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正、余弦定理练习题答案


正 余 弦 定 理 答 案
1.答案:B 解析: 方法一 因为在△ABC 中,A+B+C=π , 即 C=π -(A+B) ,所以 sin C=sin(A+B). 由 2sin Acos B=sin C, 得 2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B, 即 sin Acos B-cos Asin B=0,即 sin(A-B)=0. 又因为-π

<A-B<π ,所以 A-B=0,即 A=B. 所以△ABC 是等腰三角形,故选 B. 方法二 利用正弦定理和余弦定理 2sin Acos B=sin C 可化为 即 a2+c2-b2=c2,即 a2-b2=0, 即 a2=b2,故 a=b.所以△ABC 是等腰三角形.

2.答案:C 解析:

a2 ? c2 ? b2 a 2 ? c 2 ? a 2 ? c 2 ? ac 1 cos B ? ? ? ? 2 ac 2 ac 2 ? ? B ? 120 ? 3.答案:B 解析 :由正弦定理得sinC ? csinB ? sin45 ? 1 , b 2 2 又b ? c,? C ? 30?.
从而A ? 180? ? ? B ? C ? ? 105?. bsinA 6? 2 , 得a ? . sinB 2 4、【思路点拨】由已知条件求出 B 、 A 的大小,求出 C ,从而求出 sin C. ?a ?
解析:由 A+C=2B 及 A ? B ? C ? 180 得 B ? 60 ,由正弦定理得

?

?

1 3 ? 得 sin A sin 60

1 sin A ? ,由 a ? b 知 A ? B ? 60 ,所以 A ? 30 , C ? 180 ? A ? B ? 90 ,所以 2

sin C ? sin 90 ? 1.
答案:sinC= 1 .

5、 【思路点拨】对 ?C 利用余弦定理,通过解方程可解出 a 。
2 2 解析:由余弦定理得, a ? 1 ? 2 ? a ?1? cos

2? ? 3 ,即 a 2 ? a ? 2 ? 0 ,解 3

得 a ? 1 或 ?2 (舍) 。 答案:a= 1

6、 【思路点拨】先根据 sin B ? cos B ? 2 求出 B,再利用正弦定理求出 sin A ,最 后求出 A. 解析: 由 sin B ? cos B ?

i s 2 B 1 ? , 2 得 1 ? 2sin B cos B ? 2 , 即n 因为 0<B<? ,

所以 B=45 ,又因为 a ? 2 , b ? 2 ,所以在 ?ABC 中,由正弦定理得:
1 2 2 ,解得 sin A ? ,又 a <b ,所以 A<B=45 ,所以 A=30 . = 2 sin A sin 45

答案:角 A 的大小为 30°或 7. (1)由正弦定理

a b 3 ? 得 sin A ? . sin A sin B 2

? 6

∵a>b,∴A=60°或 A=120°. 当 A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,

c?

b sin C 6? 2 ? ; sin B 2

当 A=120°时,C=180°-45°-120°=15°.

c?

b sin C 6? 2 ? . sin B 2

? A ? 60?, C ? 75?, c ?

6? 2 . 2 6? 2 或A ? 120?, C ? 15?, c ? . 2

(2)∵B=60°,C=75°,∴A=45°.

由正弦定理 得b ?

a b c ? ? sin A sin B sin C

sin B sin C ? a ? 4 6, c ? ? a ? 4 3 ? 4. sin A sin A

8、 【思路点拨】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边 用角表示,也可将角用边来表示.从中找到三角形中的边角关系,判断出三角形 的形状. 解法 1:由扩充的正弦定理:代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosA sinAcosB-cosAsinB=0 , sin(A-B)=0 A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形

解法 2:由余弦定理:

a2 ? c2 ? b b2 ? c2 ? a a? ? b? 2ac 2bc
9、解:在△ADC 中, cosC=

2

2

a2 ? b2



a?b

即△ABC 为等腰三角形.

AC2+DC2-AD2 72+32-52 11 = = , 2AC·DC 2×7×3 14
5 3 14

又 0<C<180°,∴sinC=

在△ABC 中,

AC
sinB



AB
sinC

∴AB=

sinC 5 3 5 6 AC= · 2 ·7= . sinB 14 2

10.【思路点拨】(1)用正弦定理,将边用角代换后求解. (2)用余弦定理,配方出现 a+b 后代换,求出 ac 即可. 解: (1)在△ABC 中,由正弦定理得: a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 代入(2a-c)cos B=bcos C, 整理得 2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B, 即 2sin Acos B=sin(B+C)=sin A, 在△ABC 中,sin A>0,2cos B=1, ∵∠B 是三角形的内角,∴B=60°. (2)在△ABC 中,由余弦定理得 b2=a2+c2-2ac·cos B=(a+c)2-2ac-2ac·cos B, 将 b= √7 ,a+c=4 代入整理,得 ac=3. 1 3 3 3 故S ?ABC ? ac sin B ? sin 60? ? . 2 2 4


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