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10第十讲 二次剩余和佩尔方程 学生版


第十讲 二次剩余和佩尔方程
本讲概述
本讲主要对二次剩余和佩尔方程进行深入探讨,加强同学们对一些典型方法的掌握以及其在不定方程 中的应用。 二次剩余 定义 1:p 是素数,(a,p)=1.若同余方程 非剩余。 性质:若 p 是奇素数,则 p 的二次剩余共有 个,它们是 。 则 a 叫做模 p 的二次剩余,否则叫做模 p 的二次

模 p 的

两个二次剩余相乘是二次剩余。模 p 的二次剩余和二次非剩余相乘是二次非剩余,模 p 的两 个二次非剩余相乘是二次剩余。 欧拉判别法: 则 a 是模 p 的二次剩余;

则 a 是模 p 的二次非剩余。

定义 2:设素数 p ? 2 ,定义整变量 d 的函数

则把

称为 Legendre 符号.它具有下述性质:

(i) ( ) ? (

d p

d?p ); p
p ?2 2

(ii) ( ) ? d

d p

(mod p) ; ?1 ) ? (?1) p
p ?1 2

(iii) ( ) ? 1 , (

1 p

;

(iv) (

dc d c ) ? ( )( ) p p p

沛尔 ( pell) 方程

定理 1(第 1 型佩尔方程) x 2 ? dy 2 ? 1 ( d ? N * , d 不是完全平方数)有无穷多组正整数解,其全部 解可由它的最小解依如下形式表示 x ? y d =

,n 为正整数。

定理 2(第 2 型佩尔方程) 若

有正整数解,则它有无穷多组正整数解。

例题精讲
【例 1】证明欧拉判别法.

2 3 【例 2】找出所有的素数 p,使得满足 0 ? x, y ? p ,且 y ? x ? x(mod p) 的整数对 ( x, y ) 恰有 p 对。

【例 3】每个素数 p ? 1(mod 4) 都可写成两个数的平方和.

【例 4】求有序整数对 ( a, b) 的个数,使得 x2 ? ax ? b ? 167 y 有整数解 ( x, y ) ,其中 1 ? a, b ? 2004 .

. 【例 5】设 ( x1 , y1 ) 为方程 x ? dy ? 1 的最小解。证明:其任意一族正整数解(x,y),必有
2 2



.

以下例 6 例 7 我们来证明定理 1,所用方法也非常经典和有用。 【例 6】 (1)设 为无理数,则对任意的大于 1 的整数 q,存在正整数 x,y,使得

(2)设

为无理数,则存在无穷多对正整数(x,y),使得

(3) d ? N * , d 不是完全平方数,则存在无穷多对正整数(x,y),使得 (4) d ? N * , d 不是完全平方数,则存在 有无穷多组正整数解(x,y). , ,使得不定方程

.

【例 7】 (1) x ? dy ? 1 至少有一种正整数解。
2 2

(2)设

是 x ? dy ? 1 的 最 小 解 , 设
2 2

,则满足

的 (x,y) 是

x 2 ? dy2 ? 1 的全部解。

【例 8】设 k 大于 1 是给定的正整数。证明:有无穷多个整数 n,使得 kn+1 以及(k+1)n+1 都是完全平方数。

【例 9】求所有的正整数 m(>1),使得

可以表示为 m 个连续正整数的平方和。

【例 10】给定正实数 ? ,如果存在 a, b ? N * ,使得 a ? b ? (1 ? ? )a ,且 n ? ab ,我们称正整数 n 是一个 “ ? -平方数”.证明:存在无穷多个正整数 n,使得连续 6 个正整数 n, n ? 1,..., n ? 5 都是“ ? -平方数”.

大显身手
练习 1:存在无穷多个正整数 n,使得前 n 个正整数的平方平均是一个整数.

练习 2:证明:存在无穷多组整数(x,y,z,t),使得 x3 ? y3 ? z 3 ? t 3 ? 1999 .

练习 3:证明:对任意 m ? Z ,存在无穷多个 n ? N ,使得数 [n m2 ? 1] 是一个完全平方数。
*

练习 4:证明:存在无穷多个 n ? N ,使得存在正整数 a, b, c, d , 满足:
*

(1) (a, b, c, d ) ? 1,{a, b} ? {c, d} ; (2) n ? a ? b ? c ? d .
3 3 3 3

【提示:令 a ? c ? 1, d ? b ? 7 】

练习 5:设 p 是给定的素数, p ? 3(mod 4) .证明:不定方程

( p ? 2) x2 ? ( p ? 1) y 2 ? px ? ( p ? 2) y ? 1
有无穷多组正整数解(x,y) ,且对每一组正整数解都有 p|x. 练习 6:设 p 为素数, p ? 1(mod 4) .证明:不定方程 x2 ? py 2 ? ?1(mod 4) 有整数解.

练习 7:证明:不定方程 x ? 34 y ? ?1 没有整数解.
2 2

练习 8:对于给定的素数 p,判断是否方程 x ? y ? pz ? 2003 总有整数解?证明你的结论.
2 2

【提示:本题需要用到狄利克莱定理】

练习 9:设 k 是一个正整数.证明:存在无穷多个形如 n ? 2 ? 7 的完全平方数,其中 n 为正整数.
k

【提示:可运用数学归纳法】 练习 10:设 p 是奇素数.证明:-1 是模 p 的二次剩余的充要条件是 p ? 1(mod 4) . 【提示:本题充分性的证明需要用到威尔逊定理】


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