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2015年全国卷 II 理t


2015 年全国卷 II 理
一、选择题(共 12 小题;共 60.0 分)
1. 已知集合A = ?2, ?1,0,1,2 ,B = x A. ?1,0 B. 0,1 x ? 1 x + 2 < 0 ,则A ∩ B = ( C. ) C. 1 D. 2 ?1,0,1 D. ) 0,1,2

2. 若a为实数,且 2 + ai a ?

2i = ?4i,则a = ( A. ?1 B. 0

3. 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结 论中不正确的是

A. B. C. D.

逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 ) D. ) D. 12 84

4. 已知等比数列 an 满足a1 = 3,a1 + a3 + a5 = 21,则a3 + a5 + a7 = ( A. 21 B. 42 C. 63 1 + log2 2 ? x , x < 1, 则f ?2 + f log2 12 = ( 2x ?1 , x ≥ 1, 3 B. 6 C. 9

5. 设函数f x = A.

6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部 分体积的比值为

A.

1 8 2 6

B.

1 7 8

C.

1 6 4 6

D. ) D.

1 5 10

7. 过三点A 1,3 ,B 4,2 ,C 1, ?7 的圆交y轴于M,N两点,则 MN = ( A. B. C.

8. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程 序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a =

A.

0

B.

2

C.

4

D.

14

9. 已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB = 90? ,C为该球面上的动点,若三棱锥O ? ABC体积 的最大值为36,则球O的表面积为 ( A. 36π B. ) 64π C. 144π D. 256π

10. 如图,长方形ABCD的边AB = 2,BC = 1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动, 记∠BOP = x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f x ,则y = f x 的图象大致 为

A.

B.

C.

D. 11. 已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ ABM为等腰三角形,且顶角为120? ,则 E的离心率为 ( A. ) 5 B. 2 C. 3 D. 2

12. 设函数f? x 是奇函数f x x ∈ 的导函数,f ?1 = 0,当x > 0时,xf? x ? f x < 0,则使 得f x > 0成立的x的取值范围是 ( A. C. ?∞, ?1 ∪ 0,1 ?∞, ?1 ∪ ?1,0 ) B. D. ?1,0 ∪ 1, +∞ 0,1 ∪ 1, +∞

二、填空题(共 4 小题;共 20.0 分)
13. 设向量a,b不平行,向量λa + b与a + 2b平行,则实数λ = x ? y + 1 ≥ 0, 14. 若x,y满足约束条件 x ? 2y ≤ 0, 则z = x + y的最大值为 x + 2y ? 2 ≤ 0, 15. a + x 1 + x 4 的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a = 16. 设Sn 是数列 an 的前n项和,且a1 = ?1,an+1 = Sn Sn+1 ,则Sn = . . . .

三、解答题(共 8 小题;共 104.0 分)
17. 在△ ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ ABD面积是△ ADC面积的2倍. (1)求sinC ; (2)若AD = 1,DC =
2 2 sinB

,求BD和AC的长.

18. 某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户 对产品的满意度评分如下: 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区: 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评 A 地区: 分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);

(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C:“ A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结 果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率. 19. 如图,长方体ABCD ? A1 B1 C1 D1 中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E,F分别在A1 B1 , D1 C1 上,A1 E = D1 F = 4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF与平面α所成角的正弦值. 20. 已知椭圆C: 9x 2 + y 2 = m2 m > 0 ,直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A, B,线段AB的中点为M. (1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值; (2)若l过点
m 3

, m ,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此

时l的斜率;若不能,说明理由. 21. 设函数f x = emx + x 2 ? mx. (1)证明:f x 在 ?∞, 0 单调递减,在 0, +∞ 单调递增; (2)若对于任意x1 , x2 ∈ ?1,1 ,都有 f x1 ? f x2 ≤ e ? 1,求m的取值范围.

22. 如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙ O与△ ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高 AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.

(1)证明:EF ∥ BC; (2)若AG等于⊙ O的半径,且AE = MN = 2 3,求四边形EBCF的面积. x = tcosα, 23. 在直角坐标系xOy中,曲线C1 : y = tsinα, (t为参数,t ≠ 0),其中0 ≤ α < .在以O为极 点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2 : ρ = 2sinθ,C3 : ρ = 2 3cosθ. (1)求C2 与C3 交点的直角坐标;

(2)若C1 与C2 相交于点A,C1 与C3 相交于点B,求 AB 的最大值. 24. 设a,b,c,d均为正数,且a + b = c + d,证明: (1)若ab > ,则 a + b > c + d; (2) a + b > c + d是 a ? b < c ? d 的充要条件. 1. A 2. B 3. D 6. D 7. C 8. B 11. D 12. A 1 13. 14. 2 15. 3 1 16. ? n 17. 【解析】(1) 因为S△ABD = 2S△ACD , 所以 1 ? AB ? AD ? sin∠BAD 2
1 2 AB 2 3

4. B 9. C

5. C 10. B

? AC ? AD ? sin∠DAC
AB AC

= 2,

因为∠BAD = ∠DAC,所以sin∠BAD = sin∠DAC,故AC = 2. 在△ ABC中,由正弦定理可得 所以sinC = 2. (2) 在△ ADC中,由正弦定理得, 在△ BAD中,由正弦定理得,
sin∠B 1 ① AD sinB 1 sinC

=

sinB


DC

AD

sin∠C

=

sin∠B

=

sin∠DAC BD

?? ? ①.

sin∠BAD

?? ? ②.

因为AD = 1,sin∠C = 2,由②得,BD = 2. 设∠ADB = θ,则∠ADC = π ? θ. 在△ ACD中,AC2 = 1 +
3 2 2 2

?2×1×

2 2

cos π ? θ ,

即AC2 = 2 + 2cosθ, ?? ? ③

在△ ABD中,AB 2 = 1 + 2 ? 2 × 2cosθ, 即AB2 = 3 ? 2 2cosθ. ?? ? ④ AB 又AC = 2,由③④得AC = 1. 18.【解析】 (1) 所求茎叶图为

由图可知A地区满意度评分的平均值比B地区的高,A地区满意度评分分布比较集中,并且分数 偏高. (2) 设A地区三个等级:非常满意,满意,不满意分别为事件:A1 ,A2 ,A3 ,B地区的三个等级 分别为事件B1 ,B2 ,B3 ,且事件Ai i = 1,2,3 与Bj j = 1,2,3 相互独立. 由已知得, 4 1 12 3 4 1 P A1 = 20 = 5,P A2 = 20 = 5,P A3 = 20 = 5, P B1 = 20 = 10,P B2 = 20 = 5,P B3 = 20 = 2. 所以满足事件的概率为 P = P A1 P B2 + P B3 + P A 2 ? P B3 = 1 2 1 3 1 12 × + + × = . 5 5 2 5 2 25
2 1 8 2 10 1

19. 【解析】(1) 如图,在AB上取AM = 10.在DC上取DN = 10. 连接EM,MN,NF即可.

(2) 如图,以DA,DC,DD1 分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系. 则F 0,4,8 ,N 0,10,0 ,M 10,10,0 ,A 10,0,0 .

∴ AF = ?10,4,8 ,NF = 0, ?6,8 ,NM = 10,0,0 . 设平面α的法向量为n = x, y, z NF ? n = ?6y + 8z = 0, x = 0, 4 则 得 y = 3 z. NM ? n = 10 ? x = 0, 取z = 3,得n = 0,4,3 . 又AF = ?10,4,8 ,

设直线AF与平面α所成角为θ,则sinθ =

AF ?n AF ? n

=

4 5 15



20. 【解析】(1) 设A x1 , y1 ,B x2 , y2 , 则: x +x y +y y y +y xM = 1 2 2 ,yM = 1 2 2 ,所以k OM = x M = x 1 +x 2 ,
M 1 2


2 2 9x1 + y1 = m2 , 2 2 9x2 + y2 = m2 ,

两式相减得 9 x1 + x2 x1 ? x2 + y1 + y2 y1 ? y2 = 0,



所以k OM ? k l = ?9, 因此原命题得证,且定值为?9. (2) 根据题意,如图.

y1 + y2 y1 ? y2 ? = ?9. x1 + x 2 x1 ? x 2

假设存在符合题意的平行四边形OAPB,设M x0 , y0 ,则P 2x0 , 2y0 ,于是 1 2 2 9x0 + y0 = m2 ?? ? ①. 4 此时根据第(1)小题的结论,有 m ? y0 y0 ? = ?9, m ? x0 x0
3

整理得



1 2 2 3mx0 + my0 = 9x0 + y0 = m2 , 4 1 3x0 + y0 = m? ? ? ②. 4 m 1+ 7 , 24 m y0 = 1? 7 , 8 x0 = m 1? 7 , 24 m y0 = 1+ 7 , 8 3 1+ 7 = 1? 7 , x0 = ?9 ? x0 = 4 + 7. y0 x0 = 4 ? 7. y0

由方程①与②解得



所以k OM = x 0 =
0

y

3 1? 7 1+ 7

或k OM = x 0
0

y

于是直线l的斜率为 或

?9 ? 21.【解析】 (1) 根据题意 注意到f? 0 = 0,于是再求导

f? x = memx + 2x ? m, f?′ x = m2 emx + 2,

由于f?′ x > 0,于是y = f? x 为单调递增函数,结合f? 0 = 0,有f? x 在 ?∞, 0 上恒小于0, 在 0, +∞ 上恒大于0. 因此原命题得证. (2) 对于任意x1 , x2 ∈ ?1,1 ,都有 f x1 ? f x2 ≤ e ? 1, f x1 ? f x2 max ≤ e ? 1, 根据第(1)小题,函数f x 在区间 ?1,1 上的最大值为f 1 和f ?1 中较大者,因此 f ?1 ? f 0 ≤ e ? 1, f 1 ? f 0 ≤ e ? 1, 变形得 em ? m ≤ e ? 1, e?m + m ≤ e ? 1, x 记函数g x = e ? x,则 g? x = ex ? 1, 于是g x 在x < 0时单调递减,在x > 0时单调递增,如图.

因此不难解得m的取值范围为 ?1,1 . 22.【解析】 (1) ∵△ ABC为等腰三角形且BC为底边, ∴ AB = AC. 又AB、AC切⊙ O于E、F, ∴ AE = AF, 1 ∴在△ AEF与△ ABC中,∠AEF = π ? ∠EAF = ∠ABC, ∴ EF ∥ BC. (2) 连接OE,则OE ⊥ AB.
2

设圆的半径为r,则在Rt △ AEO中, AO2 = AE 2 + OE2 即 2r 2 = 2 3 故r = 2, π π ∴ ∠EAO = 6 ,∠EOG = 3 , ∴ ∠ABC = 3 ,EF = 2 3,
π 2

+ r2 ,

在Rt △ ODM中,OD = OM2 ? MD2 = 1,

所以AD = 5. ∴△ AEF与△ ABC为等边三角形, ∴ S△AEF = ∵ S △AEF =
△ABC

3

S

4 AH 2 AD

AE 2 =
9

3 4

× 12 = 3 3,

= 25 ,
16 9

∴ S四边形 EFCB =

× S△AEF =

16 3 3



23. 【解析】(1) 曲线C2 的直角坐标方程为x 2 + y 2 ? 2y = 0,曲线C3 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 ? 2 3x = 0, x 2 + y 2 ? 2y = 0 x 2 + y 2 ? 2 3x = 0. x= 2 x=0 解得: 或 , 3 y=0 y=
2 3

所以C2 与C3 交点的直角坐标为 0,0 或

3 3 2

,2 .

(2) 法一: 曲线C1 的极坐标方程为θ = α(ρ ∈ , ρ ≠ 0),其中0 ≤ α < . 因此A的极坐标为 2sinα, α ,B的极坐标为 2 3cosα, α , 所以 AB = 2sinα ? 2 3cosα = 4 sin α ? 3 当α =
5π 6 π



时, AB 取得最大值,最大值为4.
2

其他方法: C3 的直角坐标方程为 x ? 3 + y 2 = 3. y = tanα ? x, x? 3 x 2 + tan2 α ? x 2 = 2 3x. ∴B ∵A
2 3 1+tan 2 α 1+tan 2 α 2tan α 2tan 2 α 1+tan 2 α 1+tan 2 α 2

+ y 2 = 3.

,

2 3tan α

. , ∴ AB = 2tanα ? 2 3 1 + tan2 α
2

,

2tan2 α ? 2 3tanα + 1 + tan2 α

2

2tanα ? 2 3 = . 1 + tan2 α 设2tanα ? 2 3 = m,因为0 ≤ α < ,所以tanα ∈ ,所以m ∈ , ∴ tanα = ∴ AB = 当m = ?
1 3 8 m+2 3 2

2

=

m 2
2

+ 3, =
1
4 3 1 + + m2 m 4

m2 1+
m + 2

3



时, AB 有最大值 AB max = 4.

24. 【解析】(1) ∵ ab > ,a,b,c,d为正数, ∴ ab > cd, ∴ 2 ab > 2 cd. 又∵ a + b = c + d, ∴ a + 2 ab + b > + 2 cd + d,

即 a+ b > c+ d , ∴ a + b > c + d. a + b > c + d ? a + b + 2 ab > + + 2 cd (2) ? ab > cd ? ab > . a ? b < ? ? a?b 2 < c?d 2 ? a + b 2 ? 4ab < c + d ? ab > . ∴ a + b > c + d是 a ? b < c ? d 的充要条件.

2

2

2

? 4cd


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