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【2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:2.4.1抛物线及其标准方程


第二章

2.4

第 1 课时

一、选择题 1.在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线 x+2y=3 的距离相等的点的轨迹是( A.直线 C.圆 [答案] A [解析] ∵点(1,1)在直线 x+2y=3 上,故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线 x+2y=3 垂直的直线. 2.过点 F(0,3)且和直线 y+3

=0 相切的动圆圆心的轨迹方程为( A.y =12x C.x2=12y [答案] C [解析] 由题意,知动圆圆心到点 F(0,3)的距离等于到定直线 y=-3 的距离,故动圆圆 心的轨迹是以 F 为焦点,直线 y=-3 为准线的抛物线. 3.抛物线 x2=4y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为( A.2 C.4 [答案] D [解析] 解法一:∵y=4,∴x2=4· y=16,∴x=4, ∴A(4,4),焦点坐标为(0,1), ∴所求距离为 42+?4-1?2= 25=5. 解法二:抛物线的准线为 y=-1,∴A 到准线的距离为 5,又∵A 到准线的距离与 A 到 焦点的距离相等. ∴距离为 5. 4.抛物线 y2=mx 的焦点为 F,点 P(2,2 2)在此抛物线上,M 为线段 PF 的中点,则点 M 到该抛物线准线的距离为( A.1 C.2 [答案] D [解析] ∵点 P(2,2 2)在抛物线上,∴(2 2)2=2m, ∴m=4,P 到抛物线准线的距离为 2-(-1)=3,F 到准线距离为 2, ) 3 B. 2 5 D. 2 B.3 D.5 )
2

)

B.抛物线 D.双曲线

)

B.y =-12x D.x2=-12y

2

3+ 2 5 ∴M 到抛物线准线的距离为 d= = . 2 2 5.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为( 1 A. 2 C.2 [答案] C p [解析] 抛物线的准线为 x=- , 2 p 将圆方程化简得到(x-3)2+y2=16,准线与圆相切,则- =-1,∴p=2,故选 C. 2 6.顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,过点(-2,3)的抛物线方程是( 9 A.y2= x 4 9 4 C.y2=- x 或 x2=- y 4 3 [答案] D [解析] ∵点(-2,3)在第二象限, ∴设抛物线方程为 y2=-2px(p>0)或 x2=2p′y(p′>0), 又点(-2,3)在抛物线上, 9 2 ∴p= ,p′= , 4 3 9 4 ∴抛物线方程为 y2=- x 或 x2= y. 2 3 二、填空题 7.抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2,则 a 的值为________. 1 [答案] - 8 1 1 1 [解析] 抛物线方程化为标准形式为 x2= y,由题意得 a<0,∴2p=- ,∴p=- , a a 2a p 1 1 ∴准线方程为 y= =- =2,∴a=- . 2 4a 8 8.沿直线 y=-2 发出的光线经抛物线 y2=ax 反射后,与 x 轴相交于点 A(2,0),则抛物 线的准线方程为________(提示:抛物线的光学性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与 轴平行). [答案] x=-2 [解析] 由直线 y=-2 平行于抛物线的轴知 A(2,0)为焦点,故准线方程为 x=-2. 9.以双曲线 x2 y2 - =1 的中心为顶点,左焦点为焦点的抛物线方程是 16 9 4 B.x2= y 3 9 4 D.y2=- x 或 x2= y 2 3 ) B.1 D.4 )

____________________. [答案] y2=-20x [解析] ∵双曲线的左焦点为(-5,0),故设抛物线方程为 y2=-2px(p>0), 又 p=10,∴y2=-20x. 三、解答题 10.若抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M 到准线及对称轴的距离分别为 10 和 6,求 M 点的 横坐标及抛物线方程. [解析] ∵点 M 到对称轴的距离为 6, ∴设点 M 的坐标为(x,6). 又∵点 M 到准线的距离为 10, 6 =2px, ? ? ? ? ?x=9, ?x=1, ∴? p 解得? 或? ?p=2, ?p=18. ? ? ?x+2=10. ? 故当点 M 的横坐标为 9 时,抛物线方程为 y2=4x. 当点 M 的横坐标为 1 时,抛物线方程为 y2=36x.
2

一、选择题 11.若动点 M(x,y)到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则点 M 的轨迹 方程是( ) B.x-4=0 D.y2=16x

A.x+4=0 C.y2=8x [答案] D

[解析] 依题意可知 M 点到点 F 的距离等于 M 点到直线 x=-4 的距离, 因此其轨迹是 抛物线,且 p=8,顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上, ∴其方程为 y2=16x,故答案是 D. 12.(2014· 万州市分水中学高二期中)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点, P 为 C 上一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( A.2 C.2 3 [答案] C [解析] 抛物线 C 的准线方程为 x=- 2,焦点 F( 2,0),由|PF|=4 2及抛物线的定 义知,P 点的横坐标 xP=3 2,从而 yP=± 2 6, 1 1 ∴S△POF= |OF|· |yP|= × 2×2 6=2 3. 2 2 B.2 2 D.4 )

13.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物 线上,且 2x2=x1+x3,则有( A.|P1F|+|P2F|=|FP3| C.2|P2F|=|P1F|+|P3F| [答案] C [解析] ∵点 P1,P2,P3 在抛物线上,且 2x2=x1+x3,两边同时加上 p, p p p 得 2(x2+ )=x1+ +x3+ , 2 2 2 即 2|P2F|=|P1F|+|P3F|,故选 C. 14.(2014· 湖北部分重点中学高二期中)已知抛物线方程为 y2=4x,直线 l 的方程为 x-y +4=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最 小值为( 5 2 A. 2 5 2 C. -2 2 [答案] D [解析] 设抛物线焦点为 F,过 P 作 PA 与准线垂直,垂足为 A,作 PB 与 l 垂直,垂足 为 B,则 d1+d2=|PA|+|PB|-1=|PF|+|PB|-1,显然当 P、F、B 三点共线(即 P 点在由 F 5 2 向 l 作垂线的垂线段上)时,d1+d2 取到最小值,最小值为 -1. 2 15.(2014· 云南景洪市一中期末)从抛物线 y2=4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足 为 M,且|PM|=5,设抛物线焦点为 F,则△MPF 的面积为( A.10 C.6 [答案] A [解析] 设 P(x0,y0),∵|PM|=5,∴x0=4,∴y0=± 4, 1 ∴S△MPF= |PM|· |y0|=10. 2 二、填空题 x2 y2 16.(2013· 江西理,14)抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交 3 3 于 A,B 两点,若△ABF 为等边三角形,则 p=________. [答案] 6 p [解析] 如图不妨设 B(x0,- ). 2 B.8 D.4 ) ) 5 2 B. +1 2 5 2 D. -1 2 ) B.|P1F|2+|P2F|2=|P3F|2 D.|P2F|2=|P1F|· |P3F|

p F(0, ),FD=p,可解得 B( 2

p2 p 3+ ,- ). 4 2 p2 3+ 4 . p

BD 3 在 Rt△DFB 中,tan30° = ,∴ = DF 3 ∴p2=36,p=6. 三、解答题

17.求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)过抛物线 y2=2mx 的焦点 F 作 x 轴的垂线交抛物线于 A、B 两点,且|AB|=6;

(2)抛物线顶点在原点,对称轴是 x 轴,点 P(-5,2 5)到焦点的距离是 6. m [解析] (1)设抛物线的准线为 l,交 x 轴于 K 点,l 的方程为 x=- ,如图,作 AA′⊥ 2 l 于 A′,BB′⊥l 于 B′,则|AF|=|AA′|=|FK|=|m|,同理 |BF|=|m|.又|AB|=6,则 2|m|=6. ∴m=± 3,故所求抛物线方程为 y2=± 6x.

(2)设焦点 F(a,0),|PF|= ?a+5?2+20=6,即 a2+10a+9=0,解得 a=-1 或 a=-9. 当焦点为 F(-1,0)时,p=2,抛物线开口方向向左,其方程为 y2=-4x;当焦点为 F(-9,0) 时,p=18,抛物线开口方向向左,其方程为 y2=-36x. 18.一辆卡车高 3m,宽 1.6m,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高 的 4 倍,若拱口宽为 am,求使卡车通过的 a 的最小整数值. a [解析] 以隧道顶点为原点, 拱高所在直线为 y 轴建立直角坐标系, 则 B 点的坐标为( , 2 a - ),如图所示,设隧道所在抛物线方程为 x2=my,则 4 a a ( )2=m· (- ), 2 4

∴m=-a,即抛物线方程为 x2=-ay. 将(0.8,y)代入抛物线方程,得 0.82=-ay, 0.82 即 y=- . a a a 0.82 欲使卡车通过隧道,应有 y-(- )>3,即 - >3, 4 4 a 由于 a>0,得上述不等式的解为 a>12.21,∴a 应取 13.


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