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高中数学人教A版第选修1-1同步练习: 1.2 第2课时充要条件习题课


选修 1-1

第一章

1.2

第 2 课时

一、选择题 1.设 x∈R,则 x>2 的一个必要不充分条件是( A.x>1 C.x>3 [答案] A [解析] ∵x>2?x>1,但 x>1?/ x>2,∴选 A. 2.已知向量 a=(x-1,2),b=(

2,1),则 a⊥b 的充要条件是( 1 A.x=- 2 C.x=5 [答案] D [解析] 本题考查了两向量垂直的坐标运算. ∵a=(x-1,2),b=(2,1),a⊥b, ∴a· b=(x-1,2)· (2,1)=2(x-1)+2=2x=0,即 x=0. a 与 b 垂直和共线对应的坐标之间的关系不要混淆. [点评] 即 a⊥b?x1x2+y1y2=0;a∥b=x1y2-x2y1=0. 3.下列四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是( A.a>b+1 C.a2>b2 [答案] A [解析] ∵a>b+1?a-b>1?a-b>0?a>b, ∴a>b+1 是 a>b 的充分条件. 又∵a>b?a-b>0?/ a>b+1, ∴a>b+1 不是 a>b 的必要条件, ∴a>b+1 是 a>b 成立的充分而不必要条件. [点评] 如 a=2=b,满足 a>b-1,但 a>b 不成立;又 a=-3,b=-2 时,a2>b2,但 a>b 不成立;a>b ?a3>b3.故 B、C、D 选项都不对. 4.设集合 M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M 或 x∈P”是“x∈M∩P”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] B B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.a>b-1 D.a3>b3 ) B.x=-1 D.x=0 ) B.x<1 D.x<3 )

[解析] 先分别写出适合条件的“x∈M 或 x∈P”和“x∈M∩P”的 x 的范围,再根据充要条件的有关 概念进行判断. 由已知可得 x∈M 或 x∈P 即 x∈R,x∈M∩P 即 2<x<3, ∴2<x<3?x∈R,但 x∈R?/ 2<x<3, ∴“x∈M 或 x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件,故应选 B. 5.设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 平行”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] C [解析] 若 l1∥l2,则 2a-2=0,∴a=1,故选 C. 6.已知直线 a 和平面 α,那么 a∥α 的一个充分条件是( A.存在一条直线 b,a∥b 且 b?α B.存在一条直线 b,a⊥b 且 b⊥α C.存在一个平面 β,a?β 且 α∥β D.存在一个平面 β,a∥β 且 α∥β [答案] C [解析] A 选项中,有可能 a?α,B,D 选项中也有可能 a?α,C 选项中,∵α∥β,又 a?β,∴a 与 α 无公共点. ∴a∥α,故选 C. 7.(2013· 福建理,2)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] 本题考查了充要条件的判断. 当 a=3 时,A={1,3},故 A?B,若 A?B?a=2 或 a=3,故为充分不必要条件. 8.(2014· 浙江文,2)设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC、BD,则“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥ BD”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A

[解析] 菱形的对角线互相垂直,对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.故选 A. 二、填空题 9.“a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x-a)2+(y-b)2=2 相切”的________条件. [答案] 充分不必要

[解析] 圆心为(a,b),半径 r= 2.若 a=b,有圆心(a,b)到直线 y=x+2 的距离 d=r,所以直线与圆 |a-b+2| 相切.若直线与圆相切,有 = 2,则 a=b 或 a-b=-4,所以“a=b”是“直线与圆相切”的充 2 分不必要条件. 三、解答题 10.求不等式(a2-3a+2)x2+(a-1)x+2>0 的解集是 R 的充要条件. [解析] 讨论二次项系数: (1)由 a2-3a+2=0,得 a=1 或 a=2. 当 a=1 时,原不等式为 2>0 恒成立,∴a=1 适合. 当 a=2 时,原不等式为 x+2>0,即 x>-2,它的解集不是 R,∴a=2 不符合. (2)当 a2-3a+2≠0 时,必须有
2 ? ?a -3a+2>0 ? , 2 2 ?Δ=?a-1? -8?a -3a+2?<0 ?

a<1或a>2 ? ? 解得? 15 , a<1或a> ? 7 ? 15 ∴a<1 或 a> . 7 15 综上可知,满足题意的充要条件是 a 的取值范围是 a≤1 或 a> . 7

一、选择题 11.设{an}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 [答案] C [解析] 若 a1<a2<a3,则 a1<a1q<a1q2,若 a1>0,则 q>1,此时为递增数列,若 a1<0,则 0<q<1,同样为 递增数列,故充分性成立,必要性显然成立. 12.若命题甲是命题乙的充分不必要条件,命题丙是命题乙的必要不充分条件,命题丁是命题丙的充 要条件,则命题丁是命题甲的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] B [解析] 由条件知,甲?乙?丙?丁, ∴甲?丁且丁?/ 甲,故选 B. ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

13.(2013· 北京理,3)“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A [解析] 本题考查充要条件及三角函数的性质. B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

当 φ=π 时,y=sin(2x+π)=-sin2x,此时图象过原点;而当函数图象过原点时,可以取其他值.选 A. a c 14.命题甲:“a、b、c 成等差数列”,命题乙:“ + =2”,则甲是乙的( b b A.必要不充分条件 C.充要条件 [答案] A a c [解析] ∵a=b=c=0,则 a、b、c 也成等差数列,但推不出 + =2; b b a c 反过来由 + =2?a+c=2b,即 a、b、c 成等差数列. b b a c 综上所述,“a、b、c 成等差数列”是“ + =2”的必要不充分条件,故选 A. b b [点评] 要注意区分“A 是 B 的充分条件”和“A 是 B 的充分非必要条件”,若 A?B,则 A 是 B 的充 分条件,若 A?B 且 B?/ A,则 A 是 B 的充分非必要条件. 二、填空题 15.“ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”是“ac<0”的________条件. [答案] 必要条件 [解析] ax2+bx+c=0(a≠0)有实根?b2-4ac≥0?b2≥4ac?/ ac<0. 反之,ac<0?b2-4ac>0?ax2+bx+c=0(a≠0)有实根. 所以“ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”是“ac<0”的必要条件. 16.命题 p:|x|<a(a>0),命题 q:x2-x-6<0,若 p 是 q 的充分条件,则 a 的取值范围是________,若 p 是 q 的必要条件,则 a 的取值范围是________. [答案] a≤2 a≥3 [解析] p:-a<x<a,q:-2<x<3, 若 p 是 q 的充分条件,则(-a,a)?(-2,3),
?-a≥-2 ? ∴? ,∴a≤2, ?a≤3 ?

)

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

若 p 是 q 的必要条件,则(-2,3)?(-a,a),
? ?-a≤-2 ∴? ,∴a≥3. ?a≥3 ?

三、解答题

17.求证:一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ax<0. [解析] 充分性:(由 ac<0 推证方程有一正根和一负根) ∵ac<0, ∴一元二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式 Δ=b2-4ac>0, c ∴方程一定有两不等实根,设为 x1、x2,则 x1x2= <0, a ∴方程的两根异号. 即方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根. 必要性:(由方程有一正根和一负根,推证 ac<0), ∵方程有一正根和一负根,设为 x1、x2, c 则由根与系数的关系得 x1x2= <0, a 即 ac<0, 综上可知:一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac<0. 18.不等式 x2-2mx-1>0 对一切 1≤x≤3 都成立,求 m 的取值范围. [解析] 令 f(x)=x2-2mx-1 要使 x2-2mx-1>0 对一切 1≤x≤3 都成立, ∵f(x)的图象开口向上,且 f(0)=-1<0(如图),

∴f(1)>0,即 1-2m-1>0,∴m<0. ∴m 的取值范围是 m<0.


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