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江西省宜春市高安市四校(二中、中学、丰城中学、樟树中学)2015年高考数学一模试卷(文科)


2015 年江西省宜春市高安市四校(二中、中学、丰城中学、樟 树中学)高考数学一模试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.集合 M={1,2},N={3,4,5},P={x|x=a+b,a∈M,b∈N},则集合 P 的元素个数为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D

. 6

2.已知复数 z1=2+ai(a∈R) ,z2=1﹣2i,若 A. B. C. 2 D.

为纯虚数,则|z1|=(



3. “m=﹣1”是“直线 mx+(2m﹣1)y+1=0,和直线 3x+my+9=0 垂直”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件



4. 在边长为 1 的正方形 ABCD 内任取一点 P, 则 P 到点 A 和 C 的距离都小于 1 的概率为 ( A. B. C. D.



5.若执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 3,则判断框中应填入的条件是(



A. k<6? B. k<7? C. k<8? D. k<9?

6.把函数 象向右平移

图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,再将图 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( )

A.

B.

C.

D.

7.直线 x+y+ A. B.

=0 截圆 x +y =4 所得劣弧所对圆心角为( C. D.

2

2



8.已知实数 x,y 满足不等式组

,若目标函数 z=y﹣ax 取得最小值时的唯

一最优解是(1,3) ,则实数 a 的取值范围为( ) A. (﹣∞,﹣1) B. (0,1) C. [1,+∞) D. (1,+∞) 9.已知如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的体积为( )

A. 6π B.

C. 3π D.

10.已知椭圆 C1:

+

=1(a1>b1>0)与双曲线 C2:



=1(a2>0,b2>0)有

相同的焦点 F1,F2,点 P 是两曲线的一个公共点,a1,a2 又分别是两曲线的离心率,若 PF1 2 2 ⊥PF2,则 4e1 +e2 的最小值为( ) A. B. 4 C. D. 9

11. 已知函数 y=f (x) 是定义域为 R 的偶函数. 当 x≥0 时,
2

若关于 x 的方程[f(x)] +af(x)+b=0,a,b∈R 有且仅有 6 个不同实数根,则实数 a 的取 值范围是( ) A. C. B. D. (﹣3,﹣1)

12.设定义在 D 上的函数 y=h(x)在点 P(x0,h(x0) )处的切线方程为 l:y=g(x) ,当 x ≠x0 时,若
2

>0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y=h(x)的“类对称点” , )

则 f(x)=x ﹣6x+4lnx 的“类对称点”的横坐标是( A. 1 B. C. e D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在△ABC 中,若(a +c ﹣b ) ? tanB=
2 2 2

? ac,则角 B=



14.已知 是

是单位向量, .

.若向量 满足

|的取值范围

15.数列{an}中相邻两项 an 与 an+1 是方程 x +3nx+bn=0 的两根,已知 a10=﹣13,则 b21 等 于 . 16.已知函数 f(x)是定义在[﹣4,+∞)上的单调增函数,且对于一切实数 x,不等式 f (cosx﹣b )≥f(sin x﹣b﹣3)恒成立,则实数 b 的取值范围是
2 2

2



三、解答题:本大题共六个大题,满分 60 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知某学校高一、高二、高三年级分别有 16、12、8 个班.现采用分层抽样的方法从高 一、高二、高三三个年级中抽取 9 个班进行调查, (1)求从高一、高二、高三年级分别抽取的班级个数; (2)若从抽取的高二、高三年级各个班中再随机抽取 2 个进行调查,求抽取的 2 个班中至 少有 1 个来自高三年级的概率 (3)已知高二年级的 A 班和高三年级的 B 班在所抽取的 9 个班中,现再从这 9 个班中按高 一、高二、高三每年级各抽取一个班进行调查,求高二年级的 A 班和高三年级的 B 班都被抽 取的概率. 18.已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记数列{an}前 n 项的和为 Sn,若数列{bn}满足 bn=anlog2(Sn+2) ,试求数列{bn}前 n 项 的和 Tn. 19.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都是 2,又 AA1⊥平面 ABC,D,E 分别是 AC,CC1 的中点. (1)求证:AE⊥平面 A1BD; (2)求点 B1 到平面 A1BD 的距离.

20.已知方向向量为 =(1,

)的直线 l 过点(0,﹣2

)和椭圆 C:

+

=1(a>b

>0)的右焦点,且椭圆的离心率为 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 P(﹣8,0)的直线与椭圆相交于不同两点 A、B,F 为椭圆 C 的左焦点,求三 角形 ABF 面积的最大值.

21.已知函数 f(x)=

+tx﹣1.

(Ⅰ)若 f(x)在(0,2)上无极值,求 t 的值; (Ⅱ)若存在 x0∈(0,2) ,使得 f(x0)是 f(x)在[0,2]上的最大值,求 t 的取值范围; x (Ⅲ)当 t>0 时,若 f(x)≤xe ﹣1(e 为自然对数的底数)对任意 x∈[0,+∞)恒成立, 求 t 的取值范围.

选做题(在 22、23、24 三题中任选一题作答) 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.选修 4﹣1:几何证明选讲 如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B、C 两点,弦 CD∥AP,AD、 BC 相交于点 E,F 为 CE 上一点,且 DE =EF? EC. (1)求证:CE? EB=EF? EP; (2)若 CE:BE=3:2,DE=3,EF=2,求 PA 的长.
2

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; ,半径 r= .

(Ⅱ)若

,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,直线 l 交圆 C

于 A、B 两点,求弦长|AB|的取值范围.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|﹣1,其中 a>1. (Ⅰ)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集; (Ⅱ)已知关于 x 的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤1 的解集为 ,求 a 的值.

2015 年江西省宜春市高安市四校(二中、中学、丰城中 学、樟树中学)高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.集合 M={1,2},N={3,4,5},P={x|x=a+b,a∈M,b∈N},则集合 P 的元素个数为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 根据集合元素之间的关系,分别讨论 a,b 的取值即可得到结论. 解答: 解:∵M={1,2},N={3,4,5},a∈M,b∈N ∴a=1 或 2,b=3 或 4 或 5, 当 a=1 时,x=a+b=4 或 5 或 6, 当 a=2 时,x=a+b=5 或 6 或 7, 即 P={4,5,6,7}, 故选:B. 点评: 本题主要考查集合元素个数的判断,比较基础.

2.已知复数 z1=2+ai(a∈R) ,z2=1﹣2i,若 A. B. C. 2 D.

为纯虚数,则|z1|=(



考点: 复数代数形式的乘除运算;复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用复数代数形式的乘除运算化简,然后利用复数模的计算公式得答案. 解答: 解:∵z1=2+ai(a∈R) ,z2=1﹣2i, ∴ ,



为纯虚数,则

,解得 a=1,

则 z1=2+i, ∴|z1|= . 故选:D. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题. 3. “m=﹣1”是“直线 mx+(2m﹣1)y+1=0,和直线 3x+my+9=0 垂直”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据直线垂直的条件以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 解答: 解:若直线 mx+(2m﹣1)y+1=0,和直线 3x+my+9=0 垂直,则 3m+m(2m﹣1)=0, 即 2m(m+1)=0, 解得 m=0 或 m=﹣1, 则“m=﹣1”是“直线 mx+(2m﹣1)y+1=0,和直线 3x+my+9=0 垂直”的充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据直线垂直的条件求出 m 是解决本题 的关键. 4. 在边长为 1 的正方形 ABCD 内任取一点 P, 则 P 到点 A 和 C 的距离都小于 1 的概率为 ( A. B. C. D. )

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 根据已知条件,求出满足条件的正方形 ABCD 的面积,及动点 P 到定点 A 的距离|PA| <1 对应平面区域的面积,代入几何概型计算公式,即可求出答案. 解答: 解:满足条件的正方形 ABCD, 其中满足动点 P 到点 A 和 C 的距离都小于 1 的平面区域如图中阴影所示: 则正方形的面积 S 正方形=1 阴影部分的面积 S 阴影=2( )

故动点 P 到定点 A 的距离|PA|<1 的概率 P= 故选 D.

=



点评: 本题考查的知识点是几何概型,几何概型的概率估算公式中的“几何度量” ,可以为 线段长度、 面积、 体积等, 而且这个 “几何度量” 只与 “大小” 有关, 而与形状和位置无关. 解

决的步骤均为:求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N(A) ,再求出总的基本事 件对应的“几何度量”N,最后根据公式解答. 5.若执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 3,则判断框中应填入的条件是( )

A. k<6? B. k<7? C. k<8? D. k<9? 考点: 循环结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据程序框图,写出运行结果,根据程序输出的结果是 S=3,可得判断框内应填入 的条件. 解答: 解:根据程序框图,运行结果如下: S k 第一次循环 log23 3 第二次循环 log23? log34 4 第三次循环 log23? log34? log45 5 第四次循环 log23? log34? log45? log56 6 第五次循环 log23? log34? log45? log56? log67 7 第六次循环 log23? log34? log45? log56? log67? log78=log28=3 8 故如果输出 S=3,那么只能进行六次循环,故判断框内应填入的条件是 k<8. 故选:C. 点评: 本题考查程序框图,尤其考查循环结构,对循环体每次循环需要进行分析并找出内 在规律,属于基础题.

6.把函数 象向右平移 A.

图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,再将图 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( B. C. D. )

考点: 正弦函数的对称性.

专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 先对函数 x+φ= 解答: 解: 函数 再将图象向右平移 ; 个单位,得函数 是其图象的一条对称轴方程. ,根据 即可得到答案. 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到 进行图象变换,再根据正弦函数对称轴的求法,即令ω

对称轴处一定取得最大值或最小值可知

故选 A. 点评: 本小题综合考查三角函数的图象变换和性质.图象变换是考生很容易搞错的问题, 值得重视.一般地,y=Asin(ωx+φ)的图象有无数条对称轴,它在这些对称轴上一定取得 最大值或最小值. 7.直线 x+y+ A. B. =0 截圆 x +y =4 所得劣弧所对圆心角为( C. D.
2 2



考点: 专题: 分析: 解答:

直线与圆相交的性质. 计算题;直线与圆. 先解劣弧所对圆心角的一半,就是利用弦心距和半径之比求之. 解:设劣弧所对圆心角的一半为α,则 =1,半径是 2,

因为圆到直线的距离为:

所以 cosα=0.5,∴α=60°,劣弧所对圆心角为 120°. 故选 C. 点评: 直线与圆的关系中,弦心距、半径、弦长的关系,是高考考点,本题是基础题.

8.已知实数 x,y 满足不等式组

,若目标函数 z=y﹣ax 取得最小值时的唯

一最优解是(1,3) ,则实数 a 的取值范围为( ) A. (﹣∞,﹣1) B. (0,1) C. [1,+∞) D. (1,+∞) 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用目标函数 z=y﹣ax 取得最小值时的唯一最优解是(1,3) ,得到直线 y=ax+z 斜率的变化,从而求出 a 的取值范 围.

解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=y﹣ax 得 y=ax+z,即直线的截距最大,z 也最大. 平移直线 y=ax+z,要使目标函数 z=y﹣ax 取得最小值时的唯一最优解是(1,3) , 即直线 y=ax+z 经过点 A(1,3)时,截距最小, 由图象可知当阴影部分必须在直线 y=ax+z 的右上方, 此时只要满足直线 y=ax+z 的斜率 a 小直线 AB 的斜率即可, 直线 AB 方程为 x+y﹣4=0,即 y=﹣x+4,直线的斜率为﹣1, ∴a<﹣1. 故 a 的取值范围是(﹣∞,﹣1) 故选:A.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法.根据目标函数在 A(1,3)取得最小值,得到直线斜率的关 系是解决本题的关键. 9.已知如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的体积为( )

A. 6π B.

C. 3π D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由三视图判断出几何体是直三棱锥,且底面是等腰直角三角形,求出对应的高和底 面的边长, 根据它的外接球是对应直三棱锥的外接球, 由外接球的结构特征, 求出它的半径, 代入体积公式进行求解. 解答: 解:由三视图知该几何体是直三棱锥,且底面是等腰直角三角形,如图所示 直三棱锥的高是 ,底面的直角边长为 ,斜边为 2, 则直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球, 设几何体外接球的半径为 R,因底面是等腰直角三角形,则底面外接圆的半径为 1,

∴R =1+ = ,故外接球的体积是 πR = 故选 B.

2

3

π,

点评: 本题考查球的体积的求法,几何体的三视图与直观图的应用,考查空间想象能力, 计算能力.

10.已知椭圆 C1:

+

=1(a1>b1>0)与双曲线 C2:



=1(a2>0,b2>0)有

相同的焦点 F1,F2,点 P 是两曲线的一个公共点,a1,a2 又分别是两曲线的离心率,若 PF1 2 2 ⊥PF2,则 4e1 +e2 的最小值为( ) A. B. 4 C. D. 9

考点: 双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: 由题意设焦距为 2c,椭圆长轴长为 2a1, 双曲线实轴为 2a2, 令 P 在双曲线的右支上, 由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出 , 由此能求出 4e1 +e2 的最小值.
2 2

解答: 解:由题意设焦距为 2c,椭圆长轴长为 2a1,双曲线实轴为 2a2, 令 P 在双曲线的右支上, 由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2,① 由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1,② 又∵PF1⊥PF2, ∴ ① +② ,得 将④代入③,得
2 2

=4c ,③ = , ,④

2

∴4e1 +

2

=

=

+

=



= .

故选:C. 点评: 本题考查 4e1 +e2 的最小值的求法,是中档题,解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定 义,注意均值定理的合理运用.
2 2

11. 已知函数 y=f (x) 是定义域为 R 的偶函数. 当 x≥0 时,
2

若关于 x 的方程[f(x)] +af(x)+b=0,a,b∈R 有且仅有 6 个不同实数根,则实数 a 的取 值范围是( ) A. C. B. D. (﹣3,﹣1)

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 作出 f(x)在 y 轴右边的图象,从而由题意可得 x +ax+b=0 的两根分别为 x1= ,1 <x2< 或 0<x1≤1,1<x2< ,再由两根之和,结合不等式的性质,从而求解.
2

解答: 解:作出

的图象如右,

又∵函数 y=f(x)是定义域为 R 的偶函数, 且关于 x 的方程[f(x)] +af(x)+b=0,a,b∈R 有且仅有 6 个不同实数根, ∴x +ax+b=0 的两根分别为 x1= ,1<x2< 或 0<x1≤1,1<x2< ; 由韦达定理可得,x1+x2=﹣a; 若 x1= ,1<x2< , 则 <﹣a<3, 即﹣3<a<﹣ ; 若 0<x1≤1,1<x2< ; 则 1<﹣a< , 即﹣ <a<﹣1;
2 2

综上可得,﹣3<a<﹣ 或﹣ <a<﹣1. 故选 C.

点评: 本题考查了函数的零点与方程的根的联系,属于中档题. 12.设定义在 D 上的函数 y=h(x)在点 P(x0,h(x0) )处的切线方程为 l:y=g(x) ,当 x ≠x0 时,若
2

>0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y=h(x)的“类对称点” , )

则 f(x)=x ﹣6x+4lnx 的“类对称点”的横坐标是( A. 1 B. C. e D.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;新定义;导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: 函数 y=H(x)在其图象上一点 P(x0,f(x0) )处的切线方程为 y=g(x)=(2x0+ ﹣6) (x﹣x0)+x0 ﹣6x0+4lnx0.由此能推导出 y=h(x)存在“类对称点” , 对称点”的横坐标. 解答: 解:函数 y=h(x)在其图象上一点 P(x0,h(x0) )处的切线方程为: y=g(x)=(2x0+ ﹣6) (x﹣x0)+x0 ﹣6x0+4lnx0,
2 2 2

是一个“类

设 m(x)=h(x)﹣g(x)=x ﹣6x+4lnx﹣(2x0+ 则 m(x0)=0. m′(x)=2x+ ﹣6﹣(2x0+ 若 x0< ,m(x)在(x0,

﹣6) (x﹣x0)﹣x0 +6x0﹣4lnx0,

2

﹣6)=2(x﹣x0) (1﹣ )上单调递减,

)= (x﹣x0) (x﹣



∴当 x∈(x0,

)时,m(x)<m(x0)=0,此时

<0;

若 x0

,φ(x)在(

,x0)上单调递减,

∴当 x∈(

,x0)时,m(x)>m(x0)=0,此时

<0;

∴y=h(x)在(0, 若 x0= , (x﹣

)∪( ) >0,
2

,+∞)上不存在“类对称点” .

∴m(x)在(0,+∞)上是增函数, 当 x>x0 时,m(x)>m(x0)=0, 当 x<x0 时,m(x)<m(x0)=0,故 >0.

即此时点 P 是 y=f(x)的“类对称点” 综上,y=h(x)存在“类对称点” , 是一个“类对称点”的横坐标. 故选 B. 点评: 本题考查函数的单调增区间的求法,探索满足函数在一定零点下的参数的求法,探 索函数是否存在“类对称点” .解题时要认真审题,注意分类讨论思想和等价转化思想的合 理运用,此题是难题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在△ABC 中,若(a +c ﹣b ) ? tanB=
2 2 2

? ac,则角 B=

60°或 120° .

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 已知等式变形后,利用余弦定理化简,再利用同角三角函数间基本关系求出 sinB 的值,即可确定出 B 度数. 解答: 解:由余弦定理得:cosB= ,即 a +c ﹣b =2accosB,
2 2 2

代入已知等式得:2accosB? tanB=

? ac,即 sinB=



∵B 为三角形内角, ∴B=60°或 120°, 故答案为:60°或 120° 点评: 此题考查了余弦定理,同角三角函数间的基本关系,以及特殊角的三角函数值,熟 练掌握余弦定理是解本题的关键.

14.已知 是 [2﹣

是单位向量, ,2+ ] .

.若向量 满足

|的取值范围

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 量 满足| ﹣r≤| |= 是单位向量,
2

.可设 =(1,0) , =(0,1) , =(x,y) .由向
2

|=2 可得(x﹣1) +(y﹣1) =4.其圆心 C(1,1) ,半径 r=2.利用|OC| ≤|OC|+r 即可得出.

解答: 解:由

是单位向量,



设 =(1,0) , =(0,1) , =(x,y) . 因为向量 满足| 因为|OC|﹣r≤| |= ∴|OC|= ∴2﹣ . ≤| |= ≤2+ ,2+ . ]. |=2 可得(x﹣1) +(y﹣1) =4.其圆心 C(1,1) ,半径 r=2. ≤|OC|+r
2 2

∴| |的取值范围是[2﹣

故答案为:[2﹣ ,2+ ] 点评: 本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离 大小关系,考查了推理能力和计算能力,属于中档题. 15.数列{an}中相邻两项 an 与 an+1 是方程 x +3nx+bn=0 的两根,已知 a10=﹣13,则 b21 等于 992 . 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由于 an 与 an+1 是方程 x +3nx+bn=0 的两根,可得 an+an+1=﹣3n,an? an+1=bn.由 an+an+1= ﹣3n,an+1+an+2=﹣3(n+1) ,可得 an+2﹣an=﹣3,可得 n 为奇数、偶数时分别成等差数列,由 a10=﹣13,可得 a22,进而得到 a21. 2 解答: 解:∵an 与 an+1 是方程 x +3nx+bn=0 的两根, ∴an+an+1=﹣3n,an? an+1=bn. 由 an+an+1=﹣3n,an+1+an+2=﹣3(n+1) , ∴an+2﹣an=﹣3, 可得 n 为奇数、偶数时分别成等差数列, 由 a10=﹣13, ∴a22=﹣13+6×(﹣3)=﹣31, ∴a21=﹣3×21﹣(﹣31)=﹣32, ∴b21=a21? a22=﹣31×(﹣32)=992. 故答案为:992. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式、一元二次方程的根与系数的关系、递推式的应用, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 16.已知函数 f(x)是定义在[﹣4,+∞)上的单调增函数,且对于一切实数 x,不等式 f (cosx﹣b )≥f(sin x﹣b﹣3)恒成立,则实数 b 的取值范围是
2 2 2 2



考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

分析: 根据函数 f(x)是定义在[﹣4,+∞)上的单调增函数,且对于一切实数 x,不等式 f(cosx﹣b )≥f(sin x﹣b﹣3)恒成立,可得 cosx﹣b ≥sin x﹣b﹣3≥﹣4,即 cosx﹣ 2 2 2 sin x≥b ﹣b﹣3 且 sin x≥b﹣1,从而可求实数 b 的取值范围. 解答: 解:∵函数 f(x)是定义在[﹣4,+∞)上的单调增函数,且对于一切实数 x,不等 式 f(cosx﹣b )≥f(sin x﹣b﹣3)恒成立, 2 2 ∴cosx﹣b ≥sin x﹣b﹣3≥﹣4, 2 2 2 ∴cosx﹣sin x≥b ﹣b﹣3 且 sin x≥b﹣1, ∵cosx﹣sin x=(cosx+ ) ﹣ ∈[﹣ ,1],sin x∈[0,1], ∴b ﹣b﹣3≤﹣ 且 b﹣1≤0, ∴实数 b 的取值范围是 故答案为: .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



点评: 本题考查函数单调性的性质,考查解不等式,转化为 cosx﹣b ≥sin x﹣b﹣3≥﹣4 是关键. 三、解答题:本大题共六个大题,满分 60 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知某学校高一、高二、高三年级分别有 16、12、8 个班.现采用分层抽样的方法从高 一、高二、高三三个年级中抽取 9 个班进行调查, (1)求从高一、高二、高三年级分别抽取的班级个数; (2)若从抽取的高二、高三年级各个班中再随机抽取 2 个进行调查,求抽取的 2 个班中至 少有 1 个来自高三年级的概率 (3)已知高二年级的 A 班和高三年级的 B 班在所抽取的 9 个班中,现再从这 9 个班中按高 一、高二、高三每年级各抽取一个班进行调查,求高二年级的 A 班和高三年级的 B 班都被抽 取的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由题意知总体个数是 16+12+8,要抽取的个数是 9,做出每个个体被抽到的概 率,分别用三个年级的数目乘以概率,得到每一个年级要抽取的班数. (2)从高二年级的 3 个班,高三年级的 2 个班,不妨分别记为 1,2,3,4,5,5 个班中 随机抽取 2 个班的基本事件为 10 个,找到满足条件的基本事件有 7 个,根据概率公式计算 即可 (3)从这 9 个班中按高一、高二、高三每年级各抽取一个班进行调查共有 4×3×2=24 种, 其中高二年级的 A 班和高三年级的 B 班都被抽取的有 4×1×1=4 种, 根据概率公式计算即可 解答: 解: (1)由题意知总体个数是 16+12+8,要抽取的个数是 9, ×9=4, ×9=3, ×9=2,

故应从高一年级抽取 4 个班;高二年级抽取 3 个班,高三年级抽取 2 个班 (2)由(1)知,从高二年级的 3 个班,高三年级的 2 个班,不妨分别记为 1,2,3,4,5 5 个班中随机抽取 2 个班的基本事件为, (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (2,3) , (2, 4) , (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4,5)共 10 个,

设“抽取的 2 个班中至少有 1 个来自高三年级”为事件 A, 则事件 A 包括(1,4) , (1,5) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4,5)共 7 个, 故 P(A)= (3)从这 9 个班中按高一、高二、高三每年级各抽取一个班进行调查共有 4×3×2=24 种, 其中高二年级的 A 班和高三年级的 B 班都被抽取的有 4×1×1=4 种, 故高二年级的 A 班和高三年级的 B 班都被抽取的概率为 点评: 本题主要考查分层抽样的定义和方法,以及古典概率的问题,属于基础题. 18.已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记数列{an}前 n 项的和为 Sn,若数列{bn}满足 bn=anlog2(Sn+2) ,试求数列{bn}前 n 项 的和 Tn. 考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出; (2) 由
n

, 利用等比数列的前 n 项和公式可得 Sn=2 ﹣2, 可得 bn=anlog( = (n+1) 2 Sn+2)

n+1

? 2 ,再利用“错位相减法”与等比数列的前 n 选和公式即可得出. 解答: 解: (I)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q, ∵a3+2 是 a2,a4 的等差中项, ∴2(a3+2)=a2+a4, 代入 a2+a3+a4=28,得 a3=8, ∴ ,

解之得 a1=2,q=2 或 又{an}单调递增,∴a1=2,q=2, ∴ (2)由 ,



∴ ∴ ∴ ∴ ,



. ,

, ∴ =2+(2 +2 +…+2 )﹣(n+1) ? 2 = ∴ .
1 2 n n+1

点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前 n 项和公式、 “错位相减法” 、对数 的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都是 2,又 AA1⊥平面 ABC,D,E 分别是 AC,CC1 的中点. (1)求证:AE⊥平面 A1BD; (2)求点 B1 到平面 A1BD 的距离.

考点: 直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)以 DA 所在直线为 x 轴,过 D 作 AC 的垂线为 y 轴,DB 所在直线为 z 轴建立空 间直角坐标系,确定向量坐标,利用数量积为 0,即可证得结论; (2) =(0,2,0) ,平面 A1BD 的法向量取 =(2,1,0) ,利用距离公式可求点 B1 到

平面 A1BD 的距离. 解答: (1)证明:以 DA 所在直线为 x 轴,过 D 作 AC 的垂线为 y 轴,DB 所在直线为 z 轴 建立空间直角坐标系, 则 A(1,0,0) ,C(﹣1,0,0) ,E(﹣1,﹣1,0) ,A1(1,﹣2,0) ,C1(﹣1,﹣2,0) , B(0,0, ) , ∴ ∴ ∴ =(﹣2,﹣1,0) , ? ⊥ =0, , ? ⊥ =(﹣1,2,0) , =0, , =(0,0,﹣ ) ,

又 A1D 与 BD 相交, ∴AE⊥面 A1BD.

(2)

=(0,2,0) ,

设面 DA1B 的法向量为

=(x1,y1,z1) ,则

,不妨取

=(2,1,0) ,

则 B1 到平面 A1BD 的距离为 d=|

|=



点评: 本题考查向量知识的运用,考查线面垂直,考查面面角,考查点到面的距离,考查 学生的计算能力,属于中档题.

20.已知方向向量为 =(1,

)的直线 l 过点(0,﹣2

)和椭圆 C:

+

=1(a>b

>0)的右焦点,且椭圆的离心率为 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 P(﹣8,0)的直线与椭圆相交于不同两点 A、B,F 为椭圆 C 的左焦点,求三 角形 ABF 面积的最大值. 考点: 椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题;不等式的解法及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由直线的方向向量可得斜率为 ,求得直线 l 的方程,椭圆的焦点为直线 l 与 x 轴的交点,求得右焦点,再由离心率公式和 a,b,c 的关系,可得 a,b,进而得到椭 圆方程; (2)设 AB 方程为 x=my﹣8,代入椭圆方程,消去 x,运用判别式大于 0 和韦达定理,由 S
△ABF

=S△PBF﹣S△APF= |PF|? |y2﹣y1|,化简整理,结合基本不等式,即可得到最大值. ) , ) ,

解答: 解: (1)∵直线 l 的方向向量为 =(1,

∴直线 l 的斜率为 k= ,又∵直线 l 过点(0,﹣2 ∴直线 l 的方程为 y= x﹣2 , ∵a>b,∴椭圆的焦点为直线 l 与 x 轴的交点, ∴椭圆的右焦点为(2,0) , ∴c=2,又∵ ,

∴a=4,∴b =12 ∴椭圆方程为 ;

2

(2)设 AB 方程为 x=my﹣8,代入椭圆方程 整理得(3m +4)y ﹣48my+144=0, △=(48m) ﹣4×144(3m +4)>0,y1+y2= 则 S△ABF=S△PBF﹣S△APF= |PF|? |y2﹣y1|= ×6
2 2 2 2



,y1y2=



=

=

=



=3



当且仅当 3

=

即m=

2

(此时适合△>0 的条件)取得等号.

则三角形 ABF 面积的最大值是 3 . 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率的运用,同时考查直线方程和 椭圆方程联立,消去未知数,运用韦达定理,以及三角形面积的求法,由基本不等式求得最 大值是解题的关键.

21.已知函数 f(x)=

+tx﹣1.

(Ⅰ)若 f(x)在(0,2)上无极值,求 t 的值; (Ⅱ)若存在 x0∈(0,2) ,使得 f(x0)是 f(x)在[0,2]上的最大值,求 t 的取值范围; x (Ⅲ)当 t>0 时,若 f(x)≤xe ﹣1(e 为自然对数的底数)对任意 x∈[0,+∞)恒成立, 求 t 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数 的最值. 专题: 计算题;分类讨论;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求导 f′(x)=x ﹣(t+1)x+t=(x﹣t) (x﹣1) ,从而由 f(x)在(0,2) 上无极值可得 t=1; (Ⅱ)由 f′(x)=(x﹣t) (x﹣1)知,分 t≤0,0<t<1,t=1,1<t<2 与 t≥2 五种情 况讨论函数的单调性,从而确定函数的最大值点,从而求 t. (Ⅲ)当 t>0 时,f(x)≤xe ﹣1 对任意 x∈[0,+∞)恒成立可化为 对任意 x∈[0,+∞)恒成立,令 ,从而由导数确定函数的单调性,从而转化为最值问 题.
x 2

解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=
2

+tx﹣1,

∴f′(x)=x ﹣(t+1)x+t=(x﹣t) (x﹣1) , 又∵f(x)在(0,2)无极值, ∴t=1; (Ⅱ) (1)当 t≤0 时,f(x)在(0,1)单调递减,在(1,2)单调递增,不合题意; (2)当 0<t<1 时,f(x)在(0,t)单调递增,在(t,1)单调递减,在(1,2)单调 递增, ∴f(t)≥f(2) , 由 f(t)≥f(2)得,﹣t +3t ≥4 在 0<t<1 时无解; (3)当 t=1 时,不合题意; (4)当 1<t<2 时,f(x)在(0,1)单调递增,在(1,t)单调递减,在(t,2)单调 递增, ∴ 即 ;
3 2

∴ ≤t<2; (5)当 t≥2 时,f(x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,满足条件; 综上所述: 大值. (Ⅲ)当 t>0 时,若 f(x)≤xe ﹣1 对任意 x∈[0,+∞)恒成立, 即 令 , , g′(x)在 x∈[0,+∞)上是递增函数, , g(x)在 x∈[0,+∞)上递增, g(x)≥g(0)=1﹣t≥0, 即 t≤1; 故 t 的取值范围为 0<t≤1. 点评: 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想应用,应用到了二阶求导,同时 考查了恒成立问题,属于难题. 选做题(在 22、23、24 三题中任选一题作答) 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.选修 4﹣1:几何证明选讲 对任意 x∈[0,+∞)恒成立, ,
x

时,存在 x0∈(0,2) ,使得 f(x0)是 f(x)在[0,2]上的最

如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B、C 两点,弦 CD∥AP,AD、 BC 相交于点 E,F 为 CE 上一点,且 DE =EF? EC. (1)求证:CE? EB=EF? EP; (2)若 CE:BE=3:2,DE=3,EF=2,求 PA 的长.
2

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题. 分析: (I)由已知可得△DEF∽△CED,得到∠EDF=∠C.由平行线的性质可得∠P=∠C,于 是得到∠EDF=∠P, 再利用对顶角的性质即可证明△EDF∽△EPA. 于是得到 EA? ED=EF? EP. 利 用相交弦定理可得 EA? ED=CE? EB,进而证明结论; (II)利用(I)的结论可得 BP=
2

,再利用切割线定理可得 PA =PB? PC,即可得出 PA.

2

解答: (I)证明:∵DE =EF? EC,∠DEF 公用, ∴△DEF∽△CED, ∴∠EDF=∠C. 又∵弦 CD∥AP,∴∠P=∠C, ∴∠EDF=∠P,∠DEF=∠PEA ∴△EDF∽△EPA. ∴ ,∴EA? ED=EF? EP.

又∵EA? ED=CE? EB, ∴CE? EB=EF? EP; (II)∵DE =EF? EC,DE=3,EF=2. ∴3 =2EC,∴
2 2



∵CE:BE=3:2,∴BE=3. 由(I)可知:CE? EB=EF? EP,∴ ∴BP=EP﹣EB= .
2

,解得 EP=



∵PA 是⊙O 的切线,∴PA =PB? PC, ∴ ,解得 .

点评: 熟练掌握相似三角形的判定和性质定理、平行线的性质、对顶角的性质、相交弦定 理、切割线定理是解题的关键. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】

23.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)若 ,直线 l 的参数方程为

,半径 r=



(t 为参数) ,直线 l 交圆 C

于 A、B 两点,求弦长|AB|的取值范围. 考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (I)先得出圆的直角坐标方程,再利用 (Ⅱ)将
2

化为极坐标方程.

,代入 C 的直角坐标方程可得 t +2(cosα﹣sinα)t﹣6=0,则△

>0,设 A,B 对应参数分别为 t1,t2,利用根与系数的关系可得 ,即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)由
2

得,C 直角坐标(2,2) ,
2

∴圆 C 的直角坐标方程为(x﹣2) +(y﹣2) =8, 由 (Ⅱ)将
2

得,圆 C 的直角坐标方程为ρ=4cosθ+4sinθ. ,代入 C 的直角坐标方程(x﹣2) +(y﹣2) =8,
2 2

得 t +2(cosα﹣sinα)t﹣6=0,则△>0, 设 A,B 对应参数分别为 t1,t2,则 t1+t2=﹣2(cosα﹣sinα) ,t1t2=﹣6, ∴ ∵ ,∴sin2α∈[0,1] ,

∴|AB|的取值范围为 . 点评: 本题考查了圆的直角坐标方程化为极坐标方程、直线的参数方程的应用、弦长公式, 考查了计算能力,属于基础题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|﹣1,其中 a>1. (Ⅰ)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集; (Ⅱ)已知关于 x 的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤1 的解集为 ,求 a 的值.

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;分类讨论;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)当 a=2 时,f(x)≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥5,运用零点分区间, 求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥5 的解集即可;

(Ⅱ) 设h (x) =f (2x+a) ﹣2f (x) , 运用分段函数表示 h (x) , 由|h (x) |≤1 解得 它与 ≤x≤1 等价,然后求出 a 的值. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=2 时,f(x)≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥5, 当 x≤2 时,得﹣2x+6≥5,解得 x≤ ; 当 2<x<4 时,得 2≥5,无解; 当 x≥4 时,得 2x﹣6≥5,解得 x≥ 故不等式的解集为{x|x≥ ;



或 x≤ }.

(II)令 h(x)=f(2x+a)﹣2f(x)=|2x|﹣|2x﹣2a|+1,



由|h(x)|≤1,可得 又 ,



则有



解得 a=2. 点评: 本题是中档题,考查绝对值不等式的解法,注意分类讨论思想的应用,考查计算能 力,常考题型.


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