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2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件:第4讲函数


? 第二章

函数

2012 高考调研

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考纲要求 1.了解映射的概念,理解函数的概念. 2.了解函数的单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数 单调性、奇偶性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求 一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质;掌握 指数函数的概念、图象和性质.
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5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概 念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些 简单的实际问题.

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考情分析 函数与导数是近年来高考的重头戏,题型既有灵活多变的客观 性试题,又有具有一定能力要求的主观性试题,分值约占整个 试卷的一半.纵观各省市的高考试卷,对函数的主干知识、函 数知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查, 仍然是今年高考的重点内容之一.函数试题的设计往往围绕几 个基本初等函数和函数的性质、图象、应用等方面进行,考查 函数知识与方程、数列、不等式、立体几何(今年高考的一个亮 点)、解析几何等内容的综合问题,考查函数知识综合应用,在 考查函数知识的同时,加强对函数方程、分类讨论、数形结合、 等价转化等数学思想方法的考查.
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? 第四讲

映射与函数

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回归课本 1.设A,B是非空数集,如果按照某个确定的对应法则f,使对于 集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它 对应,则称f:A→B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x), x∈A. 其中自变量X的取值范围A叫做函数的定义域;函数值Y的集合 {F(X)|X∈A}叫做函数的值域,函数的表示方法主要有列表法、 解析法、图象法. 两种类型非空数集上的对应是函数,一种是一对一型;一种是 多对一型.f:A→B中,B中可有多余元素,即{f(x)|x∈A}?B; A中没有多余元素.

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函数的三要素是定义域、对应关系、值域;其中对应关系是核 心;定义域与对应关系确定值域,若定义域和对应关系完全相 同,则两个函数是相同的函数. 函数是特殊的映射,即非空数集A到非空数集B上的映射.

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2.设a,b是两个实数,且a<b,规定: (1)满足a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,记为[a,b]; (2)满足a<x<b的实数x的集合叫做开区间,记为(a,b); (3)满足a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别 表示为[a,b),(a,b];实数集R用区间表示为(-∞,+∞); x≥a,x>a,x≤b,x<b用区间依次表示为[a,+∞),(a,+∞), (-∞,b],(-∞,b).

3.设两个集合 A、B,按照某种对应关系 f,对于集合 A 中的任 何一个元素在集合 B 中都有唯一确定的元素与它对应, 这样的对应关 系叫从集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B. A→B 若 f: ,则把元素 b 叫元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原 a→b 象,象集?B. 映射 f:A→B 的对应类型可以是一对一或多对一,但不能是一对 多型.

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考点陪练 1.(2011·安徽八校)已知映射f:A→B,其中A=B=R,对应法 则f:x→y=-x2+2x,对于实数k∈B.在集合A中存在不同的两 个原象,则k的取值范围是( ) A.k>1 B.k≤1 C.k≥1 D.k<1 解析:由y=-x2+2x=-(x-1)2+1、二次函数图象的对称性 及映射概念知:对于k∈B,在集合A中存在两个不同的原象, 则k<1,选D.也可令y=k得x2-2x+k=0,此方程有两个不同的 解.需Δ=(-2)2-4k>0,解之得k<1. 答案:D

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2.(2011·北京东城)设f:A→B是集合A到B的映射,下列命题 中是真命题的是( ) A.A中不同元素必有不同的象 B.B中每一个元素在A中必有原象 C.A中每一个元素在B中必有象 D.B中每一个元素在A中的原象唯一 答案:C

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3.(2011·杭州一次质检)设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2}, 则在下面4个图形中能表示集合M到集合N的函数关系的有( )

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A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.② 解析:由函数的定义易知②③成立,故选C. 答案:C

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4.若对应关系f:A→B是从集合A到集合B的一个映射,则下面 说法错误的是( ) A.A中的每一个元素在集合B中都有对应元素 B.A中两个元素在B中的对应元素必定不同 C.B中两个元素若在A中有对应元素,则它们必定不同 D.B中的元素在A中可能没有对应元素 解析:根据映射的概念可知,A中两个元素可以和B中的同一个 元素对应,即允许多对一,不允许一对多. 答案:B

?1,x>0, ? 5.设函数 f(x)= ?0,x=0, ?-1,x<0, ?
值应为( A.|a| C.a、b 中较小者 ) B.|b|

a+b+?a-b?· f?a-b? 则 (a≠b)的 2

D.a、b 中较大者

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解析:当a>b时,f(a-b)=1,原式化简为a.当a<b时,f(a-b) =-1,原式化简为b. 答案:D

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类型一 映射与函数的概念 解题准备:准确理解这两个概念是正确解题的关键. 【典例1】 (2011·东城)已知映射f:A→B,其中A=B=R, 对应法则f:y=x2-2x+3,x∈A,y∈B,对于集合B中的元素 1,下列说法正确的是( ) A.在A中有1个原象 B.在A中有2个原象 C.在A中有3个原象 D.在A中无原象 [解析] 令y=1,则x2-2x+2=0无实根,故1在A中无原象. [答案] D [点评] 象与原象是映射中的两个重要概念,象是B中的元素, 原象是A中的元素.此题是用方程的思想求解的.

探究 1:(2011· 武汉)下列四个命题: ①从定义域到值域的映射是函数; ②f(x)= x-3+ 2-x是函数; ③函数 y=2x(x∈N)的图象是一条直线;
?x2 ?x≥0? ? ④函数 y= ? 2 ?-x ?x<0? ?

的图象是抛物线. )

其中正确的个数是( A.1 C.3 B.2 D.4

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解析:由函数定义知①正确;从表面现象看②也正确,但是据 考察其定义域为?,这与函数定义中定义域为非空数集相悖,故 ②不正确;③的图象是直线y=2x上的满足定义域为自然数的一 些不连续的点集,故③不正确;④是由两段抛物线组成,故④ 不正确,综上可知正确的有1个. 答案:A 点评:函数是特殊的映射,特殊在定义域,值域都是非空数集, 否则就不是函数.

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类型二 分段函数与复合函数 解题准备:1.分段函数 若函数在定义域的不同子集上对应关系不同,可用几个式子来 表示函数,这种形式的函数叫分段函数,它是一类重要函数. 分段函数是一个函数,而不是几个函数,它的连续与间断完全 由对应关系来确定.对于分段函数,必须分段处理,时时刻刻 注意定义域优先原则. 2.复合函数 若y是u的函数,u又是x的函数,即y=f(u),u=g(x),x∈(a,b), u∈(m,n),那么y关于x的函数y=f[g(x)],x∈(a,b)叫做f和g 的复合函数,u叫中间变量,u的取值范围是g(x)的值域.

【典例 2】

?tanx,?x≥0?, ? 若函数 f(x+2)=? ?lg?-x?,?x<0?. ?

π 则 f( +2)· f(-98)=________. 4
[解析]
?π? π ∵f( +2)=tan? ?=1, 4 ?4?

f(-98)=f(-100+2)=lg100=2, π 故 f( +2)· f(-98)=1×2=2. 4
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[答案] 2 [点评] 运用“分段函数分段处理”的思想求解.

探究

?x2 ? 2:设 f(x)= ? ?x ?

?x≥0?, ?x<0?, )

?x ? g(x)=? 2 ?-x ?

?x>0?, 则当 x<0 时,f[g(x)]等于( ?x<0?, B.-x 2 D.x

A.-x C.x 2
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解析:x<0时,g(x)=-x2<0, ∴f[g(x)]=g(x)=-x2. 答案:B 点评:求复合函数的有关问题时,应注意“里”层函数的值域 充当“外”层函数的定义域.

类型三

抽象函数

解题准备:抽象函数没有给出具体的函数表达式,常通过赋值来 解题. 【典例 3】 设函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(xy)=f(x)+f(y). (1)求 f(0)与 f(1)的值;
?1? (2)求证:f ? ?=-f(x); ?x ?

(3)若 f(2)=p,f(3)=q(p,q 都是常数),求 f(36)的值.
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[分析] 这里的函数f(x)没有给出具体的解析式,(1)中要求f(0) 与f(1)的值,就需要对已知条件中的x、y进行恰当的赋值.

[解析]

(1)令 x=y=0 得 f(0)=f(0)+f(0),解得 f(0)=0;

令 x=1,y=0 得 f(0)=f(1)+f(0),解得 f(1)=0.
?1? 1 (2)令 y= ,得 f(1)=f? ?+f(x), x ?x ?



?1? f? ?=-f(x). ?x ?

(3)令 x=y=2 得 f(4)=f(2)+f(2)=2p,令 x=y=3 得 f(9)=f(3)+ f(3)=2q,令 x=4,y=9 得 f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q.

探究 3:已知函数 f(x)满足 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)· f(y)且 f(0)≠0,
?π? 若 f ? ?=0,求 f(π)及 f(2π). ?2?

解析:由题设 f(x)的定义域为 R,令 x=y=0,得 2f(0)=2f 2(0). 又∵f(0)≠0,∴f(0)=1.
? ? π 2 π 再令 x=y= ,得 f(π)+f(0)=2f ? ?, 2 ?2?

故 f(π)=-1. 令 x=y=π, f(2π)+f(0)=2f2(π),∴f(2π)=1.

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快速解题 技法 函数f(x)的定义域为R,且满足下面两个条件: ①存在x1≠x2,使f(x1)≠f(x2);②对任意的x,y∈R,有f(x+y)= f(x)·f(y). (1)求f(0); (2)证明对任意的x∈R,f(x)>0恒成立.

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快解:(1)∵f(0+0)=f(0)· f(0),∴f(0)=0 或 f(0)=1.若 f(0)=0,则 存在 x≠0,使对任意的 x∈R 有 f(x+0)=f(x)· f(0)=0,即 f(x)=0,与 条件矛盾,∴f(0)=1.
? x x ? ? ? x ?? 2 (2)f(x)=f? + ?= ?f ? ?? ≥0,若存在 ?2 2? ? ?2??

x0 使 f(x0)=0,则对任意的 x∈R,

f(x)=f[(x-x0)+x0]=f(x0)· f(x-x0)=0,与条件矛盾,∴f(x)>0 恒成立.



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