ? 1 1 ?1 ? n ?1 ? ? n ? 2 2 2 ?1 2 2 ? 2

n 1 1 1 1 ? ?( 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? n?2 ) 2 2 ?2 2 ?2 2 ?2 2 ?2 n 1 1 1 1 ? 4 ? ? ? n?1 ? n? 2 )?0 则 Tn ? ? ?( 3 2 2 ?2 2 ?2 2 ?2 2 ?2 n 即 Tn ? ? 0 ???12 分 2 1 1 1 ? n ? n? 2 n 2 ? 2 2 ? 2 ? 3? 2 3 ? 2n Tn ?
-5-

n 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( 1 ? 2 ??? n ) ? ? ? ?? n 2 3 2 2 2 3 3? 2 3 1 n 故 ? ? Tn ? ? 0 ????15 分 3 2
∴ Tn

?

(22)解: (Ⅰ)由题意, f (2 x) ? f ( x) ? 1 ,且 f (1) ? 3 ,则 f (2n ) ? f (2n?1 ) ? 1
n 则数列 f (2 ) 成等差数列,公差为 d ? 1 ,首项 f (1) ? 3 ,于是 f (16) ? 7 ????4 分

?

?

(Ⅱ)当 2 ? x ? 2
n

x ? 2 ,则由题意得 2n x x x 2x x f ( x) ? 2 f ( ) ? 22 f ( 2 )= ?=2n f ( n ) ? 2n n ? ( n ) 2 ? 2n?1 x ? x 2 2 2 2 2 2
n ?1

时, 1 ?

由 f ( x) ? x ? 0 得, 2n?1 x ? x2 ? x ,解得 x ? 0 或 x ? 2 即当 2 ? x ? 2
n n ?1

n

均不符合条件

时,函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点;

注意到 (1, ??) ? (1, 2] ? (2, 22 ] ??? (2n , 2n?1 ] ?? 故函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点; ????9 分 (Ⅲ)由题意 f (2 x) ? 2 f ( x) ? 2 ,则 f (2n ) ? 2 f (2n?1 ) ? 2 ,即 f (2n ) ? 2 ? 2[ f (2n?1 ) ? 2] 于是 f (2n ) ? 2 ? 2[ f (2n?1 ) ? 2] ? 22[ f (2n?2 ) ? 2] ? ? ? 2n[ f (20 ) ? 2] ? 2n 即 f (2n ) ? 2n ? 2 而对任意 x ? 1 ,必存在 n ? N ,使得 2
n ?1 n
? n ?1

? x ? 2n ,由 f ( x) 单调递增,得

f (2 ) ? f ( x) ? f (2 ) ,则 f ( x) ? f (2n ?1 ) ? 2n ?1 ? 2 ?
故 f ( x) ?

2n x ?2? ?2 2 2

x ? 2 ????14 分 2

-6-


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