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导数及其应用(知识点总结)


导数及其应用 知识点总结
1、函数 f ? x ? 从 x1 到 x2 的平均变化率:

2、导数定义: f ? x ? 在点 x0 处的导数记作 y ?

f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

r />
3、函数 y ? f ? x ? 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 4、常见函数的导数公式:
' ①C ? 0;

y ? f ? x?

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ;. ?x

在点

? ? x0 , f ? x0 ??

处的切线的斜率.

② ( x n ) ' ? nxn?1 ;③ (sin x) ' ? cos x ; ④ (cosx) ' ? ? sin x ;
'

⑤ (a x ) ' ? a x ln a ;⑥ (e x ) ' ? e x ; ⑦ (log a x ) ? 5、导数运算法则:

1 1 ' ;⑧ (ln x ) ? x ln a x

?1?
? 2?

? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x ? ? g? ? x ? ; ? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x? g ? x ? ? f ? x ? g? ? x ? ;

? f ? x ? ?? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? g ? x ? ? 0? ? ? ? 2 g x ? ? ? ? ? 3? ? g ? x ? ? ? ?



6、在某个区间 ? a, b ? 内,若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递增; 若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递减. 7、求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ? f ( x) ;
' '

(3)解不等式 f ' ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式 f ' ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间. 8、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时:

?1? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; ? 2 ? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.
9、求解函数极值的一般步骤: (1)确定函数的定义域 (3)求方程 f’(x)=0 的根 (4)用方程 f’(x)=0 的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格 (5)由 f’(x)在方程 f’(x)=0 的根左右的符号,来判断 f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b? 上的最大值与最小值的步骤是: (2)求函数的导数 f’(x)

?1? 求函数 y ? f ? x? 在 ? a, b ? 内的极值; ? 2 ? 将函数 y ? f ? x? 的各极值与端点处的函数值 f ? a ? , f ? b ? 比较,其中最大的一个是最大值,最
小的一个是最小值.


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