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西吉中学2014新课标高三数学第一次月考及答案(理科)


西吉中学 2014 年新课标高三数学月考及答案(理科)
注意事项: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.

C. n ? n ? 2, i ? 15 ?

D. n ? n ? 2, i?15 ?

8.已知函数 f ?x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ,下面结论错误的是 ..

A.函数 f ? x ? 的最小正常周期为 ? B.函数 f ? x ? 可由 g ?x ? ? 2 sin 2 x 向左平移 C.函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ? D.函数 f ? x ? 在区间[0,

第 I 卷(选择题 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知全集 U ? N,集合 P ? {1,2,3,4,5}, Q ? {1,2,3,6,8},则 P ? (C U Q) = A.{1,2,3} B.{4,5} C.{6,8} D.{1,2,3,4,5}

?
6

? 个单位得到 6

对称

1 i 2.复数 z ? ,则 z = ? 1? i 1? i A. i B.- i C.1+ i

? ]上是增函数 6

D.1- i

9.函数 f ? x ? 满足 f ?0? ? 0 ,其导函数 f ?? x ? 的图象如下图, 则 f ? x ? 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 A.

3.已知中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线的离心率为 5 ,则它的渐近线方程为 A. y ? ?2 x

5 x B. y ? ? 2

1 C. y ? ? x 2

D. y ? ? 6 x

1 3

B.

4 3

C.2

D.

8 3

10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

2 2 4.已知命题 p1 : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ; p2 : ?x ? [1,2] ,使得 x ? 1 ? 0 .以下命题为

真命题的为 A. ?p1 ? ?p2 B. p1 ? ?p2 C. ?p1 ? p2 D. p1 ? p2

A.

64 3

B.32

C.

80 3

D.

8 +8 2 3

11.已知定义域为 R 的函数 f ? x ? 是奇函数,当 x ? 0 时,

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 5.已知点 Q (5,4),动点 P ( x , y )满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则| PQ |的最小值为 ?y ?1 ? 0 ?
A.5 B.

f ?x ? ? | x ? a 2 |- a 2 ,且对 x ?R,恒有 f ?x ?1? ? f ?x ? ,
则实数 a 的取值范围为

4 3

C.2

D.7

6.若棱长均为 2 的正三棱柱内接于一个球,则该球的半径为 A.

1 1 , ] C.[-1,1] D.[-2,0] 2 2 1 12.在 ?ABC 中, AC ? 6, BC ? 7, cos A ? , O 是 ?ABC 的 5 内心,若 OP = xOA ? yOB ,其中 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1 ,
A.[0,2] B.[动点 P 的轨迹所覆盖的面积为 A.

3 3

B.

2 3 3

C.

21 3

D. 7

7.右图是计算 1+

1 1 1 + +…+ 值的程序框图,则图中①、②处应填写的语句分别是 3 5 29
B. n ? n ? 1, i?15 ?

10 6 3

B.

5 6 3

C.

10 3

D.

20 3

A. n ? n ? 1, i ? 15 ?

第 II 卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题至第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第 22 题至第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 y ? log2 x ? x 的定义域为
2

的概率. (III)经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计,甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5] 之间,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于 0.8 秒的概率. 20.(本小题满分 12 分) 点 P 为圆 O : x ? y ? a
2 2 2

?

?



14.学校要安排 4 名学生在周六、周日参加社会实践活动,每天至少 1 人,则学生甲被安排 在周六的不同排法的种数为 (用数学作答). 15.已知 i 、 j 、 k 为两两垂直的单位向量,非零向量 a ? a1i ? a2 j ? a3k (a1 , a2 , a3 ? R ) ,若 向量 a 与向量 i 、 j 、 k 的夹角分别为 ? 、 ? 、 ? ,则 cos ? ? cos ? ? cos ? ?
2 2 2 2

( a >0)上一动点,PD ? x 轴于 D 点,记线段 PD 的中点 M 的运

动轨迹为曲线 C. (I)求曲线 C 的方程; (II)若动直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,当△OAB(O 是坐标原点)面积取得最大值,且最 大值为 1 时,求 a 的值. 21.(本小题满分 l2 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) , a ∈R. (I)讨论函数 f (x) 的单调性; (Ⅱ)当 x ? 1 时, f (x) ≤



16.过点 M (2,?2 p) 作抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的两条切线,切点分别为 A 、 B ,若线段 AB 中点的纵坐标为 6,则抛物线的方程为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列{ an }为公差不为零的等差数列, a1 =1,各项均为正数的等比数列{ bn }的第 1 项、 第 3 项、第 5 项分别是 a1 、 a3 、 a21 . (I)求数列{ an }与{ bn }的通项公式; (Ⅱ)求数列{ an bn }的前 n 项和. 18.(本小题满分 l2 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,ABCD 为菱形, ? ABC=60 ,
?

ln x 恒成立,求 a 的取值范围. x ?1

请考生在第 22~24 三题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB 为圆 O 的直径,P 为圆 O 外一点,过 P 点作 PC ? AB 于 C, 交圆 O 于 D 点,PA 交圆 O 于 E 点,BE 交 PC 于 F 点. (I)求证: ? P= ? ABE; 2 (Ⅱ)求证:CD =CF·CP. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, Ox 轴为极轴

EC ? 面 ABCD,FA ? 面 ABCD,G 为 BF 的中点,若 EG//面 ABCD. (I)求证:EG ? 面 ABF; (Ⅱ)若 AF=AB,求二面角 B—EF—D 的余弦值. 19.(本小题满分 12 分) 某班甲、乙两名同学参加 l00 米达标训练,在相同条件下两人 l0 次训练的成绩(单位:秒)如 下:

1 ? ? x ? tan? ; ? 建立极坐标系,曲线 C1 的方程为 ? ( ? 为参数) , ?y ? 1 . ? tan2 ? ?
曲线 C2 的极坐标方程为: ? (cos? ? sin? ) ? 1 ,若曲线 C1 与 C2 相交于 A、B 两点. (I)求|AB|的值; (Ⅱ)求点 M(-1,2)到 A、B 两点的距离之积. 24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | .

(I)请画出适当的统计图;如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的 100 米比赛,从成绩的 稳定性方面考虑, 选派谁参加比赛更好, 并说明理由(不用计算, 可通过统计图直接回答结论). (Ⅱ)从甲、乙两人的 10 次成绩中各随机抽取一次,求抽取的成绩中至少有一个低于 12.8 秒

(I)求不等式 f (x) ≤6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f (x) > a 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2011-2012 年度高三复习质量检测二

西吉中学 2014 年新课标高三数学月考及答案(理科答案) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1-5 BDCCA 6-10 CDBBC 11-12 BA 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.

(4n ? 5)3n ? 5 .………………12 分 ? Sn ? 2
18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)取 AB 的中点 M,连结 GM,MC,G 为 BF 的中点, 所以 GM //FA,又 EC ? 面 ABCD, FA ? 面 ABCD, ∵CE//AF, ∴CE//GM,………………2 分 ∵面 CEGM ? 面 ABCD=CM, EG// 面 ABCD, ∴EG//CM,………………4 分 ∵在正三角形 ABC 中,CM ? AB,又 AF ? CM ∴EG ? AB, EG ? AF, ∴EG ? 面 ABF.…………………6 分 (Ⅱ)建立如图所示的坐标系,设 AB=2, 则 B( 3,0,0 )E(0,1,1) F(0,-1,2)

? 0,1?

14. 7

15.

1

16. x ? 2 y或x ? 4 y
2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d, 数列 {bn } 的公比为 q, 由题意得: a3 ? a1a21 , ……………2 分
2

? (1 ? 2d )2 ? 1? (1 ? 20d ) ,

4d 2 ? 16d ? 0 ,

? d ? 0 ,? d ? 4, 所以 an ? 4n ? 3 .………………4 分
于是 b1 ? 1, b3 ? 9, b5 ? 81, ?bn ? 的各项均为正数, ,所以 q=3,

EF =(0,-2,1) , EB =( 3 ,-1,-1), DE =( 3 ,1, 1),………………8 分
设平面 BEF 的法向量 n1 =( x, y, z )则

? bn ? 3n?1 .……………………6 分
(Ⅱ) anbn ? (4n ? 3)3
n ?1

,

? Sn ? 30 ? 5 ? 31 ? 9 ? 32 ? ? ? (4n ? 7) ? 3n?2 ? (4n ? 3) ? 3n?1 . 3Sn ? 3 ? 5 ? 3 ? 9 ? 3 ? ? ? (4n ? 7) ? 3
1 2 3 n ?1

?? 2 y ? z ? 0 ? ? 3x ? y ? z ? 0

令 y ? 1 ,则 z ? 2, x ?

3,

? (4n ? 3) ? 3 .……………8 分
n

∴ n1 =( 3 ,1,2 )…………………10 分 同理,可求平面 DEF 的法向量 设所求二面角的平面角为 ? ,则

两式两边分别相减得:

n2 =(- 3,1,2 )

?2Sn ? 1 ? 4 ? 3 ? 4 ? 32 ? 4 ? 33 ? ? ? 4 ? 3n?1 ? (4n ? 3) ? 3n ……………10 分

? 1 ? 4(3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ?1 ) ? (4n ? 3) ? 3n 4 ? 3 ? (1 ? 3n ?1 ) ? 1? ? (4n ? 3) ? 3n 1? 3 ? (5 ? 4n) ? 3n ? 5

cos? = ?

1 .…………………12 分 4
满分 12 分)

19.( 本 小 题 解:(Ⅰ) 茎叶图

20.(本小题满分 12 分)

……………………2 分 或

? x ? x0 ? x0 ? x ? 解: (Ⅰ)设 P ? x0 , y0 ? , M ? x, y ? ,由 ? ,…………2 分 1 ,得 ? ? y0 ? 2 y ? y ? 2 y0 ?
代入 x ? y ? a ,得
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 .……………4 分 a2 a2 4

(Ⅱ)①当 l 斜率不存在时,设 x ? t ,由已知得 ?a ? t ? a , 由?

? x2 ? 4 y 2 ? a2 ?x ? t

,得 y ?
2

a2 ? t 2 4

所以 S ?OAB

1 a2 ? t 2 ? ?2 y ? x ? t ? ? 2 2
2 2 2

?a

2

? t2 ?t2 2

?

a2 , 4

当且仅当 t ? a ? t ,即 t ?

2 a 时,等号成立. 2

此时 S ?OAB 最大值为 ………………2 分 从统计图中可以看出,乙的成绩较为集中,差异程度较小,应选派乙同学代表班级参加比 赛更好;………………4 分 (Ⅱ)设事件 A 为:甲的成绩低于 12.8,事件 B 为:乙的成绩低于 12.8, 则 甲 、 乙 两 人 成 绩 至 少 有 一 个 低 于 12.8 秒 的 概 率 为 :

a2 .……………………5 分 4

②当 l 斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m ,

1?

6 1 7 ? ? ;……………8 分(此部分,可根据解法给步骤 10 2 10

? x2 ? 4 y 2 ? a2 2 2 2 2 由? ,消去 y 整理得 ? 4k ? 1? x ? 8kmx ? 4m ? a ? 0 , y ? kx ? m ?
? ? ? 8km ? ? 4 ? 4k 2 ? 1?? 4m 2 ? a 2 ? ? 4 ? 4k 2 ? a 2 ? 4m 2 ? ? ?
2

分:2 分) (Ⅲ)设甲同学的成绩为 x ,乙同学的成绩为 y , 则 x ? y ? 0.8 ,……………10 分 得 ?0.8 ? x ? y ? 0.8 ? x , 如图阴影部分面积即为 3? 3 ? 2.2 ? 2.2 ? 4.16 ,则

由 ? ? 0 ,得 4k a ? a ? 4m ? 0
2 2 2 2



设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?

,则

?8km 4m 2 ? a 2 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 4k ? 1 4k 2 ? 1

②………7 分

P( x ? y ? 0.8) ? P(?0.8 ? x ? y ? 0.8 ? x) ?
…………12 分

4.16 104 . ? 3 ? 3 225

AB ? ? 2

?1 ? k 2 ? ?? x1 ? x2 ?2 ? 4 x1x2 ? ? ? ?
?
2 2 2 2

?? ?8km ?2 4m 2 ? a 2 ? 1 ? k 2 ? ?? 2 ? ? 4 ? ? ? 4k 2 ? 1 ? ?? 4 k ? 1 ? ? ?

g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2ax ,令 F ( x) ? g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2ax ,


4k ? 1
2

?1 ? k ? ?a ?1 ? 4k ? ? 4m ? ? ?
m 1? k2
, ④…………………9 分

F ?( x) ?

1 ? 2ax ,………………6 分 x

(1)若a ? 0, F ?( x) ? 0 , g ?(x)在 ?1, ? ? ? 递增,g ?(x) ? g ?(1) ? 1-2a ? 0

原点到直线 l 距离为 d ? 由面积公式及③④得

? g ( x)在?1,???递增, g ( x) ? g (1) ? 0 ,
lnx ? 0, 不符合题意.……………8 分 x ?1 1 1 1 (2) 若0 ? a ? , 当x ? (1, ), F ?( x) ? 0,? g ?( x)在(1, )递增 , 2 2a 2a 从而f(x) -

S ?OAB ?

1 1 2 ? AB d ? ? 2 ? 2 2 4k ? 1

?1 ? k ? ?a ?1 ? 4k ? ? 4m ?
2 2 2

2

? ?

m 1? k2

4m 2 4m 2 ? (a 2 ? ) 2 1 4m 2 4m 2 1 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k 2 ? a , ? ? (a ? )? ? 2 1 ? 4k 2 2 2 4 1 ? 4k 2
………………11 分 综合①②, S ?OAB 的最大值为 21. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f (x) 的定义域为 (0,??), f ( x) ?
'
'

从而g?(x) ? g ?(1) ? 1-2a, 以下论证同(1)一样,所以不符合题意 .……………10 分
(3)若a ? 1 , F ?( x) ? 0在?1, ?? ? 恒成立 , 2

a2 a2 ? 1 ,所以 a ? 2 .…………………12 分 ,由已知得 4 4

? g?(x) 在?1, ???递减,g?(x) ? g?(1) ? 1 - 2a ? 0 ,
从而g(x) 在?1,?? ?递减,? g ( x) ? g (1) ? 0, f ( x) ?
?1 ?2 ? ?

1 ? ax , x

ln x ? 0, x ?1

综上所述, a 的取值范围是 ? ,?? ? ………………12 分 22. (本小题满分 10 分) 证明: (Ⅰ)依题意, ?AEB ? ?ACP ? 90 ,
0

若 a ? 0, 则 f ( x) ? 0, ? f (x) 在 (0,??) 上单调递增,……………2 分 若 a ? 0, 则由 f ( x) ? 0 得 x ?
'

1 1 ' ,当 x ? (0, ) 时, f ( x) ? 0, 当 a a 1 1 1 x ? ( ,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,? f (x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( ,?? ) 单调递减. a a a

所以在 Rt ?ACP 中, ?P ? 90 ? ?PAB; ……………2 分
?

所以当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,??) 上单调递增, 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( ,?? ) 单调递减.……………4 分 (Ⅱ) f ( x) ?

在 Rt ?ABE 中, ?ABE ? 90 ? ?PAB; …………4 分
?

1 a

1 a

所以 ?P ? ?ABE. ……………5 分 (Ⅱ)在 Rt?ADB 中, CD ? AC ? CB ,…………6 分
2

ln x x ln x ? a( x 2 ? 1) ? , x ?1 x ?1
2

由①得 ?BCF ∽ ?PCA , ∴

令 g ( x) ? x ln x ? a( x ? 1)( x ? 1) ,

BC CF ? ,……………8 分 PC AC
2

∴ CD ? BC ? AC ? CF ? CP

,

所以 CD ? CF ? .……………10 分 CP
2

23. (本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ) C1 : y ? x ( x ? 0),
2

? 2 t, ? x ? ?1 ? ? 2 (t 为参数) C2 : x ? y ? 1 ? 0 ,则 C 2 的参数方程为: ? ,…………2 分 ? y ? 2 ? 2 t. ? ? 2
代入 C1 得 t ? 2t ? 2 ? 0 ,……………4 分
2

? AB ? t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? 10 .……………6 分
(Ⅱ) MA ? MB ? t1t 2 ? 2 .…………10 分 24. (本小题满分 10 分) 解:(I)原不等式等价于

3 3 ? ? 1 ?x ? ?? ? x ? 或? 2 2 2 ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ? ? 1 ? ?x ? ? 或? 2 ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?
解,得

………………3 分

3 1 3 1 ? x ? 2或 ? ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? . 2 2 2 2
……………… 6 分

即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2}

(II)? 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) |? 4 . | ………………8 分 ?a ? 4 . ……………… 10 分


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