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湖北省七市(州)2015届高三3月联合考试数学(理科)word


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机密★启用前 试卷类型:A

湖北省七市(州)2015 届高三 3 月联合考试 数学(理工类)
整理制作:青峰弦月工作室
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1.若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,i

为虚数单位,则在复平面内 z 对应的点的坐标是 A. (4,2) B. (4,-2) C. (2,4) D. (2,-4) 2.设集合 A ? {x |

x?2 ? 0} , B ? {x | log2 ( x ? 1) ? 0} ,那么“x∈A”是“x∈B”的 x ?1

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 3.以下四个命题中: ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标 检测,这样的抽样是分层抽样; ②若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1; ③根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的; ④若某项测量结果 ? 服从正态分布 N(1, ? ) ,且 P( ? ≤4)=0.9,则 P( ? ≤-2)
2

=0.1. 其中真命题的个数为 A.1 B.2 C 3

D.4

4.已知菱形 ABCD 的对角线 AC 长为 2,则 AD · AC = A.4 B.2 C.1 D.

1 2

5.若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积是

22 3 20 B. 3
A. C.7 D.6 6.已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,?? ? ? ? ? ) 的 部分图象如图所示,为了得到 g ( x) ? 3 sin 2x 的图像,只需将

f ( x) 的图像
2? 个单位长度 3 ? B.向左平移 个单位长度 3 2? C.向右平移 个单位长度 3 ? D.向右平移 个单位长度 3
A.向左平移

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7.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,若数列 {an } 满 足 a1 ?

1 1 ,且 an ?1 ? ,则 f (a11 ) = 2 1 ? an

A.6 B.-6 C.2 D.-2 8.甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面,并约定谁先到后必须等 10 分钟,若等 待 10 分钟后另一人还没有来就离开.如果甲是 8:30 分到达的,假设乙在 8 点到 9 点内到 达,且乙在 8 点到 9 点之间何时到达是等可能的,则他们见面的概率是 A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

x2 y2 9.过曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 作曲线 C2 : x2 ? y 2 ? a2 的切线,设切 a b 点为 M,延长 FM 交曲线 C3 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 于点 N,其中曲线 C1 与 C3 有一个共同的焦
点,若点 M 为线段 FN 的中点,则曲线 C1 的离心率为 A. 5 B.

5 2

C. 5 +1 D.

5 ?1 2

10.设函数 f ( x) 在[-1,t]上的最小值为 N(t) ,最大值为 M(t) ,若存在最小正整数 k, 使得 M(t)- N(t)≤k(t+1)对任意 tt∈(-1,b]成立,则称函数 f ( x) 为区间(-1,b] 上的“k 阶 ? 函数” ,若函数 f ( x) =x 为区间(-1,4]上的“k 阶 ? 函数” ,则 k 的值为
2

A.4

B.3

C.2

D.1

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 25 分。将答案填在答题卡相应位置上。 ) (一)必考题(11-14 题) 11. 已知角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边过点 P (-3, 4) , 则 sin (? ?

?
4

) =





? 1 2 ? x ,0 ? x ? 1 12.若函数 f ( x) ? ? 的图象与 x 轴所围成的封 3 5 5 ?? x ? ,1 ? x ? 2 3 ? 2 a 6 闭图形的面积为 a,则 ( x ? 2 ) 的展开式中的常数项为 ▲ (用 x
数字作答) . 13. 执行如右图所示的程序框图, 若输出结果是 i=3, 则正整数 a0 的 最大值为 ▲ . 14.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这 样一列数:1,1,2,3,5,8,13,?,其中从第三个数起,每一 个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列 .那么 {an } 称为“斐波那契数列” 那契数到中的第 ▲ 项.
2 2 2 a12 ? a2 ? a3 ? ? ? a2015 是斐波 a2015

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在 答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选, 则按第 15 题作答

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结果计分。 ) 15. (选修 4-1:几何证明选讲)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB=6, ED=2,则 BC= ▲ . 16. (选修 4-4: 坐标系与参数方程) 在极坐标系中, 直线 ? cos ? ? 曲线 ? ? 2 cos? 相交于 A、B 两点,O 为极点,则∠AOB= ▲

1 与 2


三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的三内角 A、B、C 所对的边的长分别为 a、b、c,设 m=(a-b,c) ,n=(a-c, a+b) ,且 m∥n. (1)求∠B; (2)若 a=1,b= 3 ,求△ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 设 {an } 为公比不为 1 的等比数列, a4 =16,其前 n 项和为 Sn ,且 5 S1 、2 S2 、 S3 成等 差数列. (l)求数列 {an } 的通项公式;

1 ,Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和.是否存在正整数 k,使得对 log 2 an · log 2 an ?1 2 k * 于任意 n∈N 不等式 Tn > ( ) 恒成立?若存在,求出 k 的最小值;若不存在,请说明理由. 3
(2)设 bn ?

19. (本小题满分 12 分) 如图,正四棱锥 S-ABCD 中,SA=AB,E、F、G 分别为 BC、SC、DC 的中点,设 P 为 线段 FG 上任意一点. (l)求证:EP⊥AC; (2)当直线 BP 与平面 EFG 所成的角取得最大值时,求二面角 P-BD-C 的大小.

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20. (本小题满分 12 分) 十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设” ,为响应号召,某市红星路 小区的环保人士向该市政府部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹” .为此,红星路小区 的环保人士对该小区年龄在[15,75)的市民进行问卷调查,随机抽查了 50 人,并将调查情 况进行整理后制成下表: 年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 频数 赞成人数 6 3 10 6 12 10 12 6 5 4 5 3

(1)请估计红星路小区年龄在[15,75)的市民对“禁放烟花、炮竹”的赞成率和被调 查者的年龄平均值; (2)若从年龄在[55,65) 、[65,75)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记 被选 4 人中不赞成“禁放烟花、炮竹”的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

21. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? ? 1 ,F1、F2 为椭圆的左、右焦点,A、B 为椭圆的左、右顶点, a2 4 1 点 P 为椭圆上异于 A、B 的动点,且直线 PA、PB 的斜率之积为- . 2
已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,试问:在 x 轴上是否存在两个定点,使 得这两个定点到直线 l 的距离之积为 4?若存在,求出两个定点的坐标;若不存在,请说明 理由.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? 1 (a∈R) .
x

(1)求函数 f ( x) 的单调区间;

1 2 x 在[1,2]上有且仅有一个零点,求 a 的取值范围; 2 * 2 n ( 3 )已知当 x>-1,n≥ 1 时, (1 ? x) ? 1 ? nx ,求证:当 n ∈N , x <n 时,不等式 x n ? n(1 ? ) n e x ? x 2 成立. n
(2)若函数 F ( x) ? f ( x) ?

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2015 年 3 月湖北省七市(州)教科研协作体高三联合考试 数学(理工类)参考答案及评分标准
说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评 分标准的精神进行评分。 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。 当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解未改变这一题的内 容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分 数的一半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。 3.解答题中右端所标注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一.选择题:A 卷 DCBCB B 卷 BCCBB 二.填空题:11. 三.解答题: 17.(1)解:∵m∥ n,∴ (a ? c)c ? (a ? b)(a ? b) ? 0 ∴ a ? c ? b ? ac
2 2 2

BCDBD BACDA 12.15 13.3 14.2016 15. 2 3 16.

2 10

2? 3

2分 3分

由余弦定理得: cos B ? 又 0 ? B ? ? ?B ?

?
3

a ?c ?b 1 ? 2ac 2
2 2 2

5分 6分



(2)解:∵ a ? 1, b ? 3 ,由正弦定理得
1 3 1 ,∴ sin A ? ? sin A sin ? 2 3

8分

∵a < b,∴A < B,∴ A ? 分

?

6

10

故 C ? ? ? ( A ? B) ? ? ? ( 分

?
3

?

?
6

)?

?
2

11

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∴ S ?ABC ? 分 18.(1)解:∵5S1、2S2、S3 成等差数列 ∴ 4S2 ? 5S1 ? S3 ,即 4(a1 ? a1q) ? 5a1 ? a1 ? a1q ? a1q 2 ∴ q ? 3q ? 2 ? 0
2

1 1 3 ab ? ? 1 ? 3 ? . 2 2 2

12

2分 4分 5分

∵ q ? 1 ,∴q = 2 又∵ a4 ? 16 ,即 a1q3 ? 8a1 ? 16 , a1 ? 2 ∴ an ? 2n .

2 (2)解:假设存在正整数 k 使得对于任意 n∈N*不等式 Tn ? ( )k 都成立 3 2 则 (Tn )min ? ( )k 3 1 1 1 1 ? ? ? 又 bn ? log 2 2n ? log 2 2n ?1 n ? n ? 1? n n ? 1
1 1 1 所以 Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3 分 1 1 1 ?( ? ) ? 1? n n ?1 n ?1 1 2

7分 9分 10

显然 Tn 关于正整数 n 是单调递增的,所以 (Tn )min ? T1 ?

1 2 ? ( )k ,解得 k≥2. 2 3 分


11

2 所以存在正整数 k,使得对于任意 n∈N*不等式 Tn ? ( )k 都成立 3 且正整数 k 的最小值为 2 .
分 19.(1)证:设 AC 交 BD 于 O, ∵S-ABCD 为正四棱锥,∴SO⊥ 底面 ABCD,∴SO⊥ AC 又∵BD⊥AC,
∴AC ? 面SBD ? AC ? SD ? ? ? AC ? GF ? SD FG ? ? AC ? 面GEF AC ? GE ? ?

12

1分

3分 4分 z S

又∵ PE ? 面GEF ,∴ PE ? AC . (2)解:设 AB = 2,如图建立空间直角坐标系,则 G(0, 1, 0), E(1, 0, 0), C(1, 1, 0), S(0, 0, 2 ),

1 1 , , 2 2 1 ? ∴ GF ? ( , 2
F(

2 ),B(1, ?1 ,0) 2 1 2 , ) 2 2

5分

F P y C E A B x

青峰弦月语文工作室出品,欢迎选用! O

D

G

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? ? 2 ? , ?) , 设 GP ? ? GF ? ( , 2 2 2 ? ? 2 1? , ?) 故点 P ( , 2 2 2 ? ? 2 2? , ?) ∴ BP ? ( ? 1, 2 2 2
设面 EFG 的法向量为 n = (abc) ∵ n ? EF , n ? GE

6分

?a ? b ? ∴? a b ,令 a = 1 得 n = (1,1,0) 2 ? ? ? c?0 ? ? 2 2 2
设 BP 与平面 EFG 所成角为 ? ,则 ? ? | ?1? 2 ? | 2 2 2 sin ? ? = 2 ? ? 1 2 ? ( ? 1) 2 ? (2 ? ) 2 ? ? 2 2 2 2 此时点 P 与点 F 重合 设二面角 P-BD-C 的大小为 ? ∵点 P 到平面 ABCD 的距离为 分
2 2 则 sin ? ? 2 ? 1 2
2 ,点 P 到 BD 的距离为 1 2

7分

1

? ? 3? ? 5
2

8分

∵点 P 在线段 FG 上,∴ 0 ≤ ? ≤ 1 ,即 ? =1 时 sin ? 取最大值 9分

10

∴二面角 P-BD-C 的大小为 45 . 分

12

32 ? 0.64 50 被调查者的平均年龄为 20× 0.12 + 30× 0.2 + 40× 0.24 + 50× 0.24 + 60× 0.1 + 70× 0.1 = 43
20.(1)解:赞成率为 (2)解:由题意知: P(? ? 0) ?
P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ?
2 2 C4 C3 9 ? 2 2 C5 C5 50

2分 4分

1 2 2 1 1 C4 C3 ? C4 C3C2 24 ? 2 2 C5 C5 50 1 1 1 2 2 C4 C3C2 ? C4 C2 15 ? 2 2 C5 C5 50 1 2 C4 C2 2 ? C52C52 50

8分

∴ ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

9 50

24 50

15 50

2 50

10 分

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∴ E? ? 1? 分
0), B(a, 0) ,设 P( x0 ,y0 ) ,则 21.(1)解: A(?a,

24 15 2 6 ? 2? ? 3? ? . 50 50 50 5
x0 2 y0 2 ? ?1 a2 4

12

依题意

y0 y0 1 x2 y 2 ? ? ? ,得 a 2 ? 8 ,∴椭圆标准方程为 ? ?1 x0 ? a x0 ? a 2 8 4

4分

(2)解:① 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y = kx + p,代入椭圆方程得 (1 + 2k2)x2 + 4kpx + 2p2-8 = 0 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 所以△ =16k2p2-4(1 + 2k2)(2p2-8) = 8(4 + 8k2-p2) = 0,即 4 + 8k2 = p2 设 x 轴上存在两个定点(s,0),(t,0),使得这两个定点到直线 l 的距离之积为 4,则
| ks ? p | | kt ? p | | k 2 st ? kp( s ? t ) ? p 2 | ? ? ?4 k2 ?1 k2 ?1 k2 ?1

5分 7分

即 (st + 4)k + p(s + t) = 0(*),或(st + 12)k2 + (s + t)kp + 8 = 0 (**)
? st ? 4 ? 0 ?s ? 2 ? s ? ?2 或? 由(*)恒成立,得 ? ,解得 ? s ? t ? 0 t ? ? 2 ? ? ?t ? 2

11

分 (**)不恒成立. ② 当直线 l 的斜率不存在,即直线 l 的方程为 x ? ? 2 时 定点(-2,0)、F2(2,0)到直线 l 的距离之积 (2 2 ? 2)(2 2 ? 2) ? 4 . 综上,存在两个定点(2,0)、(?2,0),使得这两个定点到直线 l 的距离之积为定值 4. 13 分 注:第(2)小题若直接由椭圆对称性设两定点为关于原点对称的两点,则扣 2 分; 第(2)小题若先由特殊情况得到两个定点,再给予一般性证明也可。 22.(1)解: f ?( x) ? e x ? a 当 a≤0 时, f ?( x) ≥ 0 ,则 f ( x) 在 (??, ??) 上单调递增 ln a) 上单调递减, f ( x) 在 (ln a, ? ?) 上单调递增. 当 a > 0 时, f ( x) 在 (??,
1 e x ? x2 ? 1 1 2 2 (2)解:由 F ( x) ? f ( x) ? x ? 0 ,得 a ? x 2 1 2 1 x e ? x ?1 ( x ? 1)e x ? x 2 ? 1 2 2 考查函数 g ( x) ? (x∈[1,2]),则 g ?( x) ? x2 x 1 令 h( x) ? ( x ? 1)e x ? x2 ? 1 , h?( x) ? x(e x ? 1) 2 ? 当 1≤x≤2 时, h ( x) ? 0 ,∴ h( x) 在[1,2]上单调递增 1 ∴ h( x) ≥ h(1) ? ? 0 , g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) 在[1,2]上单调递增 2 1 e x ? x2 ? 1 1 3 2 ∴ g ( x) ? 在[1,2]上的最小值为 g (1) ? e ? ,最大值为 g (2) ? (e2 ? 3) x 2 2

1分 2分 4分

5分

6分

7分

8分

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∴当 e ?

1 3 1 ≤ a ≤ ? e2 ? 3? 时,函数 F ( x) ? f ( x) ? x2 在[1,2]上有且仅有一个零点 2 2 2

9分 10

x x (3)解: n ? n(1 ? )n ex ≤ x2 ? n(1 ? )n ex ≥ n ? x2 n n 分 x x 由(1)知 e x ≥ 1 ? x ,则 e n ≥ 1 ? n 分 x2 ∵ x2 ? n ,且 n ∈ N * ,∴ x 2 ? n ≤ n2 ,∴ ? 2 ? ?1 n 分 x x x x x 又∵ (1 ? x)n ≥1 ? nx ,∴ n(1 ? ) n e x ? n[(1 ? )e n ]n ≥ n(1 ? )(1 ? ) n n n n n 分 x2 x2 ? n(1 ? 2 )n ≥ n(1 ? n ? 2 ) ? n ? x2 n n 分

11

12

13

14

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