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2014年安庆市二模文科数学参考答案


2014 年安庆市高三模拟考试(二模) 数学试题(文科) 参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 C 6 B 7 B 8 C 9 B 10 D

1、解析: 2i ?

a a (1

? i ) a a a ? 2i ? ? ? ? (2 ? )i 是实数,则 2 ? ? 0 ,故 a ? 4 选 D. 2 2 2 2 1? i

2 2、解析: B ? { x | x = 3 x ? 2 } ? ? 1,2?,? A ? ?CU B? ? ?? 1,0?,选B.

3、解析:特称命题的否定是全称命题, 选 C. 4、解析:从 C 学校中应抽取的人数为

90 ? 60 ? 10 ,选 A. 180 ? 270 ? 90

5、解析:从5个点中取3个点,列举得ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE 共有10个基本事件,而其中ACE, BCD两种情况三点共线,其余8个均符合题意,故能 构成三角形的概率为

8 4 ? .选C. 10 5

6、解析:双曲线 C 的离心率为 2 ,对于 A 答案,其离心率为 2 ,不符合题意;对于 B 答案,其离心率为 3 ,符合题意;对于 C 答案,其离心率为 于 D 答案,其离心率为 3,不符合题意.选 B. 7、解析:由三视图可知该几何体是底面为直角梯形(梯形上底为 1,下底为 2,直角腰为 1) ,高为 1 的直棱柱,故其表面积为

6 ,不符合题意;对 2

1?1? 2 ?

1 ? (1 ? 2) ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 7 ? 2 . 选 B. 2

8、解析:在 an ?1 ? an ? a2 中,令 n ? 1, 则 a2 ? a1 ? a2 , a1 ? 0 ,令 n ? 2 , 则 a3 ? 2 ? 2a2 , a2 ? 1 ,于是 an ?1 ? an ? 1,故数列 ?an ? 是首项为 0,公差为 1 的等差

2014 ? 2013 ? 1007 ? 2013 . 选 C. 2 9、解析:由正弦定理得 sin A ? 5 sin B sin C ①,又 cos A ? 5 cos B cos C ②,②-①得,
数列,? S 2014 ?

cos A ? sin A ? 5(cosB cosC ? sin B sin C ) ? 5 cos(B ? C ) ? ?5 cos A ,
数学试题(文科)答案第 1 页(共 5 页)

sin A ? 6 cos A ,? tan A ? 6 . 选 B.
10、解析:代入检验,当 m ? 0 时, f ( x) ? 0或f ( x) ? 1 , f ( x) ? 0 有 2 个不同实根, 不符合题意; 当 m ? 6 时,f ( x) ? 4或f ( x) ? 9 ,f ( x) ? 4 f ( x) ? 1 有 4 个不同实根, 有 3 个 不 同 实 根 , f ( x) ? 9 有 2 个 不 同 实 根 , 不 符 合 题 意 ; 当 m ? 2 时 , ,作出函数 f ( x ) 的图象,得到 f ( x) ? 1 有 4 个不同实根, f ( x) ? 1 或 f (x ) ? 4

f ( x) ? 4 有 3 个不同实根,符合题意. 选 D.
二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11、23 12、5 13、

? 2

14、2

15、②③⑤

; x ? 11, y ? 23 ,符合条件, 11、解析:执行程序框图,依次得到 x ? 2, y ? 5; x ? 5, y ? 11
输出 y ,其值为 23. 12、解析:作出可行域,得到当 P 位于 (3,4) 时, | OP | 最大,其值为 5. 13、解析:由力的平衡可知 F 1?F 2 ? ?G ,两边平方, 1?F 2 ?G ? 0, F
2 ? 可得 F1 ? F2 ? 2 F1 ? F2 ? (?G ) ,由条件得 F 1?F 2 ? 0 ,故 F 1 与 F2 的夹角 的大小 2 2



? .(或利用向量加法的平行四边形法则来求) 2

14、解析:求导得 f ?( x) ? ?2 x ?3 ,所以在点 (a, a?2 ) 处的切线方程为

y ? a?2 ? ?2a?3 ( x ? a) .令 x ? 0 得, y ? 3a ?2 ; 令 y ? 0 得, x ?
所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积

3a . 2

1 3 3 ? 3a ? 2 ? a ? 3 ,a ? (舍去负值) , 2 2 4

?log 3 a ? 2 .
2

15、解析:对于①,其值域为 [?1,0] ,不符合,故①舍去;对于②,其值域为 ?0,
2

? ?? , ? 2? ?

故②正确;对于③, f3?( x) ? 3x ? 3 ,于是 f 3 ( x) 在 (?2,?1) 上单调递增,在 ?? 1,1? 上 单调递减,在 ?1,2? 上单调递增,其值域为 ?? 2,2?,故③正确;对于④,

f 4?( x) ? 1 ?

1 x ?1 1, e 2 ? ? ? 0 , f 4 ( x) ? x ? ln x, x ? ? 1, e 2 ? 2 ? 单调递增,其值域为 ? ? ? ? ?, x x

数学试题(文科)答案第 2 页(共 5 页)

不符合题意,故④舍去;对于⑤, f5 (0) ? 0 ,当 x ? 0 时, 0 ? f5 ( x) ?

2 ?2 1 x ? ?1 x

(当且仅当 x ? 1 时,等号成立) ,其值域为 [0,2] ,故⑤正确.于是填②③⑤. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16、 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? a ? b ? ? sin 2 x ? 3 sin? 2 x ?

? ?

??

1 3 cos2 x ? ? sin 2 x ? 6? 2 2
…………..4 分

?? ? ? sin ? 2 x ? ? . 3? ?
故函数 f ( x ) 的最小值为 ? 1 ,此时 2 x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

,于是 x ? k? ?

?
12

(k ? Z ) ,

故使 f ( x) 取得最小值的 x 的集合为 ? x | x ? k? ?

? ?

? (k ? Z )? . 12 ?

?

……………..7 分

( Ⅱ ) 由 条 件 可 得 g ( x) ? sin ? 2 x ? 2? ?

? ?

??

? ,因为其图象关于 y 轴对称,所以 3?

2? ?

?
3

? k? ?

?
2

,? ?

于是至少向右平移

? 个单位长度,才能使得到的函数 g ( x) 的图象关于 y 轴对称. 12

k? ? ? ? (k ? Z ) ,又 ? ? 0 ,故当 k ? 0 时, ? 取得最小值 , 2 12 12

……………..12 分 17、 (本小题满分 12 分)

11 ? 18 ? 12 ? 13 ? 15 ? 10 79 ? , 50 ? 50 100 79 据此估计该校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率约为 P ? ………..5 分 100
解: (Ⅰ) 由抽样调查阅读莫言作品在 50 篇以上的频率为 (Ⅱ) 非常了解 男生 女生 合计 根据列联表数据得
数学试题(文科)答案第 3 页(共 5 页)

一般了解 20 25 45

合计 50 50 100 ………..8 分

30 25 55

100? ?30? 25 ? 20? 25? K ? ? 1.010 ? 1.323, 50? 50? 55? 45
2 2

所以没有 75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关. 18、 (本小题满分 12 分)

………..12 分

2 2 ? 解: (Ⅰ )求导得 f ?( x) ? an ?1 ? an an ? 2 (? sin x ? cos x) ,由 f ?0 ? ? 0 可得 an ?1 ? an an ? 2 ,

又 an ? 0 ,故数列 ?an ? 为等比数列,且公比 q ? 0 .

……………..3 分

由 a1 ? 1, a5 ? 16 得 q 4 ? 16, q ? 2 ,所以通项公式为 an ? 2n ?1 (n ? N ? ) . ………..6 分 (Ⅱ ) Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3? 22 ? L ? n ? 2n?1 ① ②

2Sn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? L ? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n
①-②得, ?Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? L ? 2n?1 ? n ? 2n ?

1 ? 2n ? n ? 2 n ? 2n ? 1 ? n ? 2 n 1? 2
……………..12 分

? Sn ? (n ? 1) ? 2n ? 1
19、 (本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ) Q AC ? 2, BC ? 4, AB ? 2 5 ,

? AC 2 ? BC 2 ? AB2 ? AC ? BC
又因平面 PAC ? 平面 ABC ,平面 PAC ? 平面 ABC ? AC,? BC ? 平面 PAC ,

Q PA ? 平面 PAC ,? BC ? PA .

……………..6 分

解: (Ⅱ)作 AD ? PC 于点 D .由(Ⅰ)知 BC ? 平面 PAC ,? BC ? AD, BC ? PC 又 PM ∥ BC ,且 BC ? 2 PM ? 4,

? 四边形 BCPM 是上、下底分别为 2、4,高为 2 的直角梯形,其面积为 6.
又 BC ? PC ? C ,? AD ? 平面 BCPM , AD ? 3 . 故多面体 PMBCA 的体积为 ? S BCPM ? AD ?

1 3

1 ?6? 3 ? 2 3. 3

……………..13 分

数学试题(文科)答案第 4 页(共 5 页)

20、 (本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ )函数的定义域为 R .求导得 f ?( x) ?

a(2 x ? x 2 ) ………..3 分 ex

当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 2 ,此时函数 f ( x) 的单调递增区间为 ?0,2? ; ………..5 分 当 a ? 0 时, 令 f ?( x) ? 0 , 解得 x ? 0或x ? 2 , 此时函数 f ( x) 的单调递增区间为 ?? ?,0? ,

?2,???

.………..7 分

(Ⅱ )由(Ⅰ )可知,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在区间 ?? ?,0?, ?2,??? 上单调递减,在 ?0,2? 上单调递增,于是当 x ? 2 时,函数 f ( x) 取到极大值,极大值为 故 a 的值为

4a 1 ? , e2 e
.………..13 分

e 4

21、 (本小题满分 13 分)
2 解: (Ⅰ )由题意可知 b ? 1 ,又 t ? 1 ? 2 ? t ? ?1 . 又 t ? 0 ? t ? 1 .……..2 分

在 Rt ?AFB 中, | AB | ? | FB | ?| AF | ,? 2 ? (1 ? c ) ? (1 ? c) ,?c ? 1, a ? 2
2 2 2 2 2

故椭圆的标准方程为:

x2 ? y2 ? 1 2

………..6 分

(Ⅱ )设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), Q OP ? OM ? 3ON ,? x0 ? x1 ? 3x2 , y0 ? y1 ? 3 y2 ∵ M、N 在椭圆上,∴x1 ? 2 y1 ? 2, x2 ? 2 y2 ? 2
2 2 2 2

uu u r

uuur

uuu r

又直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?
2 2 2

1 ,∴x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0 , 2
2 2 2

于是 x0 ? 2 y0 ? ( x1 ? 6x1x2 ? 9x2 ) ? 2( y1 ? 6 y1 y2 ? 9 y2 )
2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 6( x1x2 ? 2 y1 y2 ) ? 9( x2 ? 2 y2 ) ? 20 . 故 x02 ? 2 y02 为定值.

………..13 分

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