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江苏省2014届一轮复习数学试题选编10:三角函数的综合问题(学生版)


江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 10:三角函数的综合问题

填空题 1 . (江苏省 2013 届高三高考模拟卷(二) (数学) )已知锐角 A, B 满足 tan( A ? B) ? 2 tan A ,则 tan B 的

最大值是______.
2 . (扬州、 南通、 泰州、 宿迁四市 2013 届高三第二次调研测

试数学试卷) 函数 f ( x) ? ( x ? 1)sin πx ? 1(?1 ? x ? 3)

的所有零点之和为____.
3 . (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)已知 x , y 均为正数, ? ? ?

?? ? ? , ?, ?4 2?

sin ? cos ? cos 2 ? sin 2 ? x 10 ? 且满足 , ,则 的值为______. ? 2 ? 2 2 2 x y y x y 3( x ? y )
4 . (江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试数学(理)试题)函数

?log 4 x, x ? 0 的图 f ( x) ? ? ? cos x, x ? 0

象上关于原点 O 对称的点有______.对.
5 . (江苏省南京市四区县 2013 届高三 12 月联考数学试题 ) 函数

y ? cos2 x ? sin 2 x ? 2 sin x ? cosx ,

? ?? x ? ?0, ? 的最大值为__________ ? 2?
6 . (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)每年的 1 月 1 日是元旦节,7 月 1 日是建党节,而 2013 年

的春节是 2 月 10 日,因为 2sin11? sin 71? sin[( ______ )? ? 30? ] ? sin 2013? sin 210? ,新年将注定不平凡,请 在括号内填写一个由月份和日期构成的正整数,使得等式成立,也正好组成我国另外一个重要节日.
7 (南京市、 . 盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题) ?ABC 中, 若 9 cos 2 A ? 4 cos 2 B ? 5 , 则 在

BC AC 的值为
8

.

.( 南 京 市 、 盐 城 市 2013 届 高 三 年 级 第 一 次 模 拟 考 试 数 学 试 题 ) 若

x , y 满足

log 2 [4 cos2 (xy ) ?

1 y e2 ] ? ln y ? ? ln 4 cos2 ( xy ) 2 2 , 则 y cos 4 x 的值为

.

9 . 江 苏 省 徐州 市 2013 届 高 三 期 中模 拟 数学 试 题) 给出下列四个命题,其中不正确命题的序号是 (

_____________. ①若 cos? ? cos ? , 则? ? ? ? 2k? , k ? Z ;②函数

y ? 2 cos( 2 x ?

?

? 3 的图象关于 x= 12 对称;③函
)

数 y ? cos(sin x)(x ? R) 为偶函数,④函数 y ? sin | x | 是周期函数,且周期为 2 ? .
解答题
第 1 页,共 14 页

10. (江苏省苏南四校 2013 届高三 12 月月考试数学试题)已知向量 m ? (sinx,?1), n ? (cos x,3)

(1)当 m // n 时,求

sin x ? cos x 的值; 3 sin x ? 2 cos x

(2)设函数 f ( x) ? (m ? n) ? m ,求 f ( x ) 的单调增区间; (3)已知在锐角 ? ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, 3c ? 2a sin( ? B) ,对于(2)中的函数 A

f ( x) ,求 f ( B ?

?
8

) 的取值范围.

11. (南京市四星级高级中学 2013 届高三联考调研考试(详细解答)2013 年 3 月 )如图,两座建筑物 AB, CD

的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是 9 cm 和 15 cm ,从建筑物 AB 的顶 部 A 看建筑物 CD 的视角 ?CAD ? 45? . (1) 求 BC 的长度; (2) 在 线 段 BC 上 取 一 点 P ( 点 P 与 点 B, C 不 重 合 ), 从 点 P 看 这 两 座 建 筑 物 的 视 角 分 别 为 ?APB ? ? , ?DPC ? ? , 问点 P 在何处时, ? ? ? 最小?

D A

?
B P

?
C
第 17 题图

12 . 江 苏 海 门 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 模 拟 数 学 试 卷 ) 已 知 复 数 (

z1 ? cos? ? i sin ? ,

z 2 ? cos ? ? i sin ? , z1 ? z 2 ? 2 5 , 求 :(1) 求 cos(? ? ? ) 的 值 ;
5
sin ? ? ? 5 ,求 sin ? 的值. 13

(2) 若 ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? , 且 2 2

第 2 页,共 14 页

13. (江苏省南京市四校 2013 届高三上学期期中联考数学试题)已知 sin( A ?

π π π 7 2 , A?( , ) . )? 4 2 4 10

(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ?

5 sin A sin x 的值域. 2

14. (江苏省南京市四区县 2013 届高三 12 月联考数学试题 )在三角形 ABC 中,已知 2AB ? AC ? AB ? AC ,

??? ???? ?

??? ???? ?

设∠CAB=α , (1)求角 α 的值; (2)若 cos(? -? )=

? 5? 4 3 ,其中 ? ? ( , ) ,求 cos ? 的值. 3 6 7

15. (江苏省苏州市五市三区 2013 届高三期中考试数学试题 )某企业有两个生产车间分别在 A 、 B 两个位

置, A 车间有 100 名员工, B 车间有 400 名员工.现要在公路 AC 上找一点 D ,修一条公路 BD ,并在 D 处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐.已知 A 、 B 、 C 中任意两点间的距离均有 1km ,设
?BDC ? ? ,所有员工从车间到食堂步行的总路程为 s .

(1)写出 s 关于 ? 的函数表达式,并指出 ? 的取值范围; (2)问食堂 D 建在距离 A 多远时,可使总路程 s 最少
A D

C

第 17 题图

B

第 3 页,共 14 页

16. (2010 年高考(江苏) 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位 m),如示意图,垂直放置的标杆 BC 高度 )

h=4m,仰角∠ABE=α ,∠ADE=β (1)该小组已经测得一组 α 、β 的值,tanα =1.24,tanβ =1.20,,请据此算出 H 的值 (2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位 m),使 α 与 β 之差较大, 可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为 125m,问 d 为多少时,α -β 最大
E

D

β

α B d

A

17. (江苏省海门市四校 2013 届高三 11 月联考数学试卷 )若实数 x 、 y 、m 满足 x ? m ? y ? m ,则称 x 比

y 接近 m .
(1)若 x ? 1比 3 接近 0,求 x 的取值范围;
2

(2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a b ? ab 比 a ? b 接近 2ab ab ;
2 2 3 3

(3)已知函数 f ( x ) 的定义域 D x x ? k? , k ? Z , x ? R .任取 x ? D , f ( x ) 等于 1 ? sin x 和 1 ? sin x 中接近 0 的那个值.写出函数 f ( x ) 的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论 不要求证明).

?

?

18. (2012 年江苏理)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC .

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

(1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

19 .( 江 苏 省 姜 堰 市 2012—2013 学 年 度 第 一 学 期 高 三 数 学 期 中 调 研 ( 附 答 案 ) ) 已 知

? a?

?

? ? ? π 3 s i n , s x,n ? ? sin x,cos x ? ,设函数 f ( x) ? a ? b , x ? [ , π] x i b 2

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的零点; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值和最小值.

20.扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题) ( 已知向量 m
第 4 页,共 14 页

1 ? (sin x,?1) , n ? ( 3 cos x,? ) , 2

函数 f ( x) ? m ? m ? n ? 2 . (Ⅰ)求 f (x) 的最大值,并求取最大值时 x 的取值集合; (Ⅱ)已知 a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边,且 a , b , c 成等比数列,角 B 为锐角,且

2

f ( B) ? 1 ,求

1 1 的值. ? tan A tan C

21. (2013 江苏高考数学)本小题满分 16 分.如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.

一种是从 A 沿直线步行到 C ,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C .现有甲. 乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50m / min .在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1 min 后,再从匀速步行到 C .假设缆车匀速直线运动的速度为 130m / min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量, cos A ?

12 3 , cos C ? . 13 5

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? A B

C
22. (2013 江苏高考数学)本小题满分 14 分.已知 a (cos ? ,sin ? ),? (cos ? ,sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? . = b

?

?

(1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ;(2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.

? ?

?

?

?

? ?

?

23. (江苏省姜堰市 2012—2013 学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ) 如图:某污水处理厂要在一个矩

形污水处理池 (ABCD) 的池底水平铺设污水净化管道 ( Rt? FHE , H 是直角顶点)来处理污水,管道越 短,铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点, E, F 分别落在线段 BC, AD 上.已知
AB ? 20 米, AD ? 10 3 米,记 ?BHE ? ? .

(Ⅰ)试将污水净化管道的长度 L 表示为 ? 的函数,并 写出定义域; 3 ?1 (Ⅱ)若 sin ? ? cos ? ? ,求此时管道的长度 L ; 2 (Ⅲ)问:当 ? 取何值时,铺设管道的成本最低?并求出此时管道的长度.

第 5 页,共 14 页

第 6 页,共 14 页

江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 10:三角函数的综合问题参考答案 填空题 1. 2. 3. 4. 5. 6.

2 4 4

3
3

2
101; 本 题 的 一 般 结 论 是 4 sin x ? sin 60 0 ? x ? sin 60 0 ? x ? sin 3 x , 可 以 应 用 课 本 习 题 中 结 论

?

? ?

?

sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? 证得.

7. 8.

2 3

-1 9. 1,2,4
解答题 10.

第 7 页,共 14 页

11. ⑴作 AE ? CD ,垂足为 E ,则 CE ? 9 , DE ? 6 ,设 BC ? x ,

则 tan ?CAD ? tan(?CAE + ?DAE) ?

tan ?CAE + tan ?DAE 1 ? tan ?CAE ? tan ?DAE

9 6 + ? x x ? 1 ,化简得 x 2 ? 15 x ? 54 ? 0 ,解之得, x ? 18 或 x ? ?3 (舍) 9 6 1? ? x x
答: BC 的长度为 18m ⑵设 BP ? t ,则 CP ? 18 ? t (0 ? t ? 18) ,

9 15 + 162 + 6t 6(27 + t ) tan(? + ? ) ? t 18 ? t ? 2 ? 2 9 15 ?t + 18t ? 135 ?t + 18t ? 135 1? ? t 18 ? t
设 f (t ) ?

t 2 + 54t ? 27 ? 23 27 + t , f ?(t ) ? 2 ,令 f ?(t ) ? 0 ,因为 0 ? t ? 18 ,得 t ? 15 6 ? 27 ,当 (t ? 18t + 135) 2 ?t 2 + 18t ? 135
时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是增函

t ? (0,15 6 ? 27) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是减函数;当 t ? (15 6 ? 27,18)
数, 所以,当 t ? 15 6 ? 27 时, f (t ) 取得最小值,即 tan(? + ? ) 取得最小值,

因为 ?t 2 + 18t ? 135 ? 0 恒成立,所以 f (t ) ? 0 ,所以 tan(? + ? ) ? 0 , ? + ? ? ( , ?) , 因为 y ? tan x 在 ( , ?) 上是增函数,所以当 t ? 15 6 ? 27 时, ? + ? 取得最小值. 答:当 BP 为 (15 6 ? 27)m 时, ? + ? 取得最小值
第 8 页,共 14 页

? 2

? 2

12.解:(1)∵ z1

? z 2 ? (cos? ? cos ? ) ? i(sin? ? sin ? ) , z1 ? z 2 ? 2 5 ,
5

2? 2 5 5 ? 3. ,∴cos(α ? β )= ? (cos? ? cos ? ) ? (sin ? ? sin ? ) ? 5 2 5
2 2

4

3 (2)∵ ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ,∴0<α -β <π ,由(1)得 cos(α ? β )= ,
2 2

5

∴sin(α ? β )=

4 . 5

又 sinβ = ?

5 12 ,∴cosβ = . 13 13

∴sinα =sin[(α ? β )+β ]=sin(α ? β )cosβ +cos(α ? β )sinβ = 4 × 12 ? 3 ? (? 5 ) ? 33 . 13 65 5 13 5
13.解:(Ⅰ)因为

π π π π 3π π 7 2 π 2 ? A ? ,且 sin( A ? ) ? ,所以 ? A ? ? , cos( A ? ) ? ? . 4 2 2 4 4 4 10 4 10

因为 cos A ? cos[( A ?

π π π π π π ) ? ] ? cos( A ? ) cos ? sin( A ? ) sin 4 4 4 4 4 4
6

??

3 2 2 7 2 2 3 ? ? ? ? .所以 cos A ? . 5 10 2 10 2 5

4 5 . 所以 f ( x) ? cos 2 x ? sin Asin x 5 2 1 3 1 ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x ? ?2(sin x ? ) 2 ? , x ? R . 因 为 s i n ? ?[ 1 ,,1所 以 , 当 sin x ? x ] 2 2 2 3 时, f ( x ) 取最大值 ;当 sin x ? ?1 时, f ( x ) 取最小值 ?3 . 2 3 所以函数 f ( x ) 的值域为 [ ?3, ] 2 ??? ???? ??? ???? ? ? ??? ???? ? ??? ???? ? 14.解:(1)由 2AB ? AC ? AB ? AC ,得 2 AB ? AC cos ? ? AB ? AC
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得 sin A ? 所以 cos ? ?

1 ? ,又因为 0 ? ? ? ? 为三角形 ABC 的内角,所以 ? ? , 2 3
? 1 3 ,且 ? ? ? ? (0, ) ,所以 sin( ? ? ? ) ? 2 7 2

(2)由(1)知: sin ? ?

故 cos ? ? cos(? ? ? ? ? ) ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ?

=

4 3 1 1 3 3 3 ? ? ? ? 7 2 7 2 14 BD BC CD ? ? , 0 sin ? sin(1200 ? ? ) sin 60
第 9 页,共 14 页

15.解:(1)在 ?BCD 中,?

3 sin(1200 ? ? ) sin(1200 ? ? ) ? BD ? 2 , CD ? ,则 AD ? 1 ? sin ? sin ? sin ? 3 sin(1200 ? ? ) cos ? ? 4 ? 2? s ? 400? 2 ? 100[1 ? ] ? 50 ? 50 3 ? ,其中 ? ? ? sin ? sin ? sin ? 3 3
? sin ? ? sin ? ? (cos ? ? 4) cos ? 1 ? 4 cos ? ? 50 3 ? 2 sin ? sin 2 ? 1 1 ? 2? ) 令 s ' ? 0 得 cos ? ? .记 cos ? 0 ? , ? 0 ? ( , 4 4 3 3 1 当 cos ? ? 时, s '? 0 , 4 1 当 cos ? ? 时, s ' ? 0 , 4
(2) s ' ? ?50 3 ? 所以 s 在 ( 在 (? 0 ,

?

2? ) 上,单调递增, 3 1 时, s 取得最小值 4
0

3

, ? 0 ) 上,单调递减,

所以当 ? ? ? 0 ,即 cos ? ?

3 1 cos? ? sin ? sin(120 ? ? ) 15 2 ? 1? 2 此时, sin ? ? , AD ? 1 ? sin ? sin ? 4

1 1 3 cos? 1 3 4 1 5 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 sin ? 2 2 15 2 10 4
答:当 AD ?

1 5 时,可使总路程 s 最少 ? 2 10
AE AE tan ? AD 31 , tan ? ? ,? ? ? AB AD tan ? AB 30

16. (1)? tan ?

?

17.解:(1) x?(?2,2);

(2) 对任意两个不相等的正数 a、b,有 a2b ? ab2 ? 2ab ab , a3 ? b3 ? 2ab ab , 因为 | a2b ? ab2 ? 2ab ab | ? | a3 ? b3 ? 2ab ab |? ?(a ? b)(a ? b)2 ? 0 , 所以 | a2b ? ab2 ? 2ab ab |?| a3 ? b3 ? 2ab ab | ,即 a b?ab 比 a ?b 接近 2ab ab ;
2 2 3 3

第 10 页,共 14 页

?1 ? sin x, x ? (2k? ? ? , 2k? ) (3) f ( x) ? ? ? 1? | sin x |, x ? k? ,k?Z, ?1 ? sin x, x ? (2k? , 2k? ? ? )

f(x)是偶函数,f(x)是周期函数,最小正周期 T??,函数 f(x)的最小值为 0, ? ? 函数 f(x)在区间 [k? ? , k? ) 单调递增,在区间 (k? , k? ? ] 单调递减,k?Z
2 2

cos cos cos cos 18.解:(1)∵ AB ? AC ? 3BA? BC ,∴ AB ?AC ? A=3BA?BC ? B ,即 AC ? A=3BC ? B .

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

AC BC cos ,∴ sin B?cos A=3sin A? B . = sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0,cos B > 0 .∴ 即 tan B ? 3tan A . =3? cos B cos A
由正弦定理,得

? 5? 5 2 5 tan C ? 2 . , <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? 0 (2)∵ cos C ? ? 5 ? = 5 .∴ ? 5 ? ?

2

tan A ? tan B ? ?2 . 1 ? tan A?tan B 1 4tan A 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1, A= ? . tan 2 3 1 ? 3tan A
∴ tan ?? ? ? A ? B ?? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 .∴ ? ? ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 .∴ A=
19. (Ⅰ)解:由题意:

?
4

.

π f ( x) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x , x ? [ , π] 2

令 f ( x) ? 0 ,得 sin x ? ( 3 sin x ? cos x) ? 0 , 所以 sin x ? 0 ,或 tan x ? ?

3 3

由 sin x ? 0 , x ? [ , π] ,得 x ? ? 由 tan x ? ?

π 2

π 5? 3 , x ? [ , π] ,得 x ? . 2 6 3

综上,函数 f ( x ) 的零点为 (Ⅱ)解: f ? x ? ?

5? 或? 6

3 1 ? 3 ?1 ? cos 2x ? ? sin 2x ? sin ? 2 x ? ? ? ? ? 2 2 3? 2 ?

因为 x ? [ , π] ,所以 2 x ? 当 2x ? 当 2x ?

?
3

π 2

?
3

?[

2π 5π , ] 3 3

?

2π π ,即 x ? 时, f ( x ) 的最大值为 3 ; 3 2

11π π 3π 3 ? ,即 x ? 时, f (x) 的最小值为 ?1 ? 12 3 2 2
第 11 页,共 14 页

20.解:(Ⅰ)

f ( x) ? (m ? n) ? m ? 2 ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ?

1 ?2 2

?

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ? ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin( 2 x ? ) 2 2 2 2 2 6

故 f ( x) max ? 1 ,此时 2 x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ? Z ,得 x ? k? ?

?
3

,k ? Z ,

∴取最大值时 x 的取值集合为 {x | x ? k? ? (Ⅱ) f ( B ) ? sin(2 B ?

?
3

, k ? Z}

?
6

) ? 1 ,? 0 ? B ?

?
2

,? ?

?
6

? 2B ?

?
6

?

? 2B ?

?
6

?

?
2

,B ?

?
3

5? , 6

由 b 2 ? ac 及正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C 于是

1 1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C

?

sin( A ? C ) 1 2 3 ? ? 2 sin B sin B 3

21. 本题主要考察利用正余弦定理解三角形.二次函数的最值.以及三角函数的基本关系.两角和的正弦等

础知识,考察数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.

12 3 , cos C ? 13 5 ? 5 4 ( ∴ A、C ? 0, ) sinA ? ∴ , sinC ? 2 13 5
解:(1)∵ cos A ?

? ( ? ∴ sinB ? sin ?? ? A ? C)? sin(A ? C) sinAcos C ? cos AsinC ?
根据

63 65

AB AC AC ? sinC ? 1040 m 得 AB ? sinC sinB sinB
2 2 2

(2)设乙出发 t 分钟后,甲.乙距离为 d,则 d ? (130 t ) ? (100 ? 50t ) ? 2 ? 130 t ? (100 ? 50t ) ? ∴ d ? 200(37t ? 70t ? 50)
2 2

12 13

1040 即0 ? t ? 8 130 35 35 ∴t ? 时,即乙出发 分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. 37 37
∵0 ? t ? (3)由正弦定理

AC 1260 5 BC AC sin A ? ? 500 (m) ? 得 BC ? 63 13 sinB sinA sinB 65

乙从 B 出发时,甲已经走了 50(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C 设乙的步行速度为 V m / min ,则

500 710 ? ?3 v 50
第 12 页,共 14 页

∴?3?

500 710 1250 625 ? ? 3∴ ?v? v 50 43 14

∴为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在 ? 法二:解:(1)如图作 BD⊥CA 于点 D, 设 BD=20k,则 DC=25k,AD=48k, AB=52k,由 AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m. (2)设乙出发 x 分钟后到达点 M, 此时甲到达 N 点,如图所示. 则:AM=130x,AN=50(x+2), 2 2 2 2 由余弦定理得:MN =AM +AN -2 AM·ANcosA=7400 x -14000 x+10000, 35 其中 0≤x≤8,当 x= (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. 37 1260 126 (3)由(1)知:BC=500m,甲到 C 用时: = (min). 50 5

?1250 625? , ? 范围内 ? 43 14 ?

126 141 86 若甲等乙 3 分钟,则乙到 C 用时: +3= (min),在 BC 上用时: (min) . 5 5 5 86 1250 此时乙的速度最小,且为:500÷ = m/min. 5 43 126 111 56 若乙等甲 3 分钟,则乙到 C 用时: -3= (min),在 BC 上用时: (min) . 5 5 5 56 625 此时乙的速度最大,且为:500÷ = m/min. 5 14 1250 625 故乙步行的速度应控制在[ , ]范围内. 43 14 M B D C
22. 本题主要考查平面向量的加法.减法.数量积.三角函数基本关系式.诱导公式等基础知识,考查运算能

A N

与推理论证能力 解:(1)∵ | a ? b |? 又
2 2 2 2 2 2 ∵ a ?| a | ? cos ? ? sin ? ? 1 , b ?| b | ? cos ? ? sin ? ? 1 ∴ 2 ? 2ab ? 2 ∴ ab ? 0 ∴ 2 2

2

∴ | a ? b |2 ? 2

即 a?b

? ?

2

? a ? 2ab ? b ? 2 ,

2

2

a ?b
(2)∵ a ? b ? (cos? ? cos? , sin ? ? sin ? ) ? (0,1) ∴?

?cos? ? cos ? ? 0 ?cos? ? ? cos ? 即? ?sin ? ? sin ? ? 1 ?sin ? ? 1 ? sin ?

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两 边 分 别 平 方 再 相 加 得 : 1 ? 2 ? 2 sin ? ∴? ?

∴ sin ? ?

1 2

∴ sin ? ?

1 2

∵ 0 ? ? ?? ??

5 1 ?,? ? ? 6 6 10 10 10 23.解:(Ⅰ) EH ? , FH ? , EF ? sin? cos? cos ? sin ? 10 ? 10 3 , 由于 BE ? 10 ? tan ? ? 10 3 , AF ? tan ?

? ? 3 ? tan ? ? 3 , ? ? [ , ] . 6 3 3
所以 L ?

? ? 10 10 10 ,? ?[ , ] ? ? 6 3 cos ? sin ? sin ? ? cos ?

3 ?1 3 时, sin ? cos ? ? , L ? 20( 3 ? 1) ; 2 4 10 (Ⅲ) L ? 10 ? 10 ? = 10 ? sin ? ? cos ? ? 1 ? ,设 sin ? ? cos ? ? t , ? ? cos ? sin ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ?
(Ⅱ) sin ? ? cos ? ? 则 sin ? ? cos ? ?

? ? t 2 ?1 ,由于 ? ? [ , ] , 6 3 2
在[

20 所 以 t ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ? ) ? [ 3 ? 1 , 2] , L ? t ?1 4 2

3 ?1 , 2] 内 单 调 递 减 , 于 是 当 2

t ? 2 时? ?
答:当 ? ?

?
4

. L 的最小值 20( 2 ? 1) 米

?
4

时,所铺设管道的 成本最低,此时管道的长度为 20( 2 ? 1) 米

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