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广东省江门市礼乐中学2015届高三第一次调研考试数学(文)试题 Word版含答案


礼乐中学 2015 届高三第一次调研试题 文科数学 考试时间:120 分钟 总分:150 分
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的 4 个选项 中只有一个是正确的,请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上) 1.已知集合 M ? ?2,3,4?, N ? ?0,2,3,5?,则 M ? N ( A. ?0,2? 2.函数 f (

x ) ? B. ?2,3? C. ?3,4? ) D. [?1,1) (1, ??) ) ) D. ?3,5?

lg( x ? 1) 的定义域是( x ?1

A. (?1, ??)

B. [?1, ??) C. (?1,1) (1, ??)

3.在等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 1, a4 ? 8 ,则 a5 ? ( A.16 B.16 或-16 C.32

D.32 或-32 ( )

4.已知命题 p : ?x ? R , x ? sin x ,则 p 的否定形式为 A. ?p : ?x ? R , x ? sin x C. ?p : ?x ? R , x ? sin x

B. ?p : ?x ? R , x ? sin x D. ?p : ?x ? R , x ? sin x

5.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, 则“ a ? b ”是 “ sinA ? sin B ” 的( ) B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件

A.充分必要条件 C.必要非充分条件

6.在 ?ABC 中,若 ?A ? 60°, ?B ? 45°, BC ? 3 2 ,则 AC =( ) A. 4 3 7.已知 ? ∈ ( B. 2 3 C.
3

D.

3 2

3 ? ? , ? ),sin ? = ,则 tan( ? ? )等于( ). 5 2 4 1 1 A. B.7 C.- D.-7 7 7 8.执行如图 2 程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为
A. 105 B. 16 C. 15 D. 1

9.已知中心在原点的椭圆 C 的一个焦点为 F (0,1) ,离心率为 A.
x2 y2 ? ?1 4 3

1 ,则 C 的方程是 2
x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 4 2

D.

?x ? 2 y ? 8 ? 10.若变量 x, y 满足约束条件 ? 0 ? x ? 4 则 z ? 2 x ? y 的最大值等于( ?0? y?3 ?
A. 7 B. 8 C. 10 D. 11



二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题(11—13 题) 11.若复数 z ?

1 ? 2i ,则 z ? ___________. i

12.在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 ? _________ 13.曲线 y ? ?5e x ? 3 在点 ? 0, ?2? 处的切线方程为________. (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标中,过点(3,0)且与极轴垂直的直 线的极坐标方程为__________. 15.(几何证明选讲选做题)已知⊙O 的割线 PAB 交⊙ O 于 A,B 两 点 , 割 线 PCD 经 过 圆 心 , 若 PA=3,AB=4,PO=5,则⊙O 的半径为_______________

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)已知 △ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

3 且 a ? 2,cos B ? . 5
(1)若 c ? 5 ,求 b 的值; (2)若 △ ABC 的面积 S△ABC ? 4 ,求 c 的值.

17. (本小题满分 12 分) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 , 求(1)数列 ?an ? 通项公式; (2)数列 {an } 前 n 项和 S n 的最小值.

18.(本小题满分 14 分)已知 f ( x) ? sin x cos x ? cos2 x , x ∈ R (1)求 f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)如果三角形 ABC 中,满足
f ( A) ? 1 ,求角 A 的值. 2

19. (本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边 形,?ADC ? 450 , AD ? AC ? 1 ,O 为 AC 中点, PO ? 平面 ABCD ,M 为 PD 中
P

点. (1)证明: PB //平面 ACM ; (2)证明: AD ? 平面 PAC ;
D O A B M

C

20.(本小题满分 14 分)已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2(n ? 2) . (1) 证明数列 {an ? 1}是等比数列 (2)求数列的通项 a n . (3)求数列 ?a n ?的前 n 项和 S n

x2 y2 6 21.已知椭圆 C: 2 ? 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距 3 a b

离为 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 △AOB 面积的最大值.
3 ,求 2

礼乐中学 2015 届高三第一次调研测试


文科数学
答 题 卡 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

姓名:_________



二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,总共 20 分)
2 13._______________ , 14.______________ 15.______________ 4 , 三.解答题(本大题共 6 小题,总共 80 分) 6

11.______________

12.______________



16.(本小题满分 12 分)
学号:_________ 高三( )班 密 封 线 不 内

17.(本小题满分 12 分)

18.(本小题满分 14 分)

19.(本小题满分 14 分)

P

M

D O A

C

B

20.(本小题满分 14 分)

21.(本小题满分 14 分)





线











礼乐中学 2015 届高三第一次调研试题答案 1~5 BCACA 11.2-i 12.20 6~10 BACDC 13.5x+y+2=0 14. 15.2 ————2 分 ————5 分

16.解:(1) 由余弦定理得 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B

b ? a 2 + c2 ? 2accosB ? 22 + 52 ? 2 ? 2 ? 5 ?
cos B ?

3 ? 17 5

(2)

3 ?0 5 ,且 0<B<π ,————6 分

4 ∴sinB= 1 ? cos2 B ? . ————8 分 5 1 S?ABC ? ac sin B ? 4 ————10 分 2 1 4 ∴ ? 2 ? c ? ? 4 , ∴c=5. ————12 分 2 5
17.解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d , ,解得 a4 ? a6 ?2 a1 ?8 d ?2 ?( ? 1 1 ) ?d 8 ? ?6 d ? 2 ,————3 分 故数列 ?an ? 的通项公式为 ———— 6分 an ? a ( n? 1) d ? ? 1 1 ?( n ?1 ) ? 2 ?n2 ? 1 3 1 ? (2)由(1)及 S n ? na1 ?
Sn ? ?11n ?

n( n ? 1) d 得————8 分 2

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 12n ? (n ? 6) 2 ? 36 ,————10 分 2

所以当 n ? 6 时, S n 取最小值为-36.————12 分 18.解:⑴f(x)= sinxcosx+ cos2 x = =
1 1 1 sin 2 x + cos 2 x ? ————2 分 2 2 2

2 ? 1 sin(2x+ )+ ————4 分 2 4 2

f(x)的最小正周期为π ,————6 分 由 2kπ -

? ? ? 《2x+ 《2kπ + 得 4 2 2 3? ? kπ 《x《kπ + 8 8

3? ? ,kπ + ](k∈Z)————10 分 8 8 1 ? ⑵由 f ( A) ? 得 sin(2A+ )=0, ————11 分 2 4 ? ? 9? <2A+ < , 4 4 4 ? 3? 7? ∴2A+ =π 或 2π ∴A= 或 ————14 分 4 8 8 19.(Ⅰ)证明:连接 BD,MO,
f(x)的单调增区间[kπ 在平行四边形 ABCD 中,因为 O 为 AC 的中点,所以 O 为 BD 的中点,—2 分 又 M 为 PD 的中点,所以 PB//MO。————4 分 因为 PB ? 平面 ACM, MO ? 平面 ACM, 所以 PB//平面 ACM。————6 分 (Ⅱ)证明:因为 ?ADC ? 45? ,且 AD=AC=1, 所以 ?DAC ? 90? ,即 AD ? AC ,————8 分 又 PO ? 平面 ABCD, AD ? 平面 ABCD, 所以 PO ? AD, 而AC ? PO ? O ,所以 AD ? 平面 PAC。————14 分 20.解: (1)由 an ? 3an?1 ? 2 有 an ? 1 ? 3(an?1 ? 1) ————3 分 所以数列 {an ? 1} 是首项为 a1 ? 1 ? 2 ,公比为 3 的等比数列————4 分 (2)由(1)知 an ? 1 ? 2 ? 3n?1 ,故数列 {a n } 的通项 an ? 2 ? 3n?1 ? 1————8 分 (3)由(2)知 an ? 2 ? 3n?1 ? 1 故数列 {a n } 的前 n 项和

Sn ? a1 ? a2 ? ...? an ? (2 ?1 ?1) ? (2 ? 3 ?1) ? ...? (2 ? 3n?1 ?1) ————10 分
? 2? ( 1 ? 3 ? ... ? 3n ?1 ) ? n ? 2 ? 1 ? 3n ? n ? 3n ? (n ? 1) ————14 分 1? 3

?c 6 , ? ? 21.解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ————2 分 ? a ? 3, ?
? b ? 1 ,————4 分

? 所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1.————5 分 3

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . (1)当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 .————6 分 (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m . 由已知

m 1? k
2

?

3 3 ,得 m 2 ? ( k 2 ? 1) .————7 分 4 2

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ,——8 分
? x1 ? x2 ?
2

?6km 3(m 2 ? 1) x x ? , .————9 分 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
2 2

? 36k 2 m2 12(m2 ? 1) ? ? AB ? (1 ? k )( x2 ? x1 ) ? (1 ? k ) ? 2 ? 2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ?
2

12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? ? (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2
12k 2 12 12 ? 3? 4 ? 3? (k ? 0) ≤ 3 ? ?4. 2 1 9k ? 6k ? 1 2?3 ? 6 9k 2 ? 2 ? 6 k

当且仅当 9 k 2 ?

1 3 ,即 k ? ? 时等号成立.————11 分 2 k 3

当 k ? 0 时, AB ? 3 , 综上所述 AB max ? 2 .————12 分
1 3 3 ? .——14 分 ? 当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S ? ? AB max ? 2 2 2


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