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2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分13 变化率与导数、导数的计算


开卷速查(十三)

变化率与导数、导数的计算

A 级 基础巩固练 1.[2014· 课标全国Ⅱ]设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方 程为 y=2x,则 a=( A.0 C.2 ) B.1 D.3

1 解析:y′=a- ,由题意得 y′|x=0=2, x+1 即 a-1=2,所以 a=3. 答案:

D 4 2.已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜 e +1 角,则 α 的取值范围是( π? ? A.?0,4?
? ? ? ?π 3π? C.?2, 4 ? ?

)
?π π? B.?4,2? ? ? ? ?3π ? D.? 4 ,π? ?

-4ex 解析:y′= x = ?e +1?2

-4

ex+2+ex

x ≥ - 1( 当且仅当 e =1,即 x=0 时 1

3π 取等号),即-1≤tanα<0,所以 4 ≤α<π. 答案:D 2 3.已知函数 f(x)=3x3-2ax2-3x(a∈R),若函数 f(x)的图像上点 P(1,m)处的切线方程为 3x-y+b=0,则 m 的值为( 1 A.-3 1 B.-2 )

1 C.3 2 解析:∵f(x)=3x3-2ax2-3x, ∴f′(x)=2x2-4ax-3,

1 D.2

∴过点 P(1,m)的切线斜率 k=f′(1)=-1-4a. 又点 P(1,m)处的切线方程为 3x-y+b=0, ∴-1-4a=3,∴a=-1, 2 ∴f(x)=3x3+2x2-3x. 又点 P 在函数 f(x)的图像上, 1 ∴m=f(1)=-3,故选 A. 答案:A 1 1 4.已知曲线 y=4x2-3lnx 的一条切线的斜率为-2,则切点横坐 标为( ) B.3 D.2

A.-2 C.2 或-3

1 3 解析:设切点坐标为(x0,y0),∵y′=2x-x , 1 3 1 2 ∴y′|x=x0=2x0-x =-2, 即 x0 +x0-6=0, 解得 x0=2 或-3(舍).
0

答案:D 5.曲线 y=e-2x+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的 三角形的面积为( 1 A.3 2 C.3 ) 1 B.2 D.1

解析:y′|x=0=(-2e-2x)|x=0=-2,故曲线 y=e-2x+1 在点(0,2)处 的切线方程为 y=-2x+2,易得切线与直线 y=0 和 y=x 的交点分别
?2 2? 1 2 1 为(1,0),?3,3?,故围成的三角形的面积为2×1×3=3. ? ?

答案:A 1 6.下列四个图像中,有一个是函数 f(x)=3x3+ax2+(a2-4)x+1(a ∈R,a≠0)的导函数 y=f′(x)的图像,则 f(1)=( )

10 A. 3 2 C.-3

4 B.3 D.1

解析: f′(x)=x2+2ax+a2-4, 因为 a≠0, 所以 f′(x)不是偶函数, 排除第一、 二个图像, 由于开口向上, 所以第三个图像是 f′(x)的图像,

?f′?0?=0, ? 2a ?- 2 >0.
答案:C

1 2 a=-2,f(x)=3x3-2x2+1,f(1)=-3.选 C.

?π? ?π? 7.已知函数 f(x)=f ′?2?sinx+cosx,则 f?4?=__________. ? ? ? ? ?π? ?π? 解析:由已知:f ′(x)=f ′?2?cosx-sinx.则 f ′?2? ? ? ? ? ?π? =-1,因此 f(x)=-sinx+cosx, f?4?=0. ? ?

答案:0

1 8. 若以曲线 y=3x3+bx2+4x+c (c 为常数)上任意一点为切点的切 线的斜率恒为非负数,则实数 b 的取值范围为__________. 解析:y′=x2+2bx+4,∵y′≥0 恒成立, ∴Δ=4b2-16≤0,∴-2≤b≤2. 答案:[-2,2] 9.曲线 f(x)= __________. 解析:f′(x)= f′?1? x f′?1? 1 e - f (0) + x ? f ′ (1) = e e e -f(0)+1?f(0)= f′?1? x 1 2 e - f (0) x + e 2x 在点 (1, f(1))处的切线方程为

f′?1? 1 1.在函数 f(x)= e ex-f(0)+2x2 中,令 x=0,则得 f′(1)=e.所以 f(1) 1 1 =e-2,所以 f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 y=e(x-1)+f(1)=ex-2, 1 即 y=ex-2. 1 答案:y=ex-2 1 10.已知点 M 是曲线 y=3x3-2x2+3x+1 上任意一点,曲线在 M 处的切线为 l,求: (1)斜率最小的切线方程; (2)切线 l 的倾斜角 α 的取值范围. 解析:(1)∵y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1, 5 ∴当 x=2 时,y′=-1,y=3. 5? ? ∴斜率最小的切线过点?2,3?,斜率 k=-1.
? ?

11 ∴切线方程为 x+y- 3 =0. (2)由(1)得 k≥-1,∴tanα≥-1, π? ?3π ? ? ∴α∈?0,2?∪? 4 ,π?.
? ? ? ?

B级

能力提升练

11.已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵 坐标为( A.1 C.-4 ) B.3 D.-8

解析:依题意,得 P(4,8),Q(-2,2). x2 由 y= 2 ,得 y′=x. ∴在点 P 处的切线方程为 y-8=4(x-4), 即 y=4x-8.① 在点 Q 处的切线方程为 y-2=-2(x+2), 即 y=-2x-2.② 联立①,②得点 A(1,-4),故选 C. 答案:C 12.已知曲线 f(x)=xn+1(n∈N*)与直线 x=1 交于点 P,设曲线 y= f(x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn,则 log2 +…+log2 013x2 012 的值为__________. 解析:f′(x)=(n+1)xn,k=f′(1)=n+1, 点 P(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1), 令 y=0,得 x=1- 1 n n = ,即 xn= , n+1 n+1 n+1
013x1+log2 013x2

1 2 3 2 011 2 012 1 ∴x1· x2· …· x2 012=2×3×4×…×2 012×2 013=2 013,则 log2 013x1 +log2 013x2+…+log2 013x2 012=log2 013(x1x2…x2 012)=-1. 答案:-1 2 13.已知函数 f(x)=x-x,g(x)=a(2-lnx)(a>0).若曲线 y=f(x) 与曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率相同,求 a 的值,并判断两条切线 是否为同一条直线. 解析:根据题意有 曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线斜率为 f′(1)=3, 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率为 g′(1)=-a. 所以 f′(1)=g′(1),即 a=-3. 曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-f(1)=3(x-1),又 f(1)=- 1, 得:y+1=3(x-1), 即切线方程为 3x-y-4=0. 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为 y-g(1)=3(x-1).又 g(1)= -6. 得 y+6=3(x-1),即切线方程为 3x-y-9=0, 所以,两条切线不是同一条直线. 14.已知函数 f(x)=x3+x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线, 且经过原点, 求直线 l 的方程及切 点坐标; 1 (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=-4x+3 垂直, 求切点坐 标与切线的方程.

解析:(1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上. ∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1, ∴在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13. ∴切线的方程为 y=13(x-2)+(-6), 即 y=13x-32. (2)设切点为(x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x2 0+1,
2 ∴直线 l 的方程为 y=(3x0 +1)(x-x0)+x3 0+x0-16,

又∵直线 l 过点(0,0),
3 ∴0=(3x2 0+1)(-x0)+x0+x0-16,

整理得,x3 0=-8,∴x0=-2. ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26, k=3×(-2)2+1=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). x (3)∵切线与直线 y=-4+3 垂直, ∴切线的斜率 k=4.
2 设切点的坐标为(x0,y0),则 f′(x0)=3x0 +1=4,

解得 x0=± 1.
?x0=1, ?x0=-1, ? ? ∴? 或? ? ? ?y0=-14 ?y0=-18.

切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18. 即 y=4x-18 或 y=4x-14.


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