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2016高考数学理科二轮复习习题:专题8第三讲 不等式选讲


专题八

选修专题

第三讲

不等式选讲

1.绝对值三角不等式. (1)定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+B|≤|a|+|b|, 当且仅当 ab≥0 时,等号成立. (2)定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|, 当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等号

成立. 2.绝对值不等式的解法. (1)不等式|x|<a 与|x|>a 的解集: 不等式 |x|<a |x|>a a>0 {x|-a<x<a} {x|x>a 或 x<-a} a=0 ? {x|x≠0} a<0 ? R

(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: ①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c?ax+b≥c 或 ax+b≤-c. (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解 法: 方法一: 利用绝对值不等式的几何意义求解, 体现了数形结合的
1

思想; 方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方 程的思想.

3.柯西不等式的二维形式.
2 (1)柯西不等式的代数形式:设 a1,a2,b1,b2 均为实数,则(a1 + 2 2 2 a2 )(b1 +b2 2)≥(a1b1+a2b2) (当且仅当 a1b2=a2b1 时,等号成立).

(2)柯西不等式的向量形式:设 α,β 为平面上的两个向量,则 |α||β|≥|α·β|.
2 (3)二维形式的三角不等式:设 x1,y1,x2,y2∈R,那么 x2 1+y1 2 2 2 + x2 2+y2≥ (x1-x2) +(y1-y2) .

4.柯西不等式的一般形式. 柯西不等式的一般形式:设 a1,a2,?,an,b1,b2,?,bn 为
2 2 2 2 实数,则 (a 2 (b 1 +b2 1 + a 2 +?+ a n )· 2 +?+ b n )≥(a1b1 + a2b2 +?+

anbn)2. 5.基本不等式的一般形式. a+a2+?+an n ≥ a1a2?an(a1,a2,?,an∈R+). n

1.函数 y=|x-4|+|x-6|的最小值为(A) A.2 B. 2 C.4 D.6
2

解析:y=|x-1|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2. 2.不等式 3≤|5-2x|<9 的解集为(D) A.[-2,1)∪[4,7) B.(-2,1]∪(4,7]

C.(-2,-1]∪[4,7) D.(-2,1]∪[4,7)
? ? ?|2x-5|<9, ? ?-9<2x-5<9, ?-2<x<7, 解析: ? ?? ?? ?|2x-5|≥3 ?2x-5≥3或2x-5≤-3 ? ?x≥4或x≤1, ? ?

得(-2,1]∪[4,7). 3.(2015· 皖南八校联考)不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a 对任意实 数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为(A) A.[-1,4] C.[-2,5] B.(-∞,-2]∪[5,+∞) D.(-∞,-2)∪[4,+∞)

解析:由绝对值的几何意义易知|x+3|+|x-1|的最小值为 4,所 以不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,只需 a2- 3a≤4,解得-1≤a≤4. x2+5x+15 4.(2015· 延边州质检)函数 y= (x≥0)的最小值为(B) x+2 A.6 C. 7 B.7 D.9

(x+2)2+(x+2)+9 9 解析:原式变形为 y= =x+2+ + x+2 x+2 1,因为 x≥0,所以 x+2>0,所以 x+2+ 9 ≥6.所以 y≥7,当且 x+2

仅当 x=1 时取等号.所以 ymin=7(当且仅当 x=1 时).

3

一、选择题 1.不等式|x-5|+|x+3|≥10 的解集是(D) A.[-5,7] B.[-4,6]

C.(-∞,-5]∪[7,+∞) D.(-∞,-4]∪[6,+∞) 解析:当 x≤-3 时,|x-5|+|x+3|=5-x-x-3=2-2x≥10, 即 x≤-4,∴x≤-4.当-3<x<5 时,|x-5|+|x+3|=5-x+x+3= 8≥10,不成立,∴无解.当 x≥5 时,|x-5|+|x+3|=x-5+x+3 =2x-2≥10,即 x≥6,∴x≥6.综上可知,不等式的解集为(-∞, -4]∪[6,+∞),故选 D. x2+5x+15 2.(2015· 延边州质检)函数 y= (x≥0)的最小值为(B) x+2 A.6 B.7 C. 7 D.9

(x+2)2+(x+2)+9 9 解析:原式变形为 y= =x+2+ + x+2 x+2 1,因为 x≥0,所以 x+2>0,所以 x+2+ 9 ≥6.所以 y≥7,当且 x+2

仅当 x=1 时取等号.所以 ymin=7(当且仅当 x=1 时). 3.若 x,y∈R 且满足 x+3y=2,则 3x+27y+1 的最小值是(D) 3 A.3 9 C.6 B.1+2 2 D.7

解析: 3x+ 33y+ 1≥2 3x·33y+ 1= 2 3x+3y+ 1= 7.当且仅当 3x =33y 时,即 x=3y=1 时取等号.
4

4.设 x>0,y>0,A= 小关系是(B) A.A=B C.A≤B 解析: B = A<B.

x+y x y ,B= + ,则 A,B 的大 1+x+y 1+x 1+y

B.A<B D.A>B x+y x y x y + > + = = A ,即 1+x 1+y 1+x+y 1+y+x 1+x+y

5.设 a,b,c 为正数且 a+2b+3c=13,则 3a+ 2b+ c的最 大值为(C) 169 A. 3 B. 13 3 C.
? ?

13 3 3

D. 13
? 1 ?2? ? ? ≥ ( 3a+ 2b + c)2, ? 3? ?

解析: (a+ 2b+ 3c)?( 3)2+12+?

∵ a + 2b + 2c = 13 ,∴ ( 3a + 2b + c)2 ≤

169 . ∴ 3a + 2b + c ≤ 3

13 3 a 2b 3c ,当且仅当 = = 时取等号.∵a+2b+3c=13,∴a= 3 1 1 3 3 3 1 13 3 9,b= ,c= 时, 3a+ 2b+ c取最大值 . 2 3 3 二、填空题 6.不等式 1<|x+1|<3 的解集为(-4,-2)∪(0,2). 7.不等式|x-8|-|x-4|>2 的解集为{x|x<5}. 4,x≤4, ? ? 解析: 令 f(x)=|x-8|-|x-4|=?-2x+12, 4<x≤8, 当 x≤4 时, ? ?-4,x>8, f(x)=4>2;当 4<x≤8,时 f(x)=-2x+12>2,得 x<5,∴4<x<5;当 x>8 时,f(x)=-4>2 不成立.故原不等式的解集为{x|x<5}.
5

8.已知关于 x 的不等式|x-1|+|x|≤k 无解,则实数 k 的取值范 围是 k<1. 解析:∵|x-1|+|x|≥|x-1-x|=1,∴当 k<1 时,不等式|x-1| +|x|≤k 无解,故 k<1. 三、解答题 9. (2015· 柳州一模)已知关于 x 的不等式|2x+1|-|x-1|≤log2a(其 中 a>0). (1)当 a=4 时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围. 解析:(1)当 a=4 时,不等式即|2x+1|-|x-1|≤2. 1 1 当 x<- 时,不等式为-x-2≤2,解得-4≤x<- . 2 2 1 1 2 当- ≤x≤1 时,不等式为 3x≤2,解得- ≤x≤ . 2 2 3 当 x>1 时,不等式为 x+2≤2,此时 x 不存在.
? 2? 综上,不等式的解集为?x|-4≤x≤3?. ? ?

-x-2,x<- , ? 2 ? 1 (2)设 f(x)=|2x+1|-|x-1|=? 3x,- ≤x≤1, 2 ? ?x+2,x>1.
? 3 ? 3 故 f(x)∈?-2,+∞?,即 f(x)的最小值为- .所以当 f(x)≤log2a 2 ? ? ? 2 ? 3 2 有解,则有 log2a≥- ,解得 a≥ ,即 a 的取值范围是? ,+∞?. 2 4 ?4 ?

1

10.(2014· 辽宁卷)设函数 f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x +1.记 f(x)≤1 的解集为 M,g(x)≤4 的解集为 N.
6

(1)求 M; 1 (2)当 x∈M∩N 时,求证:x2f(x)+x[f(x)]2≤ . 4
? ? ?x≥1, ?x<1, 解析:(1)由 f(x)=2|x-1|+x-1≤1 可得? 或? ?3x-3≤1 ? ?1-x≤1. ? ? ? ?x≥1, ?x<1, 4 ? 解 得 1≤x≤ ,解? 得 0≤x<1. 3 ? ? ?3x-3≤1 ?1-x≤1 ? 4? 综上,原不等式的解集为?0,3?. ? ?

1 3 (2)由 g(x)=16x2-8x+1≤4,得- ≤x≤ , 4 4
? 1 3? ? 3? ∴N=?-4,4?.∴M∩N=?0,4?. ? ? ? ?

∵当 x∈M∩N 时,f(x)=1-x, 1 ? 1?2 1 ∴x2f(x)+x[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]= -?x-2? ≤ , 4 ? 4 ? 故要证的不等式成立. 11.已知不等式|a-2|≤x2+2y2+3z2 对满足 x+y+z=1 的一切 实数 x,y,z 都成立,求实数 a 的取值范围. 解析:由柯西不等式,得[x2+( 2y)2+( 3z)2]?12+?
? ? ? 1 ?2 ? 1 ?2? ? +? ? ? ? 2? ? 3? ?

≥(x+y+z)2. 6 ∴x2+2y2+3z2≥ . 11 x 2y 3z 当且仅当 = = 时取等号, 1 1 1 2 3 6 3 2 即 x= ,y= ,z= 取等号. 11 11 11

7

6 则|a-2|≤ . 11
?16 28? 所以实数 a 的取值范围为?11,11 ?. ? ?

8


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