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2015嘉定高三数学(理)二模试卷参考答案与评分标准(教研员版)


2014 学年嘉定区高三年级第二次质量调研 数学试卷(理)参考答案与评分标准
一.填空题(本大题有 14 题,每题 4 分,满分 56 分) 1. {x ? 2 ? x ? ?1或 1 ? x ? 2 } 5. 2 9. [ 3 ? 1 , 1) 12. 6. 256 2. 4 7. 2 10. 13. ? ? 3. 5 4. ? 0 ,

? ?<

br />
1? 4? ?

8. (0 , 4) 11. 472 14. 1030

5 9

1 2

? 3 ? , ? 2? ? 2 ?

二.选择题(本大题共有 4 题,每题 5 分,满分 20 分) 15.B 16.D 17.C 18.C 三.解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分) 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. (1)由题意, 1 ? cos(A ? B) ? cos2C ? 1 ,
2 因为 A ? B ? C ? ? ,所以 cos(A ? B) ? ? cosC ,故 2 cos C ? cos C ? 1 ? 0 ,……(2 分)

解得 cos C ? ?1 (舍) ,或 cos C ? 所以, C ?

?
3

1 . ………………(5 分) 2



………………(6 分)

(2)由正弦定理,

c ? 2 R ,得 sin C

c sin

?
3

? 4 ,所以 c ? 4 sin

?
3

? 2 3 . ………(2 分)

a ? 2 R ,得 a ? 2 , …………(4 分) 6 sin A ? 1 又 B ? ,所以△ ABC 的面积 S ? ac ? 2 3 . …………(6 分) 2 2
因为 A ? ,由 20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. P (1)连结 BD ,由已知得△ ABD 与△ BCD 都是正三角形, 所以, BD ? 2 , DE ? BC , ………………(1 分) 因为 AD ∥ BC ,所以 DE ? AD ,……………(2 分) 又 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? DE ,……(4 分) 因为 AD ? PD ? D ,所以 DE ? 平面 PAD .…(6 分) D (2)以 D 为原点, DA , DE , DP 所在直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系. 由(1)知平面 PAD 的一个法向量为 n1 ? (0 , 1 , 0) , 又 B(1 , 3 , 0) , C(?1 , 3 , 0) , P(0 , 0 , 2) , E(0 , 3 , 0) , 所以 CB ? (2 , 0 , 0) , PE ? (0 , 3 , ? 2) ,……(2 分)
1

?

C

A

E B

设平面 PBC 的一个法向量为 n2 ? ( x , y , z) , 由?

? ?n2 ? CB ? 0 ,

? ?n2 ? PE ? 0 , ? 3 y ? 2 z ? 0 , 取 y ? 2 ,则 z ? 3 ,故 n2 ? (0 , 2 , 3) , …………(4 分)
设 n1 与 n2 的夹角为 ? , D Ey B

得?

?x ? 0 ,

P

z

2 2 7 则 cos? ? .…………(7 分) ? ? 7 n1 ? n2 1 ? 7

n1 ? n2

C

A x

所以,平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角大小的余弦值为

2 7 .……(8 分) 7

(2)解法二(图略) 在平面 PAD 上,过 P 作 PF ∥ DA 且 PF ? DA ,连结 BF ,则四边形 PCBF 是平行四边 形,即直线 PF 是平面 PAD 与平面 PBC 的交线.………………(2 分) 因为 BC ? DE , BC ? PD ,所以 BC ? 平面 PDE ,故 BC ? PE , 所以 PE ? PF ,又 PD ? PF ,所以 ? DPE 就是平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的平 面角. …………(5 分) 在 Rt △ PDE 中, DE ? 3 , PE ?

PD2 ? DE2 ? 7 ,…………(6 分)
……………………(7 分)

cos?DPE ?

PD 2 2 7 . ? ? PE 7 7

所以,平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角大小的余弦值为

2 7 .……(8 分) 7

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 9 分. (1)当 x ? 0 时, t ? 0 ; ………………(2 分)
2 当 0 ? x ? 24 时,因为 x ? 1 ? 2 x ? 0 ,所以 0 ?

x 1 ? , ……………………(4 分) x ?1 2
2

? 1? . ……………………………………(5 分) ? 2? ? x ? 1? ? 1? (2)当 a ? ?0 , ? 时,由(1) ,令 t ? 2 ,则 t ? ?0 , ? , …………(1 分) x ?1 ? 2? ? 2? 3 ? ?3a ? t ? 4 , 0 ? t ? a , 3 ? 所以 f ( x) ? g (t ) ?| t ? a | ?2a ? ? ? ………………(3 分) 4 ? 3 1 t?a? , a?t ? , ? 4 2 ? ? 1? 于是, g (t ) 在 t ? ?0 , a ?时是关于 t 的减函数,在 t ? ? a , ? 时是增函数, ? 2? 3 5 1 ?1? ?1? 因为 g (0) ? 3a ? , g ? ? ? a ? ,由 g (0) ? g ? ? ? 2a ? , 4 4 2 ?2? ?2? 1 5 ?1? 所以,当 0 ? a ? 时, M (a) ? g ? ? ? a ? ; 4 4 ?2? 1 1 3 当 ? a ? 时, M (a ) ? g (0) ? 3a ? , 4 2 4
即 t 的取值范围是 ?0 ,
2

5 1 ? ?a ? 4 , 0 ? a ? 4 , ? 即 M (a) ? ? ………………………………(6 分) 3 1 1 ?3a ? , ? a ? . ? 4 4 2 ? 5 由 M (a) ? 2 ,解得 0 ? a ? . ………………………………(8 分) 12 ? 5? 所以,当 a ? ?0 , ? 时,综合污染指数不超标. …………………………(9 分) ? 12?
22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. (1)设 D( x0 , 0)( x0 ? 0 ) ,由 F2 (c , 0) , B(0 , b) ,故 F2 B ? (?c , b) , BD ? ( x0 , ? b) , 因为 F2 B ? BD ,所以 ? cx0 ? b2 ? 0 , …………(1 分)

? b2 ? b2 ? ? c , 0? ,故 F2 D ? ? ? ? ,……(2 分) c ? c ? ? b2 3 c ? ? 0 ,所以, b2 ? 3c 2 .……(3 分) 又F ,故由 得 F ? ( 2 c , 0 ) 2 F F ? F D ? 0 1 2 1 2 2 c b 所以, tan ?BF2 F1 ? ? 3 , ?BF2 F1 ? 60? ,即△ BF 1F2 是等边三角形.………(4 分) c (2)由(1)知, b ? 3c ,故 a ? 2c ,此时,点 D 的坐标为 (?3c , 0) ,……(1 分) 又△ BDF 2 是直角三角形,故其外接圆圆心为 F 1 (?c , 0) ,半径为 2c ,…………(3 分) | ?c ? 3 | ? 2c , c ? 1 , b ? 3 , a ? 2 , ……………………(5 分) 所以, 2 x2 y 2 ? ? 1. 所求椭圆 C 的方程为 ……………………(6 分) 4 3 (3)由(2)得 F2 (1 , 0) ,因为直线 l 过 F2 且不与坐标轴垂直,故可设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1) , k ? 0 . ………………(1 分) ? y ? k ( x ? 1) , ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 , ………………(2 分) ?1, ? ? 3 ?4 8k 2 4k 2 ? 12 x x ? 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ? , ,……(3 分) 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? 由题意, M ( x1 , ? y1 ) ,故直线 QM 的方向向量为 d ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) , x ? x1 y ? y1 ? 所以直线 QM 的方程为 , ………………(4 分) x2 ? x1 y2 ? y1 y ( x ? x1 ) y x ? y2 x1 k ( x1 ? 1) x2 ? k ( x2 ? 1) x1 令 y ? 0 ,得 x ? 1 2 ? x1 ? 1 2 ? y2 ? y1 y2 ? y1 k ( x2 ? 1) ? k ( x1 ? 1)

x0 ? ?

?

2kx1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 2

2?

4k 2 ? 12 8k 2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? ? 24 ? 4 .…(5 分) ?6 8k 2 ?2 2 3 ? 4k

3

即直线 QM 与 x 轴交于定点 (4 ,0) . 所以,存在点 N (4 , 0) ,使得 M 、 Q 、 N 三点共线. ………………(6 分)

x1
(注:若设 N ( x0 , 0) ,由 M 、 Q 、 N 三点共线,得 x2

? y1 1 y2 0 1 ? 0, 1

x0
得 x0 ?

x1 y2 ? x2 y1 . ) y1 ? y2

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. (1)由 Sn ? Sn ? 2 ? 2Sn ?1 ? 2n ?1 ( n ? 3 ) ,得 Sn ? Sn ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? 2 ? 2n ?1 ( n ? 3 ) , 所以 an ? an ?1 ? 2n ?1 ( n ? 3 ) , 即 an ? an ?1 ? 2n ?1 ( n ? 3 ) ……………………(2 分) 又 a2 ? a1 ? 2 ,所以 an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 22 ? 2 ? 3 ?
(2) bn ?

2n ?1 an ? an ?1

2(1 ? 2n ?1 ) ? 3 ? 2n ? 1. ……………………(4 分) 1? 2 2n ?1 1? 1 1 ? ? n ? ? n ? n ?1 ? ,………………(2 分) n ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 2 ? 1 2 ? 1 ?

所以, Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? n ?1 ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? n ? 2 ?? 3 5 ? ? 5 9 ? ? 2 ? 1 2 ? 1 ??

1?1 1 ? …………………………………………………………(5 分) ? ? ? n ?1 ? . 2 ? 3 2 ?1? 1 所以, Tn ? . 6 2n 1?1 1 ? ? 0 ,所以 Tn 随 (3)由(2) , Tn ? ? ? n ?1 ,因为 T ? T ? ? n ?1 n 2 ? 3 2 ? 1? (2n ?1 ? 1)(2n ? 2 ? 1) 着 n 的增大而增大. ………………………………………………(1 分) 1 ? 6m 1 1?1 1 ? ? n ?1 若 Tn ? m ,则 ? ? n ?1 , …………(2 分) ? ? m ,化简得 3 2 ?1 2 ? 3 2 ?1? 3 ? 1? n ?1 ?1, 因为 m ? ? 0 , ? ,所以 1 ? 6m ? 0 ,所以 2 ? 1 ? 6m ? 6? ? 3 ? ……………………………………(4 分) n ? log2 ? ? 1? ? 1 , ? 1 ? 6m ? 1 ? 3 ? 当 log2 ? ? 1? ? 1 ? 1,即 0 ? m ? 时,取 n0 ? 1 即可. …………(5 分) 15 ? 1 ? 6m ? 1 1 ? 3 ? ? 3 ? 当 log2 ? ? 1? ? 1 ? 1,即 ? m ? 时,记 log2 ? ? 1? ? 1的整数部分为 p , 15 6 ? 1 ? 6m ? ? 1 ? 6m ? 取 n0 ? p ? 1即可. ……………………………………………………………(7 分)
综上可知,对任意给定的 m ? ? 0 , 恒成立.

? ?

1? ? (2)中的 Tn ? m ? ,均存在 n0 ? N ,使得当 n ? n0 时, 6?
……………………………………(8 分)

4


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