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高中数学竞赛讲义十三


高中数学竞赛讲义十三
──排列组合与概率

一、基础知识 1.加法原理:做一件事有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办 法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事一共 有 N=m1+m2+?+mn 种不同的方法。 2.乘法原理:做一件事,完成它需要分 n 个步骤,第 1

步有 m1 种不同的方法,第 2 步 有 m2 种不同的方法,??,第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×? ×mn 种不同的方法。 3.排列与排列数:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列, n 个不同元素中取出 m 个(m≤n)元素的 从 所有排列个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 表示, =n(n-1)?

(n-m+1)= 注:一般地

,其中 m,n∈N,m≤n, =1,0!=1, =n!。

4.N 个不同元素的圆周排列数为

=(n-1)!。

5.组合与组合数:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合, 即从 n 个不同元素中不计顺序地取出 m 个构成 原集合的一个子集。从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的组合数,用 表示:

6.组合数的基本性质: (1)

; (2)

; (3)



(4) 。

;(5)

;(6)

7.定理 1:不定方程 x1+x2+?+xn=r 的正整数解的个数为



[证明]将 r 个相同的小球装入 n 个不同的盒子的装法构成的集合为 A, 不定方程 x1+x2+? +xn=r 的正整数解构成的集合为 B,A 的每个装法对应 B 的唯一一个解,因而构成映射,不同 的装法对应的解也不同,因此为单射。反之 B 中每一个解(x1,x2,?,xn),将 xi 作为第 i 个盒 子中球的个数,i=1,2,?,n,便得到 A 的一个装法,因此为满射,所以是一一映射,将 r

个小球从左到右排成一列, 每种装法相当于从 r-1 个空格中选 n-1 个, 将球分 n 份, 共有 种。故定理得证。 推论 1 不定方程 x1+x2+?+xn=r 的非负整数解的个数为 推论 2 从 n 个不同元素中任取 m 个允许元素重复出现的组合叫做 n 个不同元素的 m 可 重组合,其组合数为 8 (a+b) = Tr+1= 叫二项式系数。 9.随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进
n

















n



N+, r+1

则 项

. 其 中 第

行同一试验时,事件 A 发生的频率

总是接近于某个常数,在它附近摆动,这个常数叫做

事件 A 发生的概率,记作 p(A),0≤p(A)≤1. 10.等可能事件的概率,如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果,其中事件 A 包含

的结果有 m 种,那么事件 A 的概率为 p(A)= 11.互斥事件:不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件,也叫不相容事件。如果事 件 A1,A2,?,An 彼此互斥,那么 A1,A2,?,An 中至少有一个发生的概率为 p(A1+A2+?+An)= p(A1)+p(A2)+?+p(An). 12.对立事件:事件 A,B 为互斥事件,且必有一个发生,则 A,B 叫对立事件,记 A 的对立事件为 。由定义知 p(A)+p( )=1.

13.相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这 样的两个事件叫做相互独立事件。 14.相互独立事件同时发生的概率:两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件 发生的概率的积。即 p(A?B)=p(A)?p(B).若事件 A1,A2,?,An 相互独立,那么这 n 个事件同 时发生的概率为 p(A1?A2? ? ?An)=p(A1)?p(A2)? ? ?p(An). 15.独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的 结果,则称这 n 次试验是独立的. 16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为 p,那么在 n 次独立重 复试验中,这个事件恰好发生 k 次的概率为 pn(k)= ?p (1-p) .
k n-k

17.离散型随机为量的分布列:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样 的变量叫随机变量,例如一次射击命中的环数ξ 就是一个随机变量,ξ 可以取的值有 0,1,2,?,10。 如果随机变量的可能取值可以一一列出, 这样的随机变量叫离散型随机变量。 一般地, 设离散型随机变量ξ 可能取的值为 x1,x2,?,xi,?,ξ 取每一个值 xi(i=1,2,?) 的概率 p(ξ =xi)=pi,则称表 ξ x1 x2 x3 ? xi ?

p

p1

p2

p3

?

pi

?

为随机变量ξ 的概率分布,简称ξ 的分布列,称 Eξ =x1p1+x2p2+?+xnpn+?为ξ 的数学期 望或平均值、均值、简称期望,称 Dξ =(x1-Eξ )2?p1+(x2-Eξ )2?p2+?+(xn-Eξ )2pn+?为ξ 的均方差,简称方差。 叫随机变量ξ 的标准差。

18. 二项分布: 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p, 那么在 n 次独立重复试验中, 这个事件恰好发生 k 次的概率为 p(ξ =k)= ξ p 0 1 ? ? , ξ 的分布列为 xi ? ? N

此时称ξ 服从二项分布,记作ξ ~B(n,p).若ξ ~B(n,p),则 Eξ =np,Dξ =npq,以上 q=1-p. 19.几何分布:在独立重复试验中,某事件第一次发生时所做试验的次数ξ 也是一个随 k-1 机变量,若在一次试验中该事件发生的概率为 p,则 p(ξ =k)=q p(k=1,2,?),ξ 的分布服

从几何分布,Eξ =

,Dξ =

(q=1-p).

二、方法与例题 1.乘法原理。 例 1 有 2n 个人参加收发电报培训,每两个人结为一对互发互收,有多少种不同的结 对方式? [解] 将整个结对过程分 n 步,第一步,考虑其中任意一个人的配对者,有 2n-1 种选 则;这一对结好后,再从余下的 2n-2 人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者,有 2n-3 种选择,??这样一直进行下去,经 n 步恰好结 n 对,由乘法原理,不同的结对方式有

(2n-1)×(2n-3)×?×3×1= 2.加法原理。 例 2 图 13-1 所示中没有电流通过电流表, 其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种? [解] 断路共分 4 类:1)一个电阻断路,有 1 种可能,只能是 R4;2)有 2 个电阻断路, 有 -1=5 种可能;3)3 个电阻断路,有 =4 种;4)有 4 个电阻断路,有 1 种。从而一

共有 1+5+4+1=11 种可能。 3.插空法。 例 3 10 个节目中有 6 个演唱 4 个舞蹈, 要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱, 有多 少种不同的安排节目演出顺序的方式? [解] 先将 6 个演唱节目任意排成一列有 个位置中选出 4 个安排舞蹈有 4.映射法。 种方法,故共有 种排法,再从演唱节目之间和前后一共 7 =604800 种方式。

例 4 如果从 1, ?, 中, 2, 14 按从小到大的顺序取出 a1,a2,a3 使同时满足:2-a1≥3,a3-a2 a ≥3,那么所有符合要求的不同取法有多少种? [解] 设 S={1,2,?,14}, ={1, ?, 2, 10}; T={(a1,a2,a3)| a1,a2,a3∈S,a2-a1≥3,a3-a2 ≥ 3}, ={( )∈ }, 若 ,则(a1,a2,a3)∈T,这样就建立了从 然是单射,其次若(a1,a2,a3)∈T,令 从而此映射也是满射,因此是一一映射,所以|T|= ,令 到 T 的映射,它显 ,

,则

=120,所以不同取法有 120 种。

5.贡献法。 例 5 已知集合 A={1,2,3,?,10},求 A 的所有非空子集的元素个数之和。 9 [解] 设所求的和为 x,因为 A 的每个元素 a,含 a 的 A 的子集有 2 个,所以 a 对 x 的 9 9 贡献为 2 ,又|A|=10。所以 x=10×2 . [另解] A 的 k 元子集共有 个,k=1,2,?,10,因此,A 的子集的元素个数之和为 10×2 。 6.容斥原理。 例 6 由数字 1,2,3 组成 n 位数(n≥3),且在 n 位数中,1,2,3 每一个至少出现 1 次,问:这样的 n 位数有多少个? n 1 2 3 [解] 用 I 表示由 1,2,3 组成的 n 位数集合,则|I|=3 ,用 A ,A ,A 分别表示不含 1,不含 2,不含 3 的由 1,2,3 组成的 n 位数的集合,则|A1|=|A2|=|A3|=2 ,|A1 A3|=|A1 A3|=1。|A1 A2 A3|=0。
n 9

A2|=|A2

所以由容斥原理|A1

A2

A3|= A2 A3|=3 -3×2 +3 个。
n n

=3×2 -3.所

n

以满足条件的 n 位数有|I|-|A1

7.递推方法。 例 7 用 1, 3 三个数字来构造 n 位数, 2, 但不允许有两个紧挨着的 1 出现在 n 位数中, 问:能构造出多少个这样的 n 位数? [解] 设能构造 an 个符合要求的 n 位数,则 a1=3,由乘法原理知 a2=3×3-1=8.当 n≥3 时:1)如果 n 位数的第一个数字是 2 或 3,那么这样的 n 位数有 2an-1;2)如果 n 位数的第 一个数字是 1,那么第二位只能是 2 或 3,这样的 n 位数有 2an-2,所以 an=2(an-1+an-2)(n≥3). 这里数列{an}的特征方程为 x =2x+2,它的两根为 x1=1+
2

,x2=1-

,故 an=c1(1+

)+

n

c2(1+

),

n



a1=3,a2=8









8.算两次。 例 8 m,n,r∈N+,证明: [证明] 从 n 位太太与 m 位先生中选出 r 位的方法有 中选出 k 位太太与 r-k 位先生的方法有 位的方法有 ① 种;另一方面,从这 n+m 人

种,k=0,1,?,r。所以从这 n+m 人中选出 r 种。综合两个方面,即得①式。

9.母函数。 例 9 一副三色牌共有 32 张,红、黄、蓝各 10 张,编号为 1,2,?,10,另有大、小 王各一张,编号均为 0。从这副牌中任取若干张牌,按如下规则计算分值:每张编号为 k 的 k 牌计为 2 分,若它们的分值之和为 2004,则称这些牌为一个“好牌”组,求好牌组的个数。 [解] 对于 n∈{1,2,?,2004},用 an 表示分值之和为 n 的牌组的数目,则 an 等于函数 f(x)=(1+ ) ?(1+
2

) ??????(1+

3

) 的展开式中 x 的系数(约定|x|<1),由于

3

n

f(x)=

[

(1+

)(1+

)? ? ?(1+

)] =

3

3

=

3



而 0 ≤ 2004<2 , 所 以 an 等 于

11

的展开式中 x 的系数,又由于

n

=
2k

?

=(1+x +x +?+x2k+?)[1+2x+3x +?+(2k+1)x +?],所
2

2

3

2

2k

以 x 在展开式中的系数为 a2k=1+3+5++(2k+1)=(k+1) ,k=1,2,?,从而,所求的“好牌”组的 2 个数为 a2004=1003 =1006009. 10.组合数 例 10 的性质。 是奇数(k≥1).

证明:

[证明]

=



i=

?pi(1≤i≤k),pi 为奇数,则 是整数,所以它只能是若干奇数的积,即为奇数。

,它的分子、分母均

为奇数,因

例 11 对 n≥2,证明: [证明] 1)当 n=2 时,2 <
2

=6<4 ;2)假设 n=k 时,有 2 <

2

k

<4 ,当 n=k+1 时,因

k





<4,所以 2 <

k+1

.

所以结论对一切 n≥2 成立。 11.二项式定理的应用。

例 12 若 n∈N, n≥2,求证:

[证明]

首先

其次因为

,所以

2+

得证。

例 13 证明: [证明] 首先,对于每个确定的 k,等式左边的每一项都是两个组合数的乘积,其中
n-k m-h

是(1+x) 的展开式中 x 的系数。
n-k k m-h h

是(1+y) 的展开式中 y 的系数。 从而

k

k

?

就是(1+x) ?(1+y) 的展开式中 x y 的系数。

于是,

就是

展开式中 x y 的系数。

m-h h

另一方面,

=

=

?

=

(xk-1+xk-2y+?+yk-1),上式中,xm-hyh 项的系数恰为



所以 12.概率问题的解法。 例 14 如果某批产品中有 a 件次品和 b 件正品, 采用有放回的抽样方式从中抽取 n 件产 品,问:恰好有 k 件是次品的概率是多少? [解] 把 k 件产品进行编号,有放回抽 n 次,把可能的重复排列作为基本事件,总数为 (a+b)n(即所有的可能结果)。设事件 A 表示取出的 n 件产品中恰好有 k 件是次品,则事件

A 所包含的基本事件总数为

?akbn-k,故所求的概率为 p(A)=

例 15 将一枚硬币掷 5 次,正面朝上恰好一次的概率不为 0,而且与正面朝上恰好两次 的概率相同,求恰好三次正面朝上的概率。 [解] 设每次抛硬币正面朝上的概率为 p, 则掷 5 次恰好有 k 次正面朝上的概率为

(1-p)5-k(k=0,1,2,?,5),由题设

,且 0<p<1,化简得

,所

以恰好有 3 次正面朝上的概率为 例 16 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛,已知每一局甲胜的概率为 0.6,乙胜 的概率为 0.4,比赛时可以用三局二胜或五局三胜制,问:在哪一种比赛制度下,甲获胜的 可能性大? [解] (1) 如果采用三局两胜制, 则甲在下列两种情况下获胜: 1—2:(甲净胜二局) A 0 , A2—2:1(前二局甲一胜一负,第三局甲胜). p(A1)=0.6×0.6=0.36,p(A2)= ×0.6×0.4

×0.6=0.288. 因为 A1 与 A2 互斥,所以甲胜概率为 p(A1+A2)=0.648. 2 (2)如果采用五局三胜制,则甲在下列三种情况下获胜:B1—3:0(甲净胜 3 局),B —3:1(前 3 局甲 2 胜 1 负,第四局甲胜),B3—3:2(前四局各胜 2 局,第五局甲胜)。 因为 B1,B2,B2 互斥,所以甲胜概率为 p(B1+B2+B3)=p(B1)+p(B2)+p(B3)=0.6 + ×0.6+ ×0.6 ×0.4 ×0.6=0.68256.
2 2 3

×0.6 ×0.4

2

由(1),(2)可知在五局三胜制下,甲获胜的可能性大。

例 17 有 A,B 两个口袋,A 袋中有 6 张卡片,其中 1 张写有 0,2 张写有 1,3 张写有 2;B 袋中有 7 张卡片,其中 4 张写有 0,1 张写有 1,2 张写有 2。从 A 袋中取出 1 张卡片, B 袋中取 2 张卡片,共 3 张卡片。求:(1)取出 3 张卡片都写 0 的概率;(2)取出的 3 张 卡片数字之积是 4 的概率;(3)取出的 3 张卡片数字之积的数学期望。

[解](1) ξ p 0

;(2) 2 4

;(3)记ξ 为 8

取出的 3 张卡片的数字之积,则ξ 的分布为

所以 三、基础训练题 1.三边长均为整数且最大边长为 11 的三角形有_________个。 2.在正 2006 边形中,当所有边均不平行的对角线的条数为_________。 3.用 1,2,3,?,9 这九个数字可组成_________个数字不重复且 8 和 9 不相邻的七 位数。 4.10 个人参加乒乓球赛,分五组,每组两个人有_________种分组方法。 5.以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。 1000 6.今天是星期二,再过 10 天是星期_________。 7.由 展开式所得的 x 的多项式中,系数为有理数的共有_________项。

8.如果凸 n 边形(n≥4)的任意三条对角线不共点,那么这些对角线在凸 n 边形内共有 _________个交点。 9. 袋中有 a 个黑球与 b 个白球, 随机地每次从中取出一球 (不放回) 第 k(1≤k≤a+b) , 次取到黑球的概率为_________。 10.一个箱子里有 9 张卡片,分别标号为 1,2,?,9,从中任取 2 张,其中至少有一 个为奇数的概率是_________。 11.某人拿着 5 把钥匙去开门,有 2 把能打开。他逐个试,试三次之内打开房门的概率 是_________。 12.马路上有编号为 1,2,3,?,10 的十盏路灯,要将其中三盏关掉,但不能同时关 掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,则满足条件的关灯方法种数是_________。 13.a,b,c,d,e 五个人安排在一个圆桌周围就坐,若 a,b 不相邻有_________种安排方 式。 14. 已知 i,m,n 是正整数, 1<i≤m≤n。 且 证明: (1) ; (2) (1+m) >(1+n) .
n m

15.一项“过关游戏”规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所得到的 n 点数之和大于 2 ,则算过关。问:(1)某人在这项游戏中最多能过几关?(2)他连过前三 关的概率是多少?(注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体) 四、高考水平训练题 1.若 n∈{1,2,?,100}且 n 是其各位数字和的倍数,则这种 n 有__________个。

2.从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取 3 个不同元素作为二次函数 y=ax +bx+c 的系数,能 组成过原点,且顶点在第一或第三象限的抛物线有___________条。 3.四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点,在其中任取 4 个不共面的点,有_________ 种取法。 4.三个人传球,从甲开始发球,每次接球后将球传给另外两人中的任意一个,经 5 次 传球后,球仍回到甲手中的传法有_________种。 5.一条铁路原有 m 个车站(含起点,终点),新增加 n 个车站(n>1),客运车票相应 地增加了 58 种,原有车站有_________个。

2

6.将二项式

的展开式按降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展

开式中 x 的幂指数是整数的项有_________个。 7. 1 到 9 这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数, 从 共可得到_________ 种不同的对数值。 5 8.二项式(x-2) 的展开式中系数最大的项为第 _________项,系数最小的项为第 _________项。 9.有一批规格相同的均匀圆棒,每根被划分成长度相同的 5 节,每节用红、黄、蓝三 色之一涂色,可以有_________种颜色不同的圆棒?(颠倒后相同的算同一种) 10.在 1,2,?,2006 中随机选取 3 个数,能构成递增等差数列的概率是_________。

11.投掷一次骰子,出现点数 1,2,3,?,6 的概率均为

,连续掷 6 次,出现的点

数之和为 35 的概率为_________。 12.某列火车有 n 节旅客车厢,进站后站台上有 m(m≥n)名旅客候车,每位旅客随意选 择车厢上车,则每节车厢都有旅客上车的概率是_________。 13.某地现有耕地 10000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%,人均粮食占有 量比现在提高 10%,如果人口年增长率为 1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精

确到 1 公顷)?(粮食单产=



五、联赛一试水平训练题 1.若 0<a<b<c<d<500,有_________个有序的四元数组(a,b,c,d)满足 a+d=b+c 且 bc-ad=93. 2.已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元 素,并且该直线倾斜角为锐角,这样的直线条数是_________。 3.已知 A={0,1,2,3,4,5,6,7},映射 f:A→A 满足:(1)若 i≠j,则 f(i)≠ f(j);(2)若 i+j=7,则 f(i)+f(j)=7,这样的映射的个数为_________。 4.1,2,3,4,5 的排列 a1,a2,a3,a4,a5 具有性质:对于 1≤i≤4,a1,a2,?,ai 不构成 1, 2,?,i 的某个排列,这种排列的个数是_________。 5.骰子的六个面标有 1,2,?,6 这六个数字,相邻两个面上的数字之差的绝对值叫 变差,变差的总和叫全变差 V,则全变差 V 的最大值为_________,最小值为_________。 6.某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有 3 名选手各比赛 2 场 之后就退出了,这样,全部比赛只进行 50 场,上述三名选手之间比赛场数为_________。

7.如果 a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}且 a≠b,b≠c,c≠d, d≠a;且 a 是 a,b,c,d 中的最 小值,则不同的四位数 的个数为_________。

8.如果自然数 a 各位数字之和等于 7,那么称 a 为“吉祥数”,将所有的吉祥数从小 到大排成一列 a1,a2,a3,?,若 an=2005,则 an=_________。

9.求值:

=_________。

10.投掷一次骰子,出现点数 1,2,?,6 的概率均为

,连续掷 10 次,出现的点数

之和是 30 的概率为_________。 11.将编号为 1,2,?,9 这九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上 各有一个小球,设周围上所有相邻两球的号码之差的绝对值之和为 S,求 S 达到最小值的放 法的概率 (注: 如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合, 则认为是相同的放法) 。 12.甲、乙两人轮流向同一目标射击,第一次甲射击,以后轮流射击,甲每次击中的概 率为 p(0<p<1),乙每次击中的概率为 q(0<q<1),求甲、乙首先击中的概率各是多少? 13.设 m,n∈N,0<m≤n,求证: + 六、联赛二试水平训练题 1. 100 张卡片上分别写有数字 1 到 100, 一位魔术师把这 100 张卡片放入颜色分别是红 色、白色、蓝色的三个盒子里,每个盒子里至少放入一张卡片。 一位观众从三个盒子中挑出两个, 并从中各选取一张卡片, 然后宣布这两张卡片上的两 个数的和数,魔术师知道这个和数之后,便能够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子。 问:共有多少种放卡片的方法,使得这个魔术师总能够成功?(如果至少有一张卡片被放入 不同颜色的盒子,两种方法被认为是不同的) 2. S={1,2,?,10}, 1, 2, Ak 是 S 的 k 个子集合, 设 A A ?, 满足: (1) i|=5,i=1,2,?,k; |A (2)|Ai Aj|≤2,1≤i<j≤k,求 k 的最大值。 ?

3.求从集合{1,2,?,n}中任取满足下列条件的 k 个数{j1,j2,?,jk}的组合数;(1)1 ≤j1<j2<?<jk≤n; (2)jh+1-jh≥m,h=1,2,?,k-1,其中 m>1 为固定的正整数; (3)存在 h0,1 ≤h0≤k-1,使得 4.设 合数 ≥m+1. ,其中 S1,S2,?,Sm 都是正整数且 S1<S2<?<Sm,求证组 中奇数的个数等于 2 。
m

5.

个不同的数随机排成图 13-2 所示的三角形阵,设 Mk 是从上往下第 k 行中

的最大数,求 M1<M2<?<Mn 的概率。

6.证明:


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