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福建省仙游金石中学2014-2015学年高一上学期期末综合练习数学试题


金石中学 2014-2015 学年高一上学期

数学期末综合练习
注意事项:
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。考试时间 120 分钟,满分 150 分。考生应先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.

4 参考公式: V球 ? ?R 3 , S球 ? 4?R 2 ,

其中 R 为球的半径。 3 1 V锥体 ? Sh ,其中 S 为锥体的底面积,h 是锥体的高。 3

V柱体 ? Sh ,其中 S 为柱体的底面积,h 是锥体的高。

第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确选项填在试卷的答题卡中.) 1、若集合 A ? x ? 2 ? x ? 1 , B ? x 0 ? x ? 2 ,则 A ? B ? ( A.

?

?

?

?

). D.

?x ? 2 ? x ? 2?

B.

?x ? 2 ? x ? 0?
1 2

C.

?x1 ? x ? 2?

?x 0 ? x ? 1?
).

2、若直线 x ? y ? 1 ? 0 与直线 ax ? y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 的值等于( A、1 B、 C、-1 D、2

3、如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图,根据三视图可以判断这四个几何体依次 分别为( ).

(2) (1) A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 C.三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台
m

(3) (4 ) B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 ). D. 8 ).

4、已知幂函数 f ? x ? ? x 的图象经过点 ? 4, 2 ? ,则 f ?16? ? ( A. 2 2 B. 4 C. 4 2

5、已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? C. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n

‖? , m‖ ? , 则?‖ ? B. 若m
D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n

6、若直线 ?a ? 2?x ? ?1 ? a?y ? a 2 ?a ? 0? 与直线 ?a -1?x ? ?2a ? 3?y ? 2 ? 0 互相垂直,则 a 等 于( ). A. 1 B. ?1 C. ?1 D. ?2

7、设 m, n 是不同的直线, ? , ? , ? 是不同的平面,有以下四个命题:



? // ? ? ? ? ?? ??m? ? ? ? ? // ? ② m // ? ? ? // ? ?



m ??? ??? ? ? m // ? ?
D.②④



m // n ? ? ? m // ? n ???

其中,真命题是( ). A.①④ B.②③
2

C. ①③
2

8、过点 P ? a,5? 作圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 4 的切线,切线长为 2 3 ,则 a 等于( A. ? 1 9、若 x0 是方程 lg x ? A. ?0,1? B. ? 2 C. ? 3 ). D. (100 ,??) D. 0


).

1 ? 0 的根,则 x0 属于区间( x
B. ?1,10?

C. ?10,100?

10、已知两圆 x2 ? y 2 ? 10 和 ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 20 相交于 A, B 两点,则公共弦 AB 的长度 等于( A. 2 10 ). B. 10 C. 2 5 D. 4

17、 (本小题满分 13 分) 如图,已知某几何体的三视图如下(单位:m). (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法). (2)求这个几何体的表面积及体积.

18、 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) 的图像过点 ( ? , ?2) .

8 9

(1)若函数 f ( x ) 的定义域为 ( ?1,26] ,求函数 f ( x) 的值域; (2)设函数 g ( x) ?| f ( x ? 2) | ,且有 g (b ? 2) ? g (

10 ? b) ,求实数 b 的值. 3

19、 (本小题满分 13 分) 某几何体的 三视图如图所示,俯视图中点 P 是正方形 ABCD 对角线的交点,G 是 PB 的中点. (1)根据三视图,画出该几何体的直观图; (2)在直观图中, ①证明:PD∥面 AGC; ②证明:面 PBD⊥面 AGC.

20、 (本小题满分 14 分)

圆 O 的方程为 x2+y2=1,直线 l1 过点 A(3,0),且与圆 O 相切. (1)求直线 l1 的方程; (2) 设圆 O 与 x 轴交于 P,Q 两点,M 是圆 O 上异于 P,Q 的任意一点,过点 A 且 与 x 轴垂直的直线为 l2,直线 PM 交直线 l2 于点 P′,直线 QM 交直线 l2 于点 Q′.求 证:以 P' Q' 为直径的圆 C 总经过定点,并求出定点的坐标.

21、 (本小题满分 14 分)

x 2 ? ax ? b ( x ? 0) 是奇函数,且满足 f (1) ? f (4) . 已知函数 f ( x) ? x
(1)求实数 a , b 的值; (2)若 x ? [2, ??) ,函数 f ( x) 的图像上是否存在不同的两点,使过这两点的直线平行于 x 轴;

(3)是否存在实数 k 同时满足以下两个条件:①不等式 f ( x ) ?

k ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立, 2

②方程 f ( x) ? k 在 x ? [?8, ?1] 上有解。若存在,求出实数 k 的取值范围,若不存在,请 说明理由.

金石中学 2014-2015 学年高一上学期 数学期末综合练习参考答案
一、选择题:
题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 D 6 C 7 C 8 B 9 B 10 A

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 ). 11. ?

1 2

12. 3

13.

9? ? 18 2

14. ?2

15. ○ 1 ○ 2 ○ 3

三、解答题: 16、(略) 17、 (1)这个几何体的直观图如图所示.

(2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q-A1D1P 的组合体. 由 PA1=PD1= 2,A1D1=AD=2,可得 PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积 1 S=5×22+2×2× 2+2× ×( 2)2 2 =(22+4 2) cm2, 1 所求几何体的体积 V=23+ ×( 2)2×2=10(cm3). 2

18、解: (Ⅰ)由已知可得, log a ? ?

? 8 ? ? 1? ? ?2 ,? a ? 3 , ? 9 ?

----------------2 分

则函数 f ? x ? ? log3 ? x ?1? 在区间 ? ?1,26? 上单调递增, -----------------3 分 因为 f ? 26? ? 3 , 所以函数 f ( x) 的值域为 ? ??,3? . --------------------------4 分 ---------------------------6 分

(Ⅱ)由已知 g ? x ? ? f ? x ? 2 ? 得: g ? x ? ? log 3 ? x ? 1? , 化简即 g ? x ? ? ?

? ? log3 ? x ? 1?   x ? 2 ? ?? log3 ? x ? 1?   1 ? x ? 2

,

---------------------------7 分

则函数 g ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上单调递减;在区间 ? 2, ?? ? 上单调递增,-------8 分

? 10 ? ? g ?b ? 2? ? g ? ? b ? , ? 3 ?
10 ? b 同属一个单调区间。 3 2 10 ? b ,得 b ? . 则 b ? 2= -----------9 分 3 3 10 ⑵自变量 b ? 2与 ? b 分属两个单调区间, 3
⑴自变量 b ? 2与

y

O

2

x

?7 ? ? log3 ? b ? 1? ? log3 ? ? b ? ?3 ?
? 10 ? ? log 3 ? b ? 2 ? 1? ? ? log 3 ? ? b ? 1? , ? 3 ? ?7 ? ? log 3 ? b ? 1? + log 3 ? ? b ?=0 , ?3 ?
?7 ? ? ? ? b ? ? b ? 1? ? 1 , ?3 ?
解得 b ? 2 或 b ? ? 经检验 b ? ------------------------11 分

2 3

---------------------------12 分

2 2 , b ? 2 与 b ? ? 均合题意,即为所求. -------------13 分 3 3

19、(1)解 该几何体的直观图如图所示

(2)①证明 连接 AC,BD 交于点 O,连接 OG, 因为 G 为 PB 的中点,O 为 BD 的中点, 所以 OG∥PD. 又 OG?面 AGC,PD?面 AGC, 所以 PD∥面 AGC. ②证明 连接 PO,由三视图,PO⊥面 ABCD, 所以 AO⊥PO. 又 AO⊥BO, 所以 AO⊥面 PBD. 因为 AO?面 AGC, 所以面 PBD⊥面 AGC. 2 2 20、解:(1)∵直线 l1 过点 A(3,0),且与圆 C:x +y =1 相切,

设直线 l1 的方程为 y=k(x-3)(斜率不存在时,明显不符合要求), 即 kx-y-3k=0, ∴圆心 O(0,0)到直线 l1 的距离 d=

3k k 2 ?1

=1,

解得 k=±

2 2 ,∴直线 l1 的方程为 y=± (x-3). 4 4

(2)对于 x2+y2=1,令 y=0,得 x=± 1, ∴可令 P(-1,0),Q(1,0). 又直线 l2 过点 A 且与 x 轴垂直, ∴直线 l2 的方程为 x=3, t 设 M(s,t),则直线 PM 的方程为 y= (x+1). s ?1
? x ? 3, ? x ? 3, ? ? 解方程组 ? 得? 4t t , y? ( x ? 1), ? y ? ? s ?1 s ?1 ? ?
? 4t ? ∴P′ ? 3, ? . ? s ?1? ? 2t ? 同理可得,Q′ ? 3, ? , ? s ?1? 4t ? ? 2t ? ? ∴以 P′Q′为直径的圆 C 的方程为(x-3)(x-3)+ ? y ? ? ?y? ? =0, s ? 1? ? s ?1? ?

又 s2+t2=1,
6s ? 2 y=0, t 若圆 C 经过定点,只需令 y=0,从而有 x2-6x+1=0,

∴整理得(x2+y2-6x+1)+

解得 x =3±2 2 , ∴圆 C 总经过定点,其坐标为(3±2 2 ,0).
16 ? 4a ? b 4
,解得 b ? 4 . ┄┄┄┄2 分

21、解:(Ⅰ)由 f (1) ? f (4) 得 1 ? a ? b ? 由 f ( x) ? 即

x 2 ? ax ? b x ?

( x ? 0) 为奇函数,得 f ( x) ? f ( ? x) ? 0 对 x ? 0 恒成立, ? 2a ? 0 ,所以 a ? 0 . ┄┄┄┄┄┄┄4 分
4 x
.

x 2 ? ax ? b x

x 2 ? ax ? b ?x

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) ? x ?

任取 x1 , x2 ? [2, ??) ,且 x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

4 x1

) ? ( x2 ?

4 x2

) ? ( x1 ? x2 )

x1 x2 ? 4 x1 x2

,┄┄┄┄┄6 分

∵ 2 ? x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 , x1 x2 ? 4 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以,函数 f ( x ) 在区间 [2, ??) 单调递增. 所以在区间 [2, ??) 任取 x1 ? x2 则必有 y1 ? y2 故函数 f ( x ) 的图象在区间 [2, ??) 不存在不 同的两点使过两点的直线平行于 x 轴. ┄┄┄┄┄┄┄┄9 分 (Ⅲ)对于条件①:由(Ⅱ)可知函数 f ( x ) 在 x ? (0, ??) 上有最小值 f (2) ? 4 . 故若 f ( x ) ? , 2 2 ? k ? ?8 . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 对于条件②:由(Ⅱ)可知函数 f ( x ) 在 (??, ?2) 单调递增,在 [?2, 0) 单调递减,

k

2

? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,则需 f ( x ) min ? ?

k

,则 4 ? ?

k

∴函数 f ( x ) 在 ? ?8, ?2? 单调递增,在 ? ?2, ?1? 单调递减,又 f ? ?8 ? ? ?

17 2

, f ? ?2? ? ?4 ,

f ? ?1? ? ?5 ,所以函数 f ( x) 在 ? ?8, ?1? 上的值域为 ? ?
若方程 f ? x ? ? k 在 ? ?8, ?1? 有解,则需 ?

? 17 ? , ?4 ? , ? 2 ?

17 2

? k ? ?4 .┄┄┄┄┄┄12 分

? ?8 ? k ? 若同时满足条件①②,则需 ? 17 ,所以 ?8 ? k ? ?4 . ? ? k ? ?4 ? ? 2
答:当 ?8 ? k ? ?4 时,条件①②同时满足. ┄┄┄┄┄┄┄┄14 分


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