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必修2红对勾3-3-29


红对勾系列丛书

第三章 直线与方程

第三章 直线与方程

红对勾系列丛书

3.3

直线的交点坐标与距离公式 点到直线的距离

第29课时

3.3 第29课时

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1.掌握点到直线的距离公式. 2.会用点到直线的距离公式进行计算.

3.3 第29课时

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一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 原点到直线 3x+ 4y- 26= 0 的距离是 ( 26 7 A. 7 24 C. 5
答案:B

)

26 B. 5 27 D. 5

3.3 第29课时

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x y 2. 点 P(m- n, - m)到直线 + = 1 的距离为 m n ( ) A. m2± n2 C. - m2+ n2 B. m2- n2 D. m2+ n2

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解析:将直线化为一般式,得 nx+ my- mn= 0 , 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 |n? m- n?+ m?- m?- mn| 2 2 = m + n . 2 2 n +m d =

答案:D

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3.若点(4,a)到直线4x-3y=0的距离不大于3, 则a的取值范围是( )

A.(0,10)
B.[3,4] C.[,] D.(-∞,0)∪[10,+∞)

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|4× 4- 3a| 1 31 解析: 由题意 2 2 ≤ 3,解得3≤ a≤ 3 . 4 +3
答案:C

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4.直线7x+3y-21=0上到两坐标轴距离相等的
点的个数为( A.3 C.1 ) B.2 D.0

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解析:方法一:设满足条件的点的坐标为(a,b).
? ?7a+ 3b- 21= 0 由题意可知? ? ?|a |= |b |



21 ? ?a=10 解得? ?b=21 10 ?

21 ? ?a= 4 或? ?b=-21 4 ?



故满足条件的点有两个 .

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方法二:到两坐标轴距离相等的点都在直线 y=x 与 y =- x 上,而直线 7x + 3y - 21 = 0 与 y = x 和 y =- x 各有一个交点,故满足条件的点共两个.

答案:B

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5.点 P 在直线 l: x+ y- 4= 0 上, O 是坐标 原点,则 |OP|的最小值为 ( A. 2 C. 0
答案:B

)

B. 2 2 D. 3 2

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6.到两条直线3x-4y+5=0与5x-12y+13=0的 距离相等的点P(x,y)必定满足方程( )

A.x-4y+4=0
B.7x+4y=0 C.x-4y+4=0或4x-8y+9=0 D.7x+4y=0或32x-56y+65=0

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解析: 由点到直线的距离公式可知 |3x- 4y+ 5| |5x- 12y+ 13| 2 2 = 2 2, 3 +4 5 +?- 12? 整理得 7x+ 4y= 0 或 32x- 56y+ 65= 0.
答案:D

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二、填空题(每小题5分,共15分) 7 .直线 l 过点 ( - 1,1) ,则当点 (2 ,- 1) 与直线 l 的 距离最远时,直线l的方程为__________.

答案:3x-2y+5=0

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8.已知a,b,c为某一直角三角形的三边长,c为 斜边,若点(m,n)在直线ax+by+2c=0上,则m2+

n2的最小值为__________.

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解析:点 (m,n)在直线 ax+ by+ 2c= 0 上,且 m2+ n2 为直线上的点到原点的距离的平方. 当两直 线垂直时,距离最小,故 d= 2c 2c 2 2= c = 2, a +b ∴ m2+ n2≥ 4.
答案:4

|a· 0 + b· 0+ 2c| a +b
2 2



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9.直线l在x轴上的截距为1,又有两点A(-2,- 1)、B(4,5)到l的距离相等,则l的方程为________.

答案:x=1或x-y-1=0

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三、解答题(共45分)

10 . ( 本小题 15 分 ) 求经过两直线 l1 : x- 3y - 4= 0
与l2:4x+3y-6=0的交点,且和点A(-3,1)的距离为 5的直线l的方程.

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?x- 3y- 4= 0 ? 解:由? ? ?4x+ 3y- 6= 0

?x= 2 ? ,解得? 2 y=- , ? 3 ?

2 即直线 l 过点 B(2,- ). 3 ①当 l 与 x 轴垂直时,方程为 x= 2. A(- 3,1)到 l 的距离 d= |- 3- 2|= 5, 满足题意.

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②当 l 与 x 轴不垂直时,设斜率为 k, 2 则 l 的方程为 y+ = k(x-2), 3 2 即 kx- y- 2k- = 0, 3 由 A 到 l 的距离为 5,得 2 |- 3k- 1- 2k- | 3 4 =5,解得 k= , 2 2 3 k +?-1?

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4 8 2 ∴l 的方程为 x- y- - =0, 3 3 3 即 4x- 3y- 10=0. 综上所述,所求的直线方程为 x=2 或 4x- 3y- 10= 0.

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11.(本小题15分)已知△ABC三个顶点坐标A(2, -4),B(-1,2),C(3,4).

(1)求AB边上的高CD所在直线方程;
(2)求△ABC的面积S.

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- 4-2 解: (1)kAB= =- 2, 2-?-1? 1 1 ∴kCD=- = , kAB 2 1 ∴CD 所在直线方程为 y-4= (x- 3), 2 即 x- 2y+ 5= 0.

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(2)由两点间的距离公式 |AB|= ?- 1- 2?2+? 2+ 4?2= 3 5, AB 的方程为 y+ 4=- 2(x- 2), 即 2x+ y= 0, |2× 3+ 4| 点 C 到 AB 的距离 d= 2 2 = 2 5, 2 +1 1 1 ∴ S= |AB|× d= × 3 5× 2 5= 15, 2 2 ∴△ ABC 的面积为 15.

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12. (本小题 15 分 )若 P(a, b)在直线 x+ y+ 1 = 0 上,求 a2+ b2- 2a- 2b+ 2的最小值.

解: a2+b2-2a- 2b+2= ? a-1?2+? b- 1?2可看成是点 P(a,b)与点(1,1) 之间的距离. 又∵点 P 是直线 x+y+1=0 上任一点,

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∴ ? a- 1?2+? b- 1?2即是点(1,1)与直线 x+ y+ 1= 0 上任一点之间的距离, 因此,点 (1,1) 到 直线 x + y + 1 = 0 的距离即是 ? a- 1?2+? b- 1?2的最小值. 由于点 (1,1)到直线 x+ y+ 1= 0 的距离为 |1+ 1+ 1| 3 2 d= 2 2 = 2 , 1 +1 3 故 a + b - 2a- 2b+ 2 的最小值为 2. 2
2 2
3.3 第29课时


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